資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.2《消元——解二元一次方程組》
第2課時 代入消元法
本節課是人教版七年級下冊第十章《二元一次方程組》的重要內容.在此之前，學生已學習了二元一次方程組的基本概念，對用代入消元法解簡單二元一次方程組有了初步認識.而本節課聚焦于用代入消元法解稍微復雜的二元一次方程組，是對之前知識的深化與拓展.通過解決這類復雜方程組，學生能進一步體會消元思想，提升運算能力與邏輯思維能力，為后續學習三元一次方程組以及函數等知識奠定堅實基礎，在初中數學知識體系中起著承上啟下的關鍵作用．
學生在之前已學習了一元一次方程的解法以及二元一次方程組的基本概念和簡單的代入消元法，對解方程有了一定的基礎和方法.但對于稍微復雜的二元一次方程組，可能存在以下困難：一是在選擇哪個方程進行變形以及如何變形時，缺乏清晰的思路和判斷能力；二是在代入過程中，由于方程中系數較為復雜，容易出現計算錯誤；三是對于整體代入等較為靈活的方法，理解和運用上存在一定障礙. 七年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，對直觀、具體的問題較為容易理解，而對于抽象的數學思想和復雜的運算過程，需要教師通過引導、示范和練習，幫助他們逐步掌握.
1.會用代入法解未知數系數不為1或-1的二元一次方程組，提升運算能力；
2.培養學生的分析能力，學會選擇系數較簡單的方程進行變形；
3.利用二元一次方程組解決簡單的實際問題，體會消元和化歸思想，感悟數學的應用價值，感受豐富的數學文化；
4.培養學生的合作精神，體驗探究的樂趣，增強學習數學的自信心.
重點：會用代入法解未知數系數不為1或-1的二元一次方程組，提升運算能力.
難點: 培養學生的分析能力，學會選擇系數較簡單的方程進行變形.
情境導入
問題1：《御制數理精蘊》一般稱《數理精蘊》，于康熙六十一年（1722年）告成，全書分上下兩編及附錄，共45卷，是一部介紹包括西方數學知識在內的數學百科全書.
書中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩(“兩”為我國古代貨幣單位)；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩，問馬、牛各價幾何 ”
如果我們設馬每匹x兩，牛每頭y兩，怎么列方程組呢？
答：
追問：未知數系數的絕對值都不是1，該怎么解這個方程組呢
師生活動：教師提問，學生獨立思考并舉手回答.
設計意圖：通過介紹古代數學著作，對學生進行熱愛數學的宣傳激勵教育，點燃學生學習數學的興趣之火和民族自豪感，培養學生探究生活實際問題的意識.
探究新知
活動一：探究用代入消元法解較復雜的二元一次方程組
問題2：用代入法解方程組
這個方程組未知數x，y的系數都不是1或-1，那么如何用代入法解這個二元一次方程組呢
師生活動：引導學生觀察這個方程組與之前解過的簡單方程組的不同之處，發現系數不再是或較簡單的整數，小組討論后，各小組代表發言，分享本小組的思路.
追問：觀察二元一次方程組中未知數的系數，將哪一個方程變形代入另一個方程相對比較簡單 用含哪一個未知數的代數式去表示另一個未知數
分析：方程①中x的系數的絕對值較小，可以考慮在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②，比較簡便.
追問：你能嘗試解出這個二元一次方程組嗎？
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個方程，得 .
把代入③，得.
所以這個方程組的解是 .
追問：解這個方程組時，可以先消去y嗎 試一試，看能不能解出這個二元一次方程組.
師生活動:教師提出問題，學生認真分析思考，找兩名學生上臺展示，試著寫出相應的過程，其他同學在作業本上計算.
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個方程，得 .
把代入③，得.
所以這個方程組的解是 .
總結：若未知數系數的絕對值都不是1，則選取系數的絕對值較小的方程進行變形再代入消元.
設計意圖：在教師的引導下學生逐步構建研究思路，關注學生的實際操作，激發學生探究興趣,給學生留有充分的探索和交流空間,引導學生在操作中思考、總結.
上面解方程組的過程可以用下面的框圖表示：
設計意圖：讓學生觀察復雜方程組的特點，引導學生思考如何選擇方程進行變形，培養學生的觀察能力和分析問題的能力.
問題3：用代入法解方程組
師生活動:讓學生表達自己的解題思路與方法，教師用PPT展示，學生討論后交流，教師總結補充，說出用整體代入法解二元一次方程組的步驟和代入消元法的選擇方法.
分析：無論用方程①中含y的式子表示x，還是用含x的式子表示y，再代入方程②，都比較麻煩.
觀察兩個方程，每個方程中都含有項，如果把看成一個整體，再代入試試看！
解：由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個方程，得 .
把代入③，得.
所以這個方程組的解是 .
當方程組某一項含有相同(或成倍數關系)的整式，則將相同(或成倍數關系)的整式作為整體，直接代入另一個方程中求解.
設計意圖：通過小組討論，促進學生之間的思維碰撞，培養學生的合作交流能力和創新思維.教師對不同變形思路的點評，讓學生學會優化解題策略，提高解題能力.
總結：代入消元法的選擇：
①若方程組中含有用一個未知數表示另一個未知數的形式的方程，則選擇直接代入消元；
②若方程組中含有未知數的系數的絕對值是1的方程，則選擇將此方程進行變形再代入消元；
③若方程組中某一未知數的系數成整數倍關系，則選擇整體代入消元;
④若方程組中的方程無以上三種情況，則選取系數的絕對值較小的方程進行變形再代入消元.
設計意圖：總結根據方程組的特點如何選擇代入消元法解稍微復雜二元一次方程組，幫助學生梳理知識，形成系統的解題方法，便于學生記憶和運用.
活動二：探究代入法解二元一次方程組的簡單應用
問題4：快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件.某快遞員星期一的送件數和攬件數分別為 120件和 45 件，報酬為 270 元；他星期二的送件數和攬件數分別為 90 件和 25 件，報酬為 185 元.如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報酬分別相同，他每送一件和每攬一件的報酬各是多少元
師生活動:學生獨立思考后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
相等關系：
①送120件的報酬+攬 45件的報酬=270元;
②送90件的報酬+攬 25件的報酬=185元.
追問：設這名快遞員每送一件的報酬是x元，每攬一件的報酬是y元，你能根據相等關系列出二元一次方程嗎
答：①120x+45y=270
②90x+25y=185
追問：你能完整的解決這個應用題嗎
解:設這名快遞員每送一件的報酬是x元，每攬一件的報酬是y元.根據這名快遞員星期一和星期二取得的報酬滿足的相等關系，列得方程組：
由① ，得 ③
把③代入②，得.
解這個方程，得 .
把 代入③，得.
所以這個方程組的解是 .
答：這名快遞員每送一件的報酬是1.5元，每攬一件的報酬是2元.
總結：列二元一次方程組解應用題的關鍵是：找出兩個等量關系.
設計意圖：在教師的引導下學生逐步構建研究思路，關注學生的實際操作，激發學生探究興趣,給學生留有充分的探索和交流空間,引導學生在操作中思考、總結.
問題5：你能運用本節課所學的知識，解決情境中的問題嗎？
師生活動：教師提出問題，激發學生積極探尋解決問題的辦法，通過合作探究從而解決問題.
解：
由① ，得 ③
把③代入②，得
.
解這個方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個方程組的解是 .
答：馬每匹兩，牛每頭兩.
設計意圖:通過解決課前問題，前后呼應，使課堂教學變得完整.同時，也達到“學數學，用數學”的目的，進一步培養學生解決問題的能力，并讓學生嘗試成功的喜悅!
應用新知
【經典例題】
師生活動：教師在黑板上展示例題，學生認真分析思考，找一名學生上臺展示，試著寫出相應的過程，其他同學在作業本上計算.
例1 已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足 ③，求的值.
分析：將① 聯立可得一個新的不含m 的二元一次方程組，求出x，y的值，再代入②即可求出m 的值.
解：將① 聯立得：
由 ，得 ④
把④代入①，得 .
把代入④，得 .
把，代入②，得 .
例2 已知方程組與方程組同解，求 的值.
分析：題目中的兩個方程組的解可使四個方程中的任意兩個方程成立.將不含參數m、n的兩個方程聯立，可求出方程組的解，這個解也是關于m和n的方程組的解.
解：由題意得：，解得.
將解代入： ，即 ，解得.
所以.
設計意圖：通過典型例題讓學生鞏固新知，培養學生邏輯思維能力，鍛煉學生的推理能力.進一步熟悉解二元一次方程組的基本思路，鼓勵學生用多種方法解二元一次方程組，熟練解二元一次方程組的基本步驟和過程，了解整體代入思想.
課堂練習
【教材練習】
1.用代入法解下列方程組:
(1); (2)
分析：根據“變、代、求、解”的步驟，先對方程組中的一個方程進行變形，用含一個未知數的式子表示另一個未知數，然后代入另一個方程中，進而求出兩個未知數的值即可得出答案.
解：(1)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個方程組的解是 .
(2)
由① ，得 ③
把③代入②，得
.
解這個方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個方程組的解是 .
2.一種商品分裝在大、小兩種包裝盒內，3 大盒、4 小盒共裝 108 瓶，2大盒、3 小盒共裝 76 瓶.大、小包裝盒每盒各裝多少瓶
分析：設大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，根據“3大盒、4小盒共裝108瓶；2大盒、3小盒共裝76瓶”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結果.
解：設大包裝盒每盒裝x瓶，小包裝盒每盒裝y瓶.
根據問題中的相等關系，列得方程組
由② ，得 ③
把③代入①，得
.
解這個方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個方程組的解是 .
答:大包裝盒每盒裝20瓶，小包裝盒每盒裝12瓶.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.用代入消元法解方程組，使得代入后化簡比較容易的變形是( )
A.由①得 B.由①得
C.由②得 D.由②得
分析：觀察方程組發現第二個方程的系數為，故變形第二個方程表示出較為容易.故選D.
答：D
2.解二元一次方程組時，用代入消元法整體消去，得到的方程是( ).
A. B. C. D.
分析：
由① ，得 ③
把③代入②，得 即.
故選B.
答：B
3.若關于，的二元一次方程組的解是，則關于，的二元次一方程組的解是( )
A. B. C. D.
分析：對比兩個方程組，可得2a+b就是第一個方程組中的x，即2a+b=8，同理:2b=4，可得方程組，解出即可得關于a，b的二元一次方程組的解.
答：B
4.若一個三角形的三邊長分別是a、b、c，其中a和b滿足方程組，若這個三角形的周長為整數，則這個三角形的周長為 .
分析：解方程組，得.
∴3∵三角形的周長4+1+c為整數.
∴c也是整數. ∴c=4.此時三角形的周長為4+1+4=9.
答：
5.解方程組.
分析：分析“所求方程組”的特點，把和看做一個整體，通過適當變形利用換元法，簡化方程組的形式，從而更容易求解.
解：設，則，.
代入②，得，解得
所以這個方程組的解是.
設計意圖：設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有施展的舞臺．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.消元解稍復雜的二元一次方程組的方法是什么？
3.列二元一次方程組解應用題的關鍵是什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
在教學過程中，通過介紹古代數學著作，對學生進行熱愛數學的宣傳激勵教育，點燃學生學習數學的興趣之火和民族自豪感，進而引起學生的興趣，降低了學習難度，學生能夠較好地跟上教學節奏.
對于例題的講解，注重引導學生觀察方程組的特點，通過小組討論的方式，激發學生的思維，讓學生自主探索解題思路，培養了學生的合作交流能力和分析問題的能力.在學生提出不同的變形思路后，教師及時進行點評和分析，讓學生清晰地了解到不同方法的優缺點，從而選擇更簡便的解題方法，提高了解題效率.
課堂練習和拓展提升環節，題目設置有層次，既關注了基礎知識的鞏固，又注重了學生思維能力的拓展. 通過巡視指導和學生的展示點評，及時發現學生存在的問題并進行糾正，強化了學生對知識的掌握.
在后續教學中，進一步加強小組合作學習的組織和引導，鼓勵每個學生積極參與討論，發表自己的觀點. 對于一些基礎較薄弱的學生，需要更加關注，利用課余時間進行有針對性的輔導，幫助他們夯實基礎，提高學習成績.

展開更多......

收起↑