資源簡介

9.2.2 總體百分位數的估計
1.正確理解第p百分位數的概念，掌提求n個數據的第p百分位數的方法.
我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數據，通過對圖表的觀察與分析，得出了一些樣本數據的頻率分布規律，由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域”等推斷.
如何利用這些信息，做一些決策呢？
問題1 如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據9.2.1節中100戶居民用戶的月均用水量數據，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？
根據市政府的要求：確定居民用戶月均用水量標準，要尋找一個數a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.
下面我們通過樣本數據對a的值進行估計.
（1）我們首先把100個樣本數據按從小到大排序.
區間(13.6,13.8)內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.
（2）由數據可得，第80個和第81個數據分別為13.6和13.8.
1.3
1.3
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
2.1
2.2
2.3
2.3
2.4
2.6
2.6
3.0
3.2
3.2
3.6
3.6
3.7
3.8
4.0
4.1
4.3
4.4
4.6
4.7
4.9
4.9
4.9
5.1
5.1
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.7
5.7
5.9
6.0
6.0
6.4
6.4
6.7
6.9
7.0
7.1
7.1
7.1
7.5
7.7
7.8
7.8
7.9
8.1
8.6
8.8
9.0
9.5
9.9
10.0
10.1
10.2
10.2
10.5
10.8
11.1
11.2
12.0
12.0
12.4
13.3
13.6
13.6
13.8
13.9
14.0
14.9
15.7
16.0
16.7
16.8
17.0
17.9
18.3
19.4
20.5
21.6
22.2
22.4
24.3
24.5
25.6
28.0
稱此數13.7為這組數據的第80百分位數或80%分位數
（3）一般地，我們取這兩個數的平均數
根據樣本數據的第80百分位數，我們可以估計總體數據的第80百分位數為13.7左右. 由于樣本的取值規律與總體的取值規律之間會存在偏差，而在決策何題中，只要臨界值近似為第80百分位數即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t，或者把年用水量標準定為168t
百分位數
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數據大于或等于這個值.
注意：求百分位數時，一定要將數據按照從小到大的順序排列．
可以通過下面的步驟計算一組n個數據的第p百分位數：
第1步：按從小到大排列原始數據．
第2步：計算i＝n×p%.
第3步：若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據
若i是整數,則第p百分位數是第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
我們在初中學過的中位數，相當于是第50百分位數.
1.判斷正誤：
（1）若一組樣本數據的10%分位數是23，則在這組數據中有10%的數據大于23.（ ）
（2）若一組樣本數據的24%分位數是24，則在這組數據中至少有76%的數據大于或等于24.（ ）
（3）若一組樣本數據各不相等，則其75%分位數大于25%分位數.（ ）
×
√
√
2.一個容量為20的樣本,其數據按從小到大的順序排列為:
1, 2, 2, 2, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 13, 14, 14, 17, 17, 18, 18,
則（1）該組數據的第75百分位數為_______,
（2）該組數據的第86百分位數為_______.
四分位數
常見的分位數：第25百分位數，第50百分位數（中位數），第75百分位數.
這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份,因此稱為四分位數.
25%
第一四分位數或下四分位數
50%
75%
中位數
第三四分位數或上四分位數
第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數.
第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數.
像第1百分位數，第5百分位數，第95百分位數，第99百分位數也常用
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0
由于100×60％=60.
∴第60百分位數為第60個和第61個數據的平均數，即
因此居民用戶月均用水量標準應定為8.0合適.
2.在居民用戶月均用水量標準制定的問題中的調查數據按順序排列如下，如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?
例1 根據9.1.2節問題3中27名女生的樣本數據,估計樹人中學高一年級女生的第25,50,75百分位數.
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
把27名女生的樣本數據按從小到大排序,可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知樣本數據的第25，50，75百分位數為第7，14，21項數據，分別為155.5，161，164.
據此可估計該中學高一年級女生的第25，50，75百分位數分別約為155.5，161和164.
當樣本量比較小時，對總體的估計可能會存在比較大的誤差。
思考：同樣的，根據23名男生的樣本數據，請你估計樹人中學高一年級男生的第25，50，75百分位數. 如果要減少估計的誤差，你覺得應該怎么做?
173.0???174.0???166.0???172.0???170.0???165.0???165.0???168.0??184.0 173.0???
172.0???173.0???175.0???168.0???170.0???172.0??176.0???175.0 168.0???173.0???
167.0???170.0???175.0
?
解：把23名男生的樣本數據按從小到大排序，結果如下：
164.0 165.0 165.0 166.0 167.0 168.0 168.0 168.0 170.0 170.0 170.0 172.0
172.0 172.0 173.0 173.0 173.0 173.0 174.0 175.0 175.0 175.0 176.0
由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知樣本數據的第25，50，75百分位數為第6，12，18項數據，分別為168.0，172.0，173.0.
據此可以估計樹人中學高一年級男生的第25，50，75百分位數分別約為168.0，172.0，173.0. 通過增加樣本量，可以減少估計的誤差.
例2 根據下列圖表，估計月均用水量的樣本數據的80%和95%分位數.
分析：有些情況下，我們只能獲得整理好的統計表或統計圖與原始數據相比，它們損失了一些信息。例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)內有5個數據，但不知道這5個數據具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區間上.
變式 根據下圖估計月均用水量的樣本數據的80%和95%分位數.
解：由頻率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
在16.2t以下的居民用戶所占比例為
∴80%分位數一定位于[13.2,16.2)內.
由
可以估計月均用水量的樣本數據的80%
分位數約為14.2
分組
頻數
頻率
[1.2，4.2)
23
0.23
[4.2，7.2)
32
0.32
[7.2，10.2)
13
0.13
[10.2，13.2)
9
0.09
[13.2，16.2)
9
0.09
[16.2，19.2)
5
0.05
[19.2，22.2)
3
0.03
[22.2，25.2)
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
100
1.00
類似地，由
則月均用水量的樣本數據的95%分位數約為22.95
本節課你學到了哪些知識？
①按從小到大排列原始數據．
②計算i＝n×p%.
③若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；
若i是整數，則第p百分位數是第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
2.用原始數據求百分位數
3.用頻率分布表、頻率分布直方圖估算百分位數
1.百分位數定義
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數據大于或等于這個值.
1.根據某地區氣象局發布的氣象數據，未來十天內該地區每天的最高溫
度(單位：℃ )分別為31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這
組數據的第40百分位數為( )
?
C
A. 27 B. 26.5 C. 25.5 D. 25
[解析] 先將這些數據按照從小到大進行排序，
可得23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，
又 10×40%=4 ，
所以該組數據的第40百分位數為排序后的第4個數和第5個數的平均數，
即 25+262=25.5 ，故選C.
?
2.某市舉行中學生詩詞大賽，分初賽和復賽兩個階段進行.規定：初賽成績大于90分的具有參加復賽的資格.某校有800名學生參加了初賽，所有
學生的成績（單位：分）均在區間[30，150]內，其頻率分布直方圖如圖.估計初賽成績的第80百分位數.
解 由題圖得，(0.0025+0.0075+0.0075+a+0.0125+0.0050)×20=1，
∴ a=0.0150
初賽成績在110分以下的頻率為(0.0025+0.0075+0.0075+0.0150)×20=0.65
初賽成績在130分以下的頻率為0.65+0.0125×20=0.90
∴ 初賽成績的第80百分位數一定在[110，130]內.
由 110+0.80?0.650.90?0.65×20=122 ，可估計初賽成績的第80百分位數是122.

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