資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.3實際問題與二元一次方程組
第1課時
一、教學目標
1.能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組并解決簡單的實際問題；
2.會利用二元一次方程組解決和、差、倍、分等問題；
3.經歷“分析數量關系→設未知數→列方程組→解方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數問題的數學模型；
4.通過探究實際問題，進一步認識利用二元一次方程組解決問題的基本過程，體會數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力.
二、教學重難點
重點：探究用二元一次方程組解決實際問題的過程.
難點：發現問題中隱含的未知數，尋找等量關系并列出方程組，由方程組的解解釋實際問題.
三、教學用具
多媒體等.
教學過程設計
環節一 復習回顧
【回顧】
解二元一次方程組的方法有哪些？
預設答案：代入法、加減法.
教師活動：教師提出問題，引導學生回顧兩種解二元一次方程組的方法.
追問：這兩種方法的具體步驟是什么？
預設答案：
設計意圖：回顧解二元一次方程組的兩種常見的方法以及兩種方法解題的具體步驟.為接下來用二元一次方程組解決實際問題做鋪墊.
環節二 探究新知
【探究】
養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675 kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940 kg.飼養員李大叔估計每頭大牛1天約需飼料18~20 kg，每頭小牛1天約需飼料7~8kg.你能通過計算檢驗他的估計嗎？
問題1：題目中有哪些未知量？
教師活動：教師提出問題，引導學生關注有2個未知量.
預設答案：每頭大牛1天需用的飼料和每頭小牛1天需用的飼料.
問題2：題目中有哪些等量關系？
教師活動：引導學生關注有2個等量關系.
預設答案：30頭大牛1天用的飼料15頭小牛1天用的飼料675 kg
42頭大牛1天用的飼料20頭小牛1天用的飼料940 kg
問題3：如何根據等量關系列方程組？
教師活動：引導學生根據題中的等量關系，建立方程組.
解：設每頭大牛和每頭小牛1天分別約用飼料x kg和y kg，根據題意，得：
設計意圖：讓學生經歷分析數量關系，得到等量關系，列方程組的過程，培養了學生列方程組解決實際問題的意識和應用能力.
問題4：列一元一次方程能解決這個問題嗎？
教師活動：引導學生體會當未知數的個數有2個時，列二元一次方程組比列一元一次方程解決問題更簡單.
解：若設每頭大牛1天需要x kg飼料.則每頭小牛1天需要kg飼料.
由題意得：
問題5：如何解這個方程組呢？
教師活動：提出問題，學生解方程組，并讓學生交流、討論，教師引導學生對比，發現先化簡再解更簡捷.
方法一：直接消元
解：①4，得120x60y2700，③
②3，得126x60y2820，④
④③，得6x120，解得x20.
把x20代入①，得302015y675，
解得y5.
所以這個方程組的解是
方法二：先化簡再消元
解：方程組可化簡為
由①，得y452x，③
把③代入②，得21x10(452x)470，
解得x20.
把x20代入③，得y5.
所以這個方程組的解是
設計意圖：讓學生認識到，由實際問題列出的方程組，有時系數較為復雜，先化簡再求解，可以簡化運算.
問題6：飼養員李大叔估計的準確嗎？
教師活動：引導學生對比計算結果和李大叔的估計，得到結論.
預設答案：飼養員李大叔對大牛的食量估計準確，對小牛的食量估計偏高.
設計意圖：引導學生用方程組的解去分析、解釋實際問題.
【思考交流】
隨著養牛場規模逐漸擴大，李大叔需聘請飼養員協助管理現有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養員每人可負責8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養員每人可負責5頭大牛和2頭小牛，請問李大叔應聘請甲、乙兩種飼養員各多少人？
解：設李大叔應聘請甲種飼養員x人，乙種飼養員y人.
則： 8x 5y 42，
4x 2y 20.
解得： x 4 ，
y 2 .
李大叔應聘請甲種飼養員4人，乙種飼養員2人.
【歸納】
列二元一次方程組解應用題的一般步驟
教師活動：組織學生小組討論，然后組內選取代表回答，教師匯總并補充：
1.審題：認真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關系；
2.設元：用字母表示題目中的未知數；
3.列方程組：根據題中的等量關系列出方程組；
4.解方程組：解方程組，求出未知數的值；
5.檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.
設計意圖：引導學生總結運用方程組建立數學模型，解決實際問題的步驟.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師活動：教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1 某單位組織200人到甲、乙兩地旅游，到甲地的人數比到乙地的人數的2倍少10人，到兩地參加旅游的人數各是多少？
教師活動：先帶領學生讀題，分析題中的已知量、未知量、等量關系等，引導學生思考，列出二元一次方程組.
解：設到甲、乙兩地旅游的人數分別是x人、y人.
由題意得：
解得：
答：到甲、乙兩地旅游的人數分別是130人、70人.
總結：
1.基本數量關系：各部分數量之和=全部數量；
2.方法：明顯的關鍵詞，如比、是、等于、多、 少、倍、共、和、幾分之幾等；
隱含的關鍵詞，總面積，總數量，總錢數等.
設計意圖：通過例題，進一步鞏固所學知識，培養學生的數學建模思想和應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力.
環節四 課堂練習
教師活動：教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.甲、乙兩數的和為42，甲數的3倍等于乙數的4倍，求甲、乙兩數，設甲數為x，乙數為y，則下列方程組正確的是( )
A.
B.
C.
D.
答：B.
2.用4700張紙裝訂成兩種掛歷共500本，其中甲種每本7張紙，乙種每本13張紙.若甲種掛歷有x本，乙種掛歷有y本，則下面所列方程組正確的是( )
A.
B.
C.
D.
答：B.
3.某工廠有60名工人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天可生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套？
解：設生產螺栓、螺母人數分別是x人、y人.
由題意得：
解得：
答：生產螺栓、螺母人數分別是25人、35人.
4.某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試：同時開放1個大餐廳和2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳和1個小餐廳，可供2280名學生就餐.
(1)求1個大餐廳和1個小餐廳分別可供多少名學生就餐？
(2)若7個餐廳同時開放，請估計一下能否供應全校的5300名學生就餐？請說明理由.
解：(1)設1個大餐廳和1個小餐廳分別可供x名、y名學生就餐.
由題意得：
解得：
所以1個大餐廳和1個小餐廳分別可供960名、360名學生就餐.
(2)若7個餐廳同時開放，則：
596023605520，
55205300.
所以若7個餐廳同時開放，可以供應全校5300名學生就餐.
設計意圖：通過例題，進一步鞏固所學知識，培養學生的數學建模思想和應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力.
環節五 歸納總結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過提問讓學生回顧、總結、梳理本節課所學內容，使零散的知識系統化，同時培養學生的語言表達能力.

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