資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.2《消元——解二元一次方程組》
第3課時 加減消元法
本節課是在學生學習了二元一次方程組及其解的概念，并且會用代入消元法解二元一次方程組，知道解二元一次方程組的基本思想是消元，將二元一次方程組轉化為一元一次方程.而本節課是在代入消元法的基礎上，學生發現的一種新的消元方法:加減消元法.加減消元法的得出，可以培養學生的創新能力和歸納能力，使學生會運用發現、分析、比較、綜合、歸納的方法研究問題，發展學生的核心素養.通過本節課的學習，使學生能夠更加熟練掌握解二元一次方程組的方法，為解決實際問題和解三元一次方程組以及求一次函數圖象交點坐標等知識打下堅實基礎.因此，本節課在“數與代數”領域中有著及其重要的地位與作用.
七年級學生的求知欲、好奇心、自我表現欲和探究能力都處于向上發展的階段，但是他們缺乏學習的主動性和創造性，還不太善于觀察，而且對稍微繁雜的運算缺乏耐心，也不善于總結和積累經驗.在這一時期，學生極容易出現兩極分化.因此提高學生的學習興趣、動手能力和思考能力至關重要.
1.掌握加減消元法的意義；
2.會用加減法解簡單的二元一次方程組；
3.讓學生經歷二元一次方程組解法的探究過程，進一步理解“消元”思想，從具體解方程組過程中體會化歸思想；
4.培養學生學會自主探索，與他人合作，與人交流思維過程的習慣.
重點：掌握加減消元法的意義；
難點: 會用加減法解簡單的二元一次方程組.
情境導入
問題1：2024年巴黎奧運會于7月26日至8月11日舉行，中國代表團最終在巴黎奧運會上奪得40金27銀24銅，金牌數與美國代表團并列首位.
某經銷店調查發現：與吉祥物相關的A，B兩款紀念品深受青少年喜愛，已知購進3個A款比購進2個B款多用120元；購進1個A款和2個B款共用200元，想知道A，B兩款紀念品的進貨單價該怎么計算呢？
答：如果我們設A款紀念品的進貨單價為x元，則B款紀念品的進貨單價為y元.
把變形，得，代入削去.
追問：還有別的更簡便的方法嗎？
師生活動：教師提問，學生獨立思考并舉手回答.
設計意圖：鞏固代入法解二元一次方程組，在此基礎上，提出新的問題，引導學生思考，為講解加減消元法做鋪墊.
探究新知
活動一：探究加減法解系數相等的二元一次方程組
問題2：對于方程組可以用代入消元法求解，除此之外，還有沒有其他方法呢？
師生活動：引導學生觀察兩個方程中未知數y的系數，發現y的系數相同，都是1.進而引導學生思考：怎樣才可以把y消去呢？此時可讓學生分小組討論，2分鐘后小組代表發言.
追問：這個方程組的兩個方程中，y的系數有什么關系 利用這種關系，你能發現新的消元方法嗎
答：這兩個方程中未知數 y的系數相等.
可依據等式的性質，把兩個方程分別相減，就可以消去未知數y.如：②式的左邊①式的左邊②式的右邊①式的右邊.即2xy(xy)8-6，整理化簡，得：2xyxy2，解得：x 2.具體過程如下：
解：②①，得.
把代入①，得.
所以這個方程組的解是 .
追問2：①②行嗎？
追問3：求出的值后，把x2代入②行嗎？
預設答案：都可以，具體過程如下：
解：①②，得.
把代入②，得.
所以這個方程組的解是 .
設計意圖：通過觀察方程組中同一個未知數的系數特點，引導學生思考新的消元方法.培養學生的觀察能力以及小組協作解決問題的能力.
活動二：探究加減法解系數為相反數的二元一次方程組
問題3：聯系上面的解法，想一想怎樣解方程組
教師活動：引導學生觀察，兩個方程中未知數y的系數互為相反數，把兩個方程的兩邊分別相加，就可以消去未知數y.
追問1：此題中未知數 y 的系數有什么新的關系？
答：兩個方程中 y 的系數互為相反數．
追問2：利用這種關系你能想到什么辦法消元？
答：用①＋②可消去未知數 y，化為一元一次方程，即(3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．
解：①②，得：3x10y15x10y2.88，
18x10.8，
x0.6.
把x0.6代入①，得： 30.610y2.8，
y0.1.
所以方程組的解為
上面解方程組的過程可以用下面的框圖表示：
設計意圖:引導學生通過觀察、比較方程組中系數之間的關系找出未知數的系數的特點，然后判斷用加減法當中的加法還是減法去消元，讓學生能夠自己歸納出用加減消元法的方法與技巧，為后面總結歸納加減消元法的基本方法做準備.
問題4：這兩個方程組的特點分別是什么？如何實現消元？依據是什么？
（1） （2）
師生活動：引導學生提出問題、分析問題并解決問題.從而使學生掌握用加減消元的必備條件.
答：（1）中y 的系數相等，通過兩方程相減實現消元，依據是等式的性質．
（2）y 的系數互為相反數，通過兩方程相加實現消元，依據是等式的性質 ．
歸納：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數互為相反數或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
強調：兩個方程中同一未知數的系數互為相反數或相等是兩個方程相加或相減能夠實現消元的條件.
加減消元法步驟：
①變形：同一未知數系數相等或相反；
②加減：消去一元，得一元一次方程；
③求解：分別求出兩個未知數的值；
④寫解：寫出方程組的解.
設計意圖:通過兩個活動，引導學生觀察、發現當二元一次方程組的兩個方程中同一個未知數的系數相反或相等時，根據等式的性質，將兩方程相加或相減即可實現消元.培養學生學習用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達的能力，發展學生的核心素養.
問題5：你能運用本節課所學的知識，解決情境中的問題嗎？
師生活動：教師提出問題，激發學生積極探尋解決問題的辦法，通過合作探究從而解決問題.
解：我們設A款紀念品的進貨單價為x元，則B款紀念品的進貨單價為y元.
①②，得： . .
把代入②，得
. .
所以這個方程組的解是 .
答：A款紀念品的進貨單價為80元，則B款紀念品的進貨單價為60元.
設計意圖:通過解決課前問題，前后呼應，使課堂教學變得完整.同時，也達到“學數學，用數學”的目的，進一步培養學生解決問題的能力，并讓學生嘗試成功的喜悅!
應用新知
【教材例題】
師生活動：教師在黑板上展示例題，學生認真分析思考，找一名學生上臺展示，試著寫出相應的過程，其他同學在作業本上計算.
例1 用加減法解方程組
解：①②，得：，
把代入①，得：，
.
追問：把代入②，可以解得y嗎
答：把代入②，
得：，
.
所以這個方程組的解為
設計意圖：通過例題，讓學生感受加減法解二元一次方程組的優越性，并掌握加減法解二元-次方程組的一般步驟.
【經典例題】
例2 解方程組.
分析：的系數與的系數的絕對值相等，①+②削去得方程 ，①-②削去得方程④， ④聯立成方程組，可解得與的值.
解：①+②得：

①-② ，得
④
解由 ④組成的方程組
解得
例3 甲、乙兩人同時解方程組，甲看錯了 b，求得的解為.乙看錯了 a，求得的解為，求原方程組正確的解.
分析：把代入①中求得a值，把代入②中求得b值，后求值計算即可.
解：根據題意：
把代入①中，得，
解得.
把代入②中，得，
解得.
故原方程組為.
②-①得，.
把代入②中，得.
解得
故方程組的解為.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.進一步熟悉加減法解二元一次方程組的基本思路.
課堂練習
【教材練習】
用加減法解下列方程組:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4).
分析：根據“變形、加減、求解、寫解”的步驟，利用加減消元法進行解方程組即可.
解： (1)
①+②，得，.
把代入①，得
， .
所以這個方程組的解是 .
(2)
②-①，得，.
把代入①，得
， .
所以這個方程組的解是 .
(3)
①-②，得，.
把代入①，得
， .
所以這個方程組的解是 .
(4)
①+②，得，.
把代入①，得
， .
所以這個方程組的解是 .
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.用加減法解方程組，應用( )
A.①-②消去y B.①-②消去x
C.②-①消去常數項 D.以上都不對
解析：方程①和②中x的系數相同，故用①-②消去x.故選B.
答：B
2.已知a，b滿足方程組，則a-b的值為( ).
A. -1 B.m-1 C.0 D.1
解析：
②-① ，得 a-b=1 故選D.
答：D
3.若關于的值為 .
解析：∵.
∴
①+②，得，.
把代入①，得1.
∴.
答：-3
4.在代數式ax + by中，當x=3，y=2時，它的值是-1，當x=5，y=-2時，它的值是17，求a，b的值.
分析：根據題意構造二元一次方程組，再利用加減消元法解二元一次方程組，即可求出a，b的值.
解：
①+②，得 ，.
把代入①，得
， .
所以這個方程組的解是
.
5.已知方程組與方程組解相同.
(1)求a，b的值; (2)求(2a+b)2024的值.
分析：(1) 因為兩個方程組有相同的解，故只需把兩個方程組中不含字母系數的方程和含有字母系數的方程分別組成方程組，求出未知數的值，再代入另一組方程組即可；
(2) 將(1)的結果代入代數式求值即可.
解：(1)由題意得：
①+②，得 ，.
把代入①，得
， .
將， 代入
得：
解得
(2)∵
∴(2a+b)2024=(2×1-3)2024
=(-1)2024=1
設計意圖：設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有施展的舞臺．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.加減消元法的概念是什么？
3.用加減消元法解二元一次方程組的步驟是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
“解二元一次方程組”是“二元一次方程組”一章中很重要的知識，占有重要的地位. 通過本節課的教學，使學生會用加減消元法解系數相同或互為相反數的二元一次方程組，進一步了解“消元”的思想. 加減法解二元一次方程組的基本思想與代入法相同，仍是“消元”化歸思想，通過代入法、加減法這些手段，使二元方程轉化為一元方程，從而使“消元”化歸這一轉化思想得以實現. 因此在設計教學過程時，注重化歸意識的點撥與滲透，使學生在學習中逐步體會理解這種具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.
教學一開始給出了一個二元一次方程組，先讓學生用代入法求解，既復習了舊知識，又引出了新課題，引發學生探究的興趣. 通過學生的觀察、發現，理解加減消元法的原理，使學生明確使用加減法的條件及加減法的便捷.
之后，通過例題來幫助學生規范書寫，同時明確用加減消元法解二元一次方程組的步驟，接下來，通過系列的練習來鞏固加減消元法的應用，并在練習中摸索運算技巧，培養能力，訓練學生思維的靈活性及分析問題、解決問題的綜合能力.

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