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9.2.4 總體離散程度的估計
1.理解方差、標準差的含義，會計算方差和標準差.
2.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數及方差的方法.
情景：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊10次，每次命中的環數如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
問題1：如果你是教練，你如何對他們的射擊情況作出評價？在這次選拔性考核中，你應當如何作出選擇呢？
經計算，發現他們兩人本次射擊的平均成績分別：
通過排序還發現他們射擊成績的中位數、眾數也都是7
4 4 5 7 7 7 8 9 9 10
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
問題2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在哪里嗎？
頻率
0.4
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
0
（甲）
環數
頻率
0.4
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
0
（乙）
甲的成績比較分散，波動幅度較大，
乙的成績相對集中，比較穩定.
一種簡單的度量數據離散程度的方法就是用極差，根據甲、乙運動員的10次射擊成績，可以得到甲命中環數的極差=10-4=6 乙命中環數的極差=9-5=4.
有差異
環數
一組數據的最大值與最小值的差
極差：
極差越大，數據越分散，越不穩定
極差越小，數據越集中，越穩定
極差體現了數據的離散程度
頻率
0.4
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
0
（甲）
環數
頻率
0.4
0.3
0.2
0.1
4 5 6 7 8 9 10
0
（乙）
環數
極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度，但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，對其他數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.
我們知道，如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠，
因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.
如何定義？
為了避免式子中出現絕對值，改用平方代替
設一組數據是x1, x2, …, xn，
則這組數據的方差為
所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：
一、方差和標準差的定義
①為了計算方便，還可把方差寫成
則這組數據的方差為
設一組數據是x1, x2, …, xn，
由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方。
注：s≥0；s=0時表示這組數據的每個數據都是相等的.
②這組數據的標準差為
二、總體方差、總體標準差的定義
如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為 ，則稱 S2=_______________為總體方差，S=________為總體標準差 ．
如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，
Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…， k），則總體方差為
三、樣本方差、樣本標準差的定義
特征：
標準差和方差刻畫了數據的______程度或波動幅度．
標準差（或方差）越大，數據的離散程度越____，越不穩定；
標準差（或方差）越小，數據的離散程度越____，越穩定．
在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用_______.
離散
大
小
標準差
如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為 ，則稱 s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標準差 ．
1.某公司10位員工的月工資（單位:元）為?????????????????????????????，其均值和方差分別為????和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為（ ）
A. ????，s2+1002 B. ????+100, s2+1002
C. ????,s2 D. ????+100, s2
?
D
2．甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：
從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是 (　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
C
例題講解
例題講解
例題講解
，方差為 ．
（1）新數據
的平均數為
，方差仍為 ．
（2）新數據
的平均數為
（3）新數據
的平均數為 ，
方差為 ．
如果數據
的平均數為
，方差為
，則
四、方差的運算性質
3.已知樣本數據x1,x2,…,xn的平均數是5,方差是2,則樣本數據2x1+1,2x2+1,…,
2xn+1的平均數為　　　　　,方差為　　　　　.?
答案: 11；　8
例2 在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機
抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為
170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些
數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？
解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數記為 ，方差記為 ;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數記為 ,方差記為 ;把總樣本數據的平均數記為 ，方差記為 .根據方差的定義，總樣本方差為
例題講解
完全平方展開
例題講解
男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59,
女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62
把已知的男生、女生樣本平均數和方差的取值代入，可得
例題講解
設樣本容量為????，平均數為????，其中兩層的個體數量分別為????????，????????，兩層的平均數分別為????????，????????，方差分別為????????????，????????????，則這個樣本的方差為：
?
五、分層隨機抽樣的方差計算
????????=????????????[????????????+(?????????????)????]+????????????[????????????+(?????????????)????]
?
分層抽樣總樣本方差的計算
4.某學校有男生400人,女生600人.為了調查該校全體學生每天的睡眠時間,采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本.若男生每天睡眠時間的均值為7.5小時,方差為1,女生每天睡眠時間的均值為7小時,方差為0.5,則總體的方差為　　　　.
0.76
樣本標準差刻畫了樣本數據離平均數波動的幅度大小，平均數和標準差一起能反映數據取值的信息.
例如，根據9.2.1節中100戶居民用戶的月均用水量數據，可以計算出樣本平均數????=????.????????，樣本標準差????=????.????????.
?
4．一個小商店從一家有限公司購進21袋白糖，每袋白糖的標準質量是500g，為了了解這些白糖的質量情況，稱出各袋白糖的質量（單位：g）如下：
486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504
489 495 503 499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均質量是多少？標準差s是多少？
（2）質量位于????-s與????+s之間有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
?
（2）質量位于????-s與????+s之間，即重量在
?
解：（1）
????????=????????????[????????????+(?????????????)????]+????????????[????????????+(?????????????)????]
?
分層隨機抽樣的方差：

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