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2025 年河北省滄州市滄縣中學高考數學模擬試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1 2+ .若復數 滿足 = 1 ，則復數 在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合 = { | < 1}， = { | = + 12 }，則 ∩ ( ) =( )
A. ( ∞, 1 1 12 ) B. ( ∞, 2 ] C. [0, 2 ) D. [0,
1
2 ]
3.已知拋物線 2 = 2 ( > 0)的焦點到直線 = 1 的距離為 2，則 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 sin( ) = 1 2 .已知 6 3，則 cos( 3 ) =( )
A. 13 B.
1 C. 2 2 D. 2 23 3 3
5.已知△ 中， = 3 = 6，∠ = 60°，點 在邊 上，∠ = 30°，則 的長為( )
A. 3 24 B.
3 3
4 C.
3 3
2 D. 3 3
6.已知函數 ( )的定義域為 ，滿足 ( + 1)為奇函數， ( + 2)為偶函數，則( )
A. (0) = 1 B. (1) = 1 C. (2) = 0 D. (3) = 0
7 1 2 9.已知正實數 ， 滿足 = 2，則 + + 2 + 的最小值為( )
A. 2 2 B. 3 C. 3 2 D. 4
8 > 0 .已知當 時，不等式 +1 ≤ +1恒成立，則實數 的最小值為( )
A. 1 B. 1 C. 2 D.
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知某一批產品的長度測試結果滿足正態分布 (20, 2)，則下列說法正確的是( )
A. 越大，這一批產品的長度測試結果在(19,21)內的概率越大
B. 1這一批產品的長度測試結果大于 20 的概率為2
C.這一批產品的長度測試結果在(20.1,20.2)內的概率和在(19.8,19.9)內的概率相等
D.這一批產品的長度測試結果大于 19.5 的概率與小于 21.5 的概率相等
10 1.已知函數 ( ) = 3
3 2 3 + 1，則下列說法正確的是( )
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A.函數 ( )有兩個極值點
B.函數 ( )有三個零點
C.函數 ( )的圖象關于點(1,0)成中心對稱
D.直線 9 + 3 + 1 = 0 是曲線 = ( )的一條切線
11 1.如圖，在正三棱臺 1 1 1中， = 1 = 2 1 1，若該正三棱臺
14 21 1 1的體積為 ，則下列說法正確的是( )3
A. 1 1 = 2
B. 1 ⊥ 1 1
C.正三棱臺 1 1 1外接球的表面積為 22
D.平面 與平面 1
2 2
1夾角的正弦值為 3
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12
2 2
.雙曲線 3 6 = 1 的漸近線方程為______．
13.現有一枚質地均勻的骰子(六個面的點數分別為 1，2，3，4，5，6)，投擲兩次此骰子，則骰子上面的
點數之和為 3 的整數倍的概率為______．
14.設正整數 = 0 1 20 3 + 1 3 + 2 3 + … + 3 ，其中 ∈ {0,1,2}( = 0，1，2，…， )，記 ( ) = 0 +
+1
1 +
3 37
2 + … + ，當 ≥ 3， ∈ 時， ( 2 ) = ______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
已知數列{ }的前 項和為 ，滿足 1 = 4，2 = ( + 1) ．
(1)求數列{ }的通項公式；
(2)若 = 1 + ，求數列{ }的前 項和 ． +1
16.(本小題 15 分)
2 2
在銳角三角形 中，角 ， ， sin sin 所對的邊分別為 ， ， ，且 = sin2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2，求△ 周長的取值范圍．
17.(本小題 15 分)
如圖，在平行六面體 1 1 1 1中， 1 = 1 1 = 2 1 1 = 4，∠ 1 1 = ∠ 1 1 1 = 60°．
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(1)求證：平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)求點 到平面 1 1的距離；
(3)若 cos∠ 11 1 = 4，求直線 1 與平面 1 1 所成角的正弦值．
18.(本小題 17 分)
已知函數 ( ) = 2 ．
(1)討論函數 ( )的單調性；
(2)若函數 ( )沒有零點，求實數 的取值范圍；
(3)若函數 ( ) = ( 2) ，滿足 ( ) = ( )有兩個不同的實數根，求正整數 的最小值．
19.(本小題 17 分)

2 2 1
已知橢圓 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的離心率 = 2，以橢圓 的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為 4 3．
(1)求橢圓 的方程；
(2)若點 為曲線 2 + 2 = 7 上一點，過點 作橢圓 的兩條切線 ， ，求：
①∠ ；
②△ 面積的取值范圍．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. =± 2
13.13
14. + 1
15.解：(1)根據題目：已知數列{ }的前 項和為 ，滿足 1 = 4，2 = ( + 1) ．
因為 2 = ( + 1) ，所以 ≥ 2 時，2 1 = 1，

兩式相減可得 2 = ( + 1) 1，所以( 1) =
1
1，即 = 1，

所以數列{ }為常數列，則 =
1
1 = 4，可得 = 4 ．
(2) 1 = + ， +1
因為 = 4 ，所以 +1 = 4 + 4，
1 1
可得 = + = 16 ( +1) + 4 =
1 1 1
+1 16
× ( +1 ) + 4 ，
所以 = 1 + 2 + 3 + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 16 × (1 2 ) + 4 + 16 × (2 3 ) + 8 + 16 × (3 4 ) + 12 + . . . + 16 × ( + 1 ) + 4
1 1 1 1 1 1 (4+ 4 )
= 16 × (1 2+ 2 3 + + + 1 ) + 2
= 116 × (1
1 2 2
+1 ) + 2 + 2 = 16 +16 + 2 + 2 ．
所以 =
2
16 +16 + 2 + 2 ．
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16. (1) = sin
2 sin2
解： 因為 ，
sin2
2 2
所以由正弦定理得
=
，
2
即 ( ) = 2 2，即 = 2 + 2 2，
2 2 2
所以由余弦定理可得 = + = 1，2 2
∈ (0, 因為 2 )，所以 =

3．
2 4 3
(2)因為 = 2，由正弦定理 = = = 3 = 3 ，
2
所以 = 4 3 ， 4 33 = 3 ，
設△ 的周長為 ，
則 = 2 + + = 2 + 4 33 +
4 3 = 2 + 4 3 + 4 33 3 3 sin(
2
3 )
4 3 4 3 3 1 4 3 2 3
= 2 + 3 + 3 ( 2 + 2 ) = 2 + 3 + 2 + 3
= 2 + 2 3 + 2 = 2 + 4 ( + 6 )，

因為在銳角三角形 中，所以 ∈ (0, 2 )， ∈ (0, 2 )，
2
所以 3 ∈ (0,

2 )，解得 ∈ (
, 2 6 3 )，
2
所以 ∈ ( 6 , 2 )，所以 + 6 ∈ ( 3 , 3 )，

故 sin( + ) ∈ ( 3 , 1]，則 4 ( + 6 ) + 2 ∈ (2 3 + 2,6]，即6 2 ∈ (2 3 + 2,6],
故△ 周長的取值范圍為(2 3 + 2,6]．
17.(1)證明：因為 1 = 1 1 = 2 1 1 = 4，∠ 1 1 = ∠ 1 1 1 = 60°，
在△ 1 1中，由余弦定理可知 21 = 21 + 21 1 2 1 1 1 cos∠ 1 1 = 12，
可得 1 = 2 3，同理 1 1 = 2 3，
即 1 21 + 1 2 = 2 2 2 21， 1 1 + 1 1 = 1 1，
所以∠ 1 1 = ∠ 1 1 1 = 90°，
即 1 1 ⊥ 1 ， 1 1 ⊥ 1 1，
又因為 1 ∩ 1 1 = 1，且 1 ， 1 1 平面 1 1，
所以 1 1 ⊥平面 1 1，
因為 1 1// ，
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所以 ⊥平面 1 1，
而 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥平面 ；
(2)解：由(1)得點 1到平面 1 1的距離為 1 1 = 2，
連接 1，因為四邊形 1 1為平行四邊形，所以對角線相互平分，
所以點 1到平面 1 1的距離等于點 到平面 1 1的距離，
連接 1，則 1// 1，
又 1 平面 1 1， 1 平面，
所以 1//平面 1 1，所以 1上所有點到平面 1 1的距離都相等，
連接 1 ，因為四邊形 1 1為平行四邊形，所以對角線相互平分，
所以點 到平面 1 1的距離等于點 到平面 1 1的距離的 2 倍，
所以點 到平面 1 1的距離為 2 1 1 = 4；
(3)解：因為 cos∠ 11 1 = 4，又 1 = 1 1 = 4，
在△ 1 1中，由余弦定理可得 2 = 21 1 + 1 21 2 1 × 1 1cos∠ 1 1 = 24，
所以 1 = 2 6，
又因為 1 = 1 1 = 2 3，
所以 2 2 21 = 1 + 1 1，即 1 ⊥ 1 1，
由(1)可得 1 ⊥ 1 1，
又 1 1 ∩ 1 1 = 1，且 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1 1 1，
以 1 1， 1 1， 1 所在直線分別為 ， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
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則 1(0,0,0)， 1(2,0,0)， 1(0,2 3, 0)， 1( 2,2 3, 0)， (0,0,2 3)，
因為