資源簡介

9.2.2 總體百分位數的估計
第九章 統計
1.正確理解第p百分位數的概念，掌提求n個數據的第p百分位數的方法.
【回顧一】如何求一組數據的中位數？
先排序，數據個數為奇數個取中間值，偶數個取中間兩個的平均數；
【回顧二】中位數一定是給定這組數據中的一個數嗎？
不一定，比如給定數據個數為偶數個時，中位數就可能不在這組數據中。
【回顧三】一組數據中小于等于中位數的數據占比至少為多少？大于等于中位數的占比至少為多少？
均至少為50%
問題一：某市政府為了減少水資源的浪費,計劃對居民生活用水實施階梯水價制度,即確定一戶居民月用水量標準a，讓用水量不超過a的部分按平價4塊每噸收費,如果超出，超出a的部分按6塊每噸收費。現對100戶家庭進行了調查，數據如下，如果希望50%的家庭每月用水都能享受平價,如何確定a?
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第二步：計算中位數6.8噸，所以a值可確定為6.8噸。
解：第一步：排序
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問題二：如果希望80%的家庭能享受平價,如何確定標準a?
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提示：根據以上樣本數據，使全市居民用戶用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.
一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少___ 數據 這個值，且至少有 的數據 這個值，也可以稱作p%分位數。
第p百分位數
p%
≤
（ 100-p）%
≥
思考：根據第p百分位數的定義和樣本數據，你能求出80%的家庭能享受平價的標準的a值嗎？
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100×80%=80
[13.6,13.8）
13.6+13.82=13.7
?
這里的第80百分位數是否還可能是其他值？
問題3：由于登記員的失誤，第100個數據被抹掉了，你能不能只利用這99個數據求出80%的家庭能享受平價的標準的a值？
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24.5
25.6
28.0
99×80%=79.2
例1. 以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績：73,72,84,88,92,93,95,55,83,90,79,73,82,90,69,
（1）試求這15人成績的第25百分位數;
（2）求這15人成績的第60百分位數。
解：(1)第一步：排序:55,69,72,73,73,79,82,83,84,88,90,90,92,93,95;
第二步：15×25%=3.75；
第三步：第4位同學的成績，即73可以作為第25百分位數。
(2)第一步：排序:55,69,72,73,73,79,82,83,84,88,90,90,92,93,95;
第二步：15×60%=9；
第三步：取第9位和第10位同學的平均成績，即86分為這組數據第60百分位數。
思考1：結合第p百分位數定義和這兩道題目，如果要求一組數據的第p百分位數，可以分為幾類？
思考2：試總結求一組數據第p百分位數的方法和步驟。
1.幾個重要的百分位數
常用分位數：第25百分位數，第50百分位數，第75百分位數.
這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.
像第1百分位數，第5百分位數，第95百分位數，第99百分位數也常用.
25%
第一四分位數
(下四分位數)
50%
75%
中位數
第三四分位數
(上四分位數)
知識歸納
2.計算一組n個數據的第p百分位數的步驟：
第1步：按從小到大排列原始數據．
第2步：計算i＝n×p%.
第3步：若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據
若i是整數,則第p百分位數是第i項與第(i＋1)項數據的平均數．
知識歸納
1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若一組樣本數據各不相等，則其75%分位數大于25%分位數． (　　)(2)若一組樣本數據的10%分位數是23，則在這組數據中有10%的數據大于23．
(　　)(3)若一組樣本數據的24%分位數是24，則在這組數據中至少有76%的數據大于或等于24．(　　)
√
√
×
練一練：
例2 根據下列圖表，估計月均用水量的樣本數據的80%和95%分位數.
分析：有些情況下，我們只能獲得整理好的統計表或統計圖與原始數據相比，它們損失了一些信息。例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)內有5個數據，但不知道這5個數據具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區間上.
解：由頻率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
在16.2t以下的居民用戶所占比例為
∴80%分位數一定位于[13.2,16.2)內.由
可以估計月均用水量的樣本數據的80%分位數約為14.2
分組
頻數
頻率
[1.2，4.2)
23
0.23
[4.2，7.2)
32
0.32
[7.2，10.2)
13
0.13
[10.2，13.2)
9
0.09
[13.2，16.2)
9
0.09
[16.2，19.2)
5
0.05
[19.2，22.2)
3
0.03
[22.2，25.2)
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
100
1.00
類似地，由
可以估計月均用水量的樣本數據的95%分位數約為22.95
試一試：根據下圖估計月均用水量的樣本數據的80%和95%分位數.
先算各組的頻率，解題步驟如下：
設80%分位數為m，則
0.77+(m-13.2)×0.030=0.80，解得
m=14.2.
設95%分位數為n，則
0.94+(n-22.2)×0.013=0.95，解得
n=22.97.
月平均用水量/t
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
0.077
頻率/組距
0.32
0.13
0.09
0.09
0.05
0.03
0.04
0.23
0.02
求總體百分位數的估計，首先要從小到大排列數據，
頻率直方圖看作數據均勻分布在直方圖上，然后計算出i=n×p%, 當i不是整數要取整，頻率直方圖要計算出比例值。
由頻率直方圖計算百分位數的規律：
知識歸納
1.數據7, 8.4, 8.4, 8.4, 8.6, 8.7, 9, 9.1的30%分位數為（ ）
A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3
√
2.以下數據為參加數學競賽決賽的15人的成績(單位：分)：78, 70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，則這15人成績的第80百分位數是
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
√
3.為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數據均在區間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，你能估計一下60株樹木的第50百分位數嗎？
解：由題意知分別落在各區間上的頻數為
在(80,90)上有60×0.15=9,在(90,100)上有60×0.25=15,
在(100,110)上有60×0.3=18,在(110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
由100+10×0.5?0.40.7?0.4 =100+103≈103.3，
從以上數據可知第50百分位數一定落在區間(100,110)上，
第75百分位數一定落在區間[110,120]上，
由110+10×0.75?0.70.9?0.7=110+104=112.5
綜上可知，第50百分位數和第75百分位數分別估計為103.3 cm,112.5cm.
?
1.本節課你學到了什么？
2.請你用自己的語言總結描述第p百分位數在一組數據中的地位。
3.由頻率分布直方圖百分位數的步驟是什么？

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