資源簡介

2024-2025學年江蘇省南通市海門區東洲中學九年級（下）月考數學試卷（3月份）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題紙相應位置上）
1．（3分）下列選項中，比﹣2℃低的溫度是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
2．（3分）北沿江高鐵是構建長三角一體化發展的主要項目，計劃總投資約41800000000元，將41800000000用科學記數法表示為（　　）
A．4.18×1011 B．4.18×1010
C．0.418×1011 D．418×108
3．（3分）已知，則代數式的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，變形后的結果正確的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝9 C．（x+4）2＝23 D．（x+4）2＝﹣9
5．（3分）如圖，直線DE把△ABC分成等面積的兩部分，且BC∥DE，則的值為（　　）
A．1 B． C． D．
6．（3分）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F，EG平分∠BEF，交CD于點G，若∠1＝70°，則∠2的度數是（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
7．（3分）等腰三角形三邊長分別為a、b、4，且a、b是關于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的兩根，則k的值為（　　）
A．30 B．34或30 C．36或30 D．34
8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據尺規作圖的痕跡判斷以下結論錯誤的是（　　）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
9．（3分）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點B，C，D，E在一條直線上，點C，D重合，△ABC沿射線DE方向運動，當點B與點E重合時停止運動．設△ABC運動的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數關系的圖象是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）若a、b滿足a2+b2＝2+ab，則（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值與最小值的差為（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．（3分）如果分式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為 　 　 ．
12．（3分）分解因式：4x2y﹣12xy＝　 　 ．
13．（4分）已知點P（m+2，2m﹣4）在x軸上，則點P的坐標是　 　 ．
14．（4分）將拋物線y＝﹣2x2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為　 　 ．
15．（4分）如圖，已知圓錐的高為，高所在直線與母線的夾角為30°，圓錐的側面積為 　 　 ．
16．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點，點B是的中點，則∠ABE＝　 　 ．
17．（4分）如圖，直線l與反比例函數圖象交于點A、B，與y軸正半軸交于點E，過A、B分別作x軸平行線交y軸于點C、D，若點B橫坐標是﹣4，CD＝3AC，，則k的值為 　 　 ．
18．（4分）已知x滿足﹣1≤x≤1，對于滿足條件的每一個x的值，都有ax+2a﹣3＜0，則a的取值范圍是 　 　 ．
三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（10分）（1）計算：；
（2）．
20．（10分）解方程：
（1）；
（2）．
21．（10分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC的中點．求證：AB＝AC．
小芳同學解題過程如下：解：∵D為BC的中點，∴DB＝DC．（第一步）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．（第二步）又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．（第三步）∴AB＝AC．（第四步）
（1）小芳同學解題過程中，出現錯誤的是第 　 　 步；
（2）寫出正確的解題過程．
22．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b（a≠0）與反比例函數的圖象交于點A（﹣1，m），B（2，﹣1）．
（1）求此一次函數和反比例函數的解析式；
（2）直接寫出不等式的解集．
23．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點G，過D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當AB＝5，BC＝6時，求BF的值．
24．（12分）某校九年級開展了主題為“科技改變生活”的科技知識競賽，對活動中表現優秀的選手予以評獎，并頒發A、B、C、D四種獎品，購買獎品的收據如表，其中部分數據因污漬遮蓋缺失，請根據表格提供的信息，解決下列問題：
獎品 單價（元/件） 數量（件） 金額（元）
A 50 4 200
B 25
C 18
D 8 12
合計 28 568
（1）購買D種獎品的金額為 　 　 元；
（2）求購買的B、C兩種獎品的數量；
（3）為在該校八年級同步推廣此項活動，決定以上面的價格再購進B、C、D三種獎品各若干件，共計20件，總花費400元，請確定購買方案．
25．（14分）【問題背景】在四邊形ABCD中，E是CD邊上一點，延長BC至點F使得CF＝CE，連接DF，延長BE交DF于點G．
【特例感知】
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形時，求證：△BCE≌△DCF；
【深入探究】
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AB＝2，當G為DF的中點時，求CE的長；
【拓展提升】
（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AD＝4，點H在BE的延長線上，且滿足BE＝5EH，當△EFH是直角三角形時，請求出CE的長．
26．（14分）已知二次函數y＝mx2﹣4mx+5（m≠0）．
（1）將此函數圖象向下平移4|m|個單位，若所得圖象的頂點落在x軸上，求m的值；
（2）設點M（m，y1），N（4，y2）在該二次函數的圖象上，且y1＜y2，求實數m的取值范圍；
（3）已知點P（1，6﹣m），Q（3，3），線段PQ與此函數圖象有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．
2024-2025學年江蘇省南通市海門區東洲中學九年級（下）月考數學試卷（3月份）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B． D B C B D D A D
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題紙相應位置上）
1．【解答】解：根據兩個負數，絕對值大的反而小可知﹣3＜﹣2，
所以比﹣2℃低的溫度是﹣3℃．
故選：A．
2．【解答】解：41800000000＝4.18×1010．
故選：B．
3．【解答】解：已知，
則＝4，
那么b﹣a＝4ab，
即a﹣b＝﹣4ab，
原式＝
＝
＝
＝，
故選：D．
4．【解答】解：x2+8x+7＝0，
x2+8x＝﹣7，
x2+8x+16＝﹣7+16，
（x+4）2＝9，
故選：B．
5．【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝．
故選：C．
6．【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
∴∠2＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，
∴∠2＝（180°﹣70°）＝55°．
故選：B．
7．【解答】解：∵等腰三角形三邊長分別為a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一個數為4．
當a＝b時，有b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4（k+2）＝0，
解得：k＝34；
當a、b中有一個數為4時，有42﹣12×4+k+2＝0，
解得：k＝30，
當k＝30時，原方程為x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8，
∵4+4＝8，
∴k＝30不合適．
故選：D．
8．【解答】解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正確，
故選：D．
9．【解答】解：過點A作AM⊥BC，交BC于點M，
在等邊△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等邊△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC AM＝4，
①當0＜x≤2時，設AC與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG，
由題意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD DG＝x2；
②當2＜x≤4時，設AB與DF交于點G，此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC，
由題意可得：CD＝x，則BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③當4＜x≤8時，設AB與EF交于點G，過點G作GM⊥BC，交BC于點M，
此時△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG，
由題意可得CD＝x，則CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
綜上，選項A的圖象符合題意，
故選：A．
10．【解答】解：∵a2+b2＝2+ab，
∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）
＝4a2+9b2﹣12ab+a2﹣4b2
＝5a2+5b2﹣12ab
＝5（a2+b2）﹣12ab
＝10+5ab﹣12ab，
＝10﹣7ab．
∵a2+b2＝2+ab，
∴（a+b）2＝2+3ab，
∴ab＝（a+b）2﹣，
∴ab的最小值為﹣，
∴﹣7ab的最大值為．
∴10﹣7ab的最大值為．
∵a2+b2＝2+ab，
∴（a﹣b）2＝2﹣ab≥0．
∴ab≤2．
∴﹣7ab≥﹣14．
∴10﹣7ab≥﹣4．
∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值與最小值的差為：﹣（﹣4）＝．
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．【解答】解：根據題意，得x+1≠0，
解得x≠﹣1，
∴x的取值范圍為x≠﹣1．
故答案為：x≠﹣1．
12．【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），
故答案為：4xy（x﹣3）．
13．【解答】解：∵點P（m+2，2m﹣4）在x軸上，
∴2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
∴m+2＝4，
則點P的坐標是：（4，0）．
故答案為：（4，0）．
14．【解答】解：將拋物線y＝﹣2x2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣3）2+2，
故答案為：y＝﹣2（x﹣3）2+2．
15．【解答】解：如圖，∠BAO＝30°，AO＝，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO＝，
∴BO＝tan30°＝1，即圓錐的底面圓的半徑為1，
∴AB＝＝2，即圓錐的母線長為2，
∴圓錐的側面積＝ 2π 1 2＝2π．
故答案為2π．
16．【解答】解：如圖，連接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直徑，
∵點B是的中點，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案為：13°．
17．【解答】解：∵BD∥x軸，
∴∠EDB＝90°．
∵，
∴可設DE＝3a，BE＝5a，
∴BD＝4a，
∵點B的橫坐標為﹣4，
∴4a＝4，則 a＝1，
∴DE＝3，
∵CD＝3AC，
∴可設AC＝b，CD＝3b．
∵AC∥BD，
∴．
∴．
∴，
∴，則，
∴，．
設B點的縱坐標為n，
∴OD＝n，則，
∴A（﹣， +n），B（﹣4，n），
∵A、B是反比例函數圖象上的兩點，
∴k＝﹣×（+n）＝﹣4n．
∴，
∴k＝﹣．
故答案為：﹣．
18．【解答】解：x滿足﹣1≤x≤1，對于滿足條件的每一個x的值，都有ax+2a﹣3＜0，
所以由不等式ax+2a﹣3＜0，可得a＜，
∵﹣1≤x≤1，
∴，
∴1≤a＜3．
故答案為：1≤a＜3．
三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．【解答】解：（1）原式＝3﹣2×+2﹣+2
＝3﹣2+2﹣+2
＝4；
（2）原式＝
＝
＝a+2．
20．【解答】解：（1）原方程移項得：（2x﹣1）2﹣（1﹣2x）＝0，
整理得：（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
因式分解得：（2x﹣1）（2x﹣1+3）＝0，
即（2x﹣1）（2x+2）＝0，
則2（2x﹣1）（x+1）＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣1；
（2）原方程去分母得：3﹣x﹣x＝﹣x+2，
解得：x＝1，
檢驗：當x＝1時，x﹣2≠0，
故原分式方程的解為x＝1．
21．【解答】解：（1）根據∠BAD＝∠CAD不能推導出AB＝AC，
因此出現錯誤的是第三步，
故答案為：三；
（2）正確的解題過程如下：
∵D為BC的中點，
∴DB＝DC．
如圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
22．【解答】解：（1）由題意，∵反比例函數的圖象交于點A（﹣1，m），B（2，﹣1），
∴k＝2×（﹣1）＝（﹣1）×m．
∴k＝﹣2，m＝2．
∴反比例函數為y＝﹣，A（﹣1，2）．
∵一次函數y＝ax+b（a≠0）過點A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴．
∴．
∴一次函數的解析式為y＝﹣x+1．
（2）由題意，∵不等式的解集是函數y＝ax+b的圖象在函數y＝的圖象上方部分對應的自變量的取值范圍，且A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∴結合圖象可得，不等式的解集為x≤﹣1或0＜x≤2．
23．【解答】（1）證明：連接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，且OD為圓O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴，
在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，
根據勾股定理得：，
∵∠ODA+∠ODB＝∠ADB＝90°，∠FDB+∠ODB＝∠ODF＝90°，
∴∠FDB＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDA，
∴，
設BF＝3k，DF＝4k，
∴AF＝AB+BF＝5+3k，
∴，
解得：，
∴．
24．【解答】解：（1）12×8＝96（元）．
故答案為：96．
（2）購買的B、C兩種獎品的數量分別為x件、y件，
，
解得：，
答：購買的B、C兩種獎品的數量分別為8件、4件．
（3）設購進B獎品m件、C獎品n件、則D種獎品（20﹣n﹣m）件，
25m+18n+8（20﹣m﹣n）＝400，
整理得，17m+10n＝240，
解得：n＝，
∵m、n為正整數，
∴當m＝10時，n＝7，20﹣10﹣7＝3，
答：購進B獎品10件、C獎品7件、D種獎品3件．
25．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝90°＝∠BCD，且BC＝DC，CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：過點G作GH∥BC，交DC于點H，如圖，
∵GH∥|BC，G為DF的中點，
∴，
∴，
∴GH為△DCF 的中位線，
∴．
設GH＝x，則CE＝CF＝2x，
∴HE＝1﹣2x．
∵GH∥BC，
∴△GHE∽△BCE，
∴，
∴（負數不合題意，舍去），
∴，
∴；
（3）解：CE的長為或或2．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴CE＜BC，∠BEC＞∠CBE，
∴∠BEC＞45°，
∴∠FEH＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＜90°，
第一種情況，如圖所示，當∠H＝90°，△EFH是直角三角形，
設CE＝CF＝a，則BF＝BC+CF＝4+a，
在Rt△BCE中，，
∵BE＝5EH，
∴，
則，
∵∠EBC+∠BEC＝∠EBC+∠CFH＝90°，
∴∠BEC＝∠CFH，且∠BCE＝∠H＝90°，
∴△BCE∽△BHF，
∴，即，
整理得，3a2﹣10a+8＝0，
解得，，經檢驗符合題意，
∴CE＝2或；
第二種情況，如圖所示，∠EFH＝90°，△EFH是直角三角形，過點H作HN⊥BC延長線于點N，
∴HN∥CE，
∵CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，
∵∠CFE+∠EFH+∠HFN＝180°，
∴∠HFN＝180°﹣∠CFE﹣∠EFH＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠NHF＝90°﹣∠HFN＝90°﹣45°＝45°，
∴△HFN是等腰三角形，則NF＝NH，
∵HN∥CE，
∴△BCE∽△BNH，
∴，
∵BE＝5EH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
綜上所述，CE的長為或或2．
26．【解答】解：（1）y＝m（x﹣2）2+5﹣4m，
∴頂點為（2，5﹣4m），
∵此函數圖象向下平移4|m|個單位，若所得圖象的頂點落在x軸上，
∴5﹣4m﹣4|m|＝0，
①當m＞0時，則5﹣8m＝0，
解得m＝；
②當m＜0時，則5﹣4m+4m＝0，
無解；
故m＝；
（2）由題可知對稱軸為直線x＝＝2，
①當m＞0時，
當x＞2時，y隨x增大而增大，當x＜2時，y隨x增大而減小，
∵y1＜y2，
∴點M更加靠近對稱軸，
∴0＜m＜4；
②當m＜0時，很明顯m﹣2＞2，
此時點M離對稱軸更遠，
∴y1＞y2，與題意矛盾，故舍去；
綜上，0＜m＜4；
（3）由題可知二次函數對稱軸為直線x＝2，
所以P和Q到對稱軸距離相等，
即二次函數與線段PQ只有一個交點的情況僅存在于頂點在線段PQ上，
設PQ表達式為y＝kx+b，將點P（1，6﹣m），Q（3，3）代入得，
，解得，
∴y＝x+，
由（1）知拋物線的頂點為（2，5﹣4m），
∴5﹣4m＝m﹣3+，
解得m＝．

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