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9.2.4 總體離散程度的估計
第九章 統計
1.理解方差、標準差的含義，會計算方差和標準差.
2.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數及方差的方法.
有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？
如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？
4 4 5 7 7 7 8 9 9 10
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
從數據看，甲、乙射擊成績的平均數、眾數、中位數均為7.
從統計圖看，甲的成績比較分散，波動較大；
乙的成績比較集中，比較穩定.
無差異
有差異
如何度量？
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
4 4 5 7 7 7 8 9 9 10
5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
一種簡單的度量數據離散程度的方法就是用極差.
甲命中環數的極差=10－4=6，乙命中環數的極差=9－5=4.
可以發現甲的成績波動范圍比乙的大.
極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度.但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，對其他數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.
如果射擊成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；
如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠.
因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量
成績的波動幅度.
?
如何定義？
給“平均距離”下定義
為了避免式子中出現絕對值，改用平方代替
設一組數據是x1, x2, …, xn，
則這組數據的方差為
知識點1：方差和標準差的定義
則這組數據的方差為
①為了計算方便，還可把方差寫成
設一組數據是x1, x2, …, xn，
由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方。
注：s≥0；s=0時表示這組數據的每個數據都是相等的.
②這組數據的標準差為
嘗試歸納計算方差的基本步驟
①計算平均值；
②計算每個數據與平均值的差的平方；
③將所有平方相加；
④將上述平方和除以數據個數（樣本容量）.
現在你能解決這個問題嗎？
有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？
如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？
可根據標準差來判斷兩名運動員的成績的離散程度，
計算可得????甲=????，????乙≈????.????????????.
由????甲>????乙可知,____的成績離散程度大.
由此可以估計,____比____的射擊成績穩定.
如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.如果兩人都排在前面，就選______________選手；
如果兩人都排在后面，就選____選手.
?
甲
甲
乙
成績穩定的乙
甲
知識點2：樣本和總體的方差和標準差
若總體中所有個體的變量值分別為????????，????????，…，????????，總體平均數為????，
則稱????????=????????????=????????(?????????????)????為總體方差，????=????????為總體標準差.
?
標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度：
標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小.
思想：用樣本標準差估計總體標準差
總體方差的加權形式:若總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，
不妨記為????????，????????，...，????????，其中Y;出現的頻數為f;(i= 1，2，...k),
則總體方差為
?
若一個樣本中個體的變量值分別為????????，????????, ...，????????,樣本平均數為y,
則稱 為樣本方差，????=????????為樣本標準差.
?
鞏固1：方差和標準差的計算
[練習1]某同學近5次考試的數學附加題的得分分別為30,26,32,27,35，則這組數據的方差為 .
[練習2]隨機調查某校50個學生的午餐費，結果如下表，
這50個學生午餐費的平均值和方差分別是(　 　)
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}餐費(元)
3
4
5
人數
10
20
20
練一練
鞏固2：方差和標準差的意義
[練習3]樣本數均為9的四組數據，它們的平均數都是5，條形圖如圖所示，則標準差最大的一組是(　　)
A．第一組　　　B．第二組 C．第三組 D．第四組
D
追問1：比較4組方差的大小關系
練一練
鞏固3：方差和標準差的性質
[練習4]已知數據x1，x2，x3，…，xn是上海普通職工n個人的年收入(n≥3，n∈N*)，
設這n個數據的中位數為x，平均數為y，方差為z，如果再加上馬云的年收入
xn＋1，則這n＋1個數據中，下列說法正確的是(　　)
A．平均數大大增大，中位數一定變大，方差可能不變
B．平均數大大增大，中位數可能不變，方差變大
C．平均數大大增大，中位數可能不變，方差也不變
B
練一練
追問1：數據x1，x2，x3，…，xn平均數為????,方差為????????
則數據x1+1,x2+1,x3+1,…，xn+1,平均數為? 方差為？
?
則數據2x1,2x2,2x3,…，2xn,平均數為? 方差為？
則數據2x1+1,2x2+1,2x3+1,…，2xn+1,平均數為? 方差為？
知識點3：平均數、方差、標準差的性質
[引例1]若樣本數據x1，x2，…，x10的平均數為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1
的平均數為(　　)
A．8 B．15 C．16 D．32
B
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}數據
平均數
標準差
方差
x1，…，xn
s
s2
ax1+b，…，axn+b
|a|s
a2s2
回顧：分層隨機抽樣的總樣本平均數、總體平均數
如：調查高一級712名(男326/女386)同學的平均身高，抽50名同學作為樣本
(法一)
(法二)
例6.在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62. 你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差做出估計嗎？
解:把男生樣本記為????????，????????，... , ????????????，其平均數記為????，方差記為????????????;
把女生樣本記為????????，????????，... , ????????????, 其平均數記為????，方差記為????????????;
把總樣本數據的平均數記為????，方差記為????????.
?
例6.在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62. 你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差做出估計嗎？
代入數據得總樣本方差為51.4862
總樣本的平均數：
知識點4：分層隨機抽樣的方差和標準差
分層隨機抽樣的方差計算：
設樣本容量為????，平均數為????，其中兩層的個體數量分別為????????，????????，
兩層的平均數分別為????????，????????，方差分別為????????????，????????????，
則這個樣本的方差為：????????=????????????[????????????+(?????????????)????]+????????????[????????????+(?????????????)????].
?
計算分層隨機抽樣的方差????????的步驟
(1)確定各層的樣本均值和樣本方差: ????????，????????，????????????, ????????????;
(2)確定總樣本均值????;
(3)應用公式???????? ="[???????????? + ?????????????????] +????????????[???????????? +?????????????????]計算????????.
?
知識點5：樣本和總體的方差和標準差
例如，根據9.2.1節中100戶居民用戶的月均用水量數據，
可以計算出樣本平均數????=????.????????，樣本標準差????=????.????????.
?
以樣本點為中心，兩倍標準差的范圍
樣本標準差刻畫了樣本數據離平均數波動的幅度大小，平均數和標準差一起能反映數據取值的信息.
這100個數據中大部分落在區間[????-s，????+s]= [2.59，14.99]內，
在區間[????-2s，????+ 2s] = [-3.16，21.19]外的 只有7個. .
絕大多數數據落在[????-2s，???? + 2s]內.
?
[練習5]一個小商店從一家有限公司購進21袋白糖，每袋白糖的標準質量是500g，為了了解這些白糖的質量情況，稱出各袋白糖的質量（單位：g）如下：486 495 496 498 499 493 493498 484 497 504 489 495 503499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均質量是多少？標準差s是多少？
（2）質量位于????-s與????+s之間有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
?
（2）質量位于????-s與????+s之間，即重量在
?
解：（1）
練一練
[練習6]某學校有高中學生500人，其中男生320人，女生180人．有人為了獲得該校全體高中學生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標值（單位：cm），計算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值為163.83，方差為30.03．
（1）根據以上信息，能夠計算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？
（2）如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？
（3）如果已知男、女的樣本量都是25，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？它們分別作為總體均值和方差的估計合適嗎？為什么？
練一練
（1）不能，因為男生女生的樣本量不知；
都不合適，男女生身高差異很大,
這個樣本的分布和總體分布可能相差比較大.
????????=????????????[????????????+(?????????????)????]+????????????[????????????+(?????????????)????]
?
分層隨機抽樣的方差：

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