資源簡(jiǎn)介

第十章 二元一次方程組
10.2《消元——解二元一次方程組》
第1課時(shí) 代入消元法.
《消元——解二元一次方程組》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)人教版七年級(jí)(下)第十章《二元一次方程組》的第二節(jié)內(nèi)容.本章節(jié)內(nèi)容分兩課時(shí)，本節(jié)課為第1課時(shí)，學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法——代入消元法.
代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，它要求學(xué)生能選擇其中一個(gè)方程用其中一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，并將其代入另一個(gè)方程，消元后解出未知數(shù)的值，然后再將其未知數(shù)的值代入方程求解另一個(gè)未知數(shù)的值，從而求出方程組的解．
這節(jié)課的主要內(nèi)容是用代入法解二元一次方程組，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元一次方程后，又一次數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要內(nèi)容，也是為今后學(xué)生學(xué)習(xí)三元一次方程組，二元二次方程組、函數(shù)奠定基礎(chǔ).
七年級(jí)學(xué)生具有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，在學(xué)習(xí)中通過多次的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，已經(jīng)基本掌握主動(dòng)探索，共同研究、合作學(xué)習(xí)的方法，積極引導(dǎo)他們利用己知知識(shí)解決未知問題.
學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)運(yùn)算、整式的運(yùn)算、一元一次方程等知識(shí)，本章第一節(jié)中學(xué)習(xí)了二元一次方程組的基本概念和方程組的解等基礎(chǔ)知識(shí).通過引導(dǎo)學(xué)生充分的觀察、思考、討論、動(dòng)手，讓學(xué)生明確算法與算理，使學(xué)生真正成為課堂的主人，逐步培養(yǎng)學(xué)生能力.
1.會(huì)用代入消元法解二元一次方程組；
2.通過代入法解二元一次方程組，體會(huì)從未知到已知的轉(zhuǎn)化思想；
3.經(jīng)歷用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)消元和化歸思想，感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受豐富的數(shù)學(xué)文化；
4.通過探究二元一次方程組的解法、經(jīng)歷解二元一次方程組的過程，提高學(xué)生邏輯思維能力、計(jì)算能力、解決實(shí)際問題的能力.
重點(diǎn)：會(huì)用代入消元法解二元一次方程組.
難點(diǎn): 通過代入法解二元一次方程組，體會(huì)從未知到已知的轉(zhuǎn)化思想.
情境導(dǎo)入
問題1：《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上，另一部分在地上.樹上的一只鴿子對(duì)地上的鴿子說：“若從你們中飛上來一只，則地上的鴿子為整個(gè)鴿群的三分之一；若從樹上飛下去一只，則樹上、地上的鴿子一樣多.”你知道樹上、地上各有多少只鴿子嗎
如果我們?cè)O(shè)樹上有x只鴿子，地上有y只鴿子，怎么列方程組呢？
答：
追問：可是怎么能快速解這個(gè)方程組呢
師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生獨(dú)立思考并舉手回答.
設(shè)計(jì)意圖：通過小故事展示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，考察學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，列二元一次方程組，自然地引出我們要研究和解決的問題．
探究新知
活動(dòng)一：探究代入消元法解二元一次方程組的方法
問題2：在上一節(jié)中，我們根據(jù)本章引言中的問題列出了方程組，若設(shè)這個(gè)種棉大戶租用了x臺(tái)大型采棉機(jī)，y臺(tái)小型采棉機(jī)，可以列方程組：. 如果只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，這個(gè)問題可以解決嗎
新疆是我國(guó)棉花的主要產(chǎn)地之一.近年來，機(jī)械化采棉已經(jīng)成為新疆棉采摘的主要方式.某種棉大戶租用6臺(tái)大、小兩種型號(hào)的采棉機(jī)，1h就完成了8hm棉田的采摘.如果大型采棉機(jī)1 h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉機(jī)1h完成1hm2棉田的采摘，那么這個(gè)種棉大戶租用了大、小型采棉機(jī)各多少臺(tái)
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考然后討論列出方程，教師巡視，選兩名學(xué)生作答.
解:設(shè)這個(gè)種棉大戶租用x臺(tái)大型采棉機(jī)，則租用(6-x)臺(tái)小型采棉機(jī).
相等關(guān)系：大型采棉機(jī)1h采摘面積+小型采棉機(jī)1h采摘面積=1h采摘總面積
2x+(6-x)=8
問題3：(1)采用不同的設(shè)未知數(shù)的方法，列出的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)系？
(2)你能由所列出的二元一次方程組得到所列的一元一次方程嗎？
→？ 2x+(6-x)=8
師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生分別用一元一次方程和二元一次方程組解決問題，觀察、分析這兩個(gè)模型的區(qū)別與聯(lián)系.
答： (1)
(2) 中的y都表示租用小型采棉機(jī)的臺(tái)數(shù)，具有相同的實(shí)際意義.
由得到y(tǒng)的表達(dá)式：y=6-x，代入，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解：2x+(6-x)=8 解得x=2，帶入y=6-x得y=4.
設(shè)計(jì)意圖：通過問題的設(shè)置讓學(xué)生觀察二元一次方程組和一元一次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，引出二元一次方程組和一元一次方程之間的關(guān)系，從中體會(huì)二元一次方程組可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程以及將未知轉(zhuǎn)化為已知，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉的化歸思想，為探究解二元一次方程組的方法做鋪墊.
將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.
把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得方程組的解，這種解二元一次方程組的方法叫做代入消元法. 簡(jiǎn)稱代入法.
問題4：回顧解方程組的過程，你能總結(jié)出代入法解二元一次方程組的一般步驟嗎？
師生活動(dòng):讓學(xué)生表達(dá)自己的解題思路與方法，教師用PPT展示，學(xué)生討論后交流，教師總結(jié)補(bǔ)充，說出解二元一次方程組的基本步驟.
代入法解二元一次方程組的一般步驟：
變：用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)
代：將新式子代入到另一個(gè)方程中得一元一次方程
求：解消元后的一元一次方程進(jìn)而求出兩個(gè)未知數(shù)的值
解：寫出方程組的解
設(shè)計(jì)意圖：梳理代入法解二元一次方程組的步驟，加深理解.
問題5：用代入法解方程組.
師生活動(dòng):認(rèn)真分析思考，并計(jì)算.試著寫出相應(yīng)的過程.
分析：方程①中x的系數(shù)是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比較簡(jiǎn)便.
解：由① ，得 x=y+3 ③
把③代入②，得3(y+3)-8y=14.
解這個(gè)方程，得 y= –1.
追問：把③代入①可以嗎？
答：把③代入①，得y+3-y=3，即3=3，所以不可以.
由于方程③是由方程①變形而來的，把③代入①后只能得到一個(gè)恒等式.
把y= –1代入③，得x=2.
所以這個(gè)方程組的解是 .
追問：把y= –1代入①或②可以嗎？
答：把 y= –1代入①、②、③都可以求出x的值，但代入③最簡(jiǎn)便.
上面解方程組的過程可以用下面的框圖表示：
設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)代入消元法解二元一次方程組，加深理解．通過幾個(gè)問題的追問，讓學(xué)生進(jìn)一步理解代入消元法的本質(zhì).便于學(xué)生靈活運(yùn)用代入法解二元一次方程組.并利用此題給出解方程組的框圖，讓學(xué)生體會(huì)程序化思路.
你能運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，解決情境中的問題嗎？
我們可以設(shè)樹上有x只鴿子，地上有y只鴿子，得到方程組.可是這個(gè)方程組怎么解呢
師生活動(dòng)：教師提出問題，激發(fā)學(xué)生積極探尋解決問題的辦法，通過合作探究從而解決問題.
解：
由② ，得 ③
把③代入①，得 .
解這個(gè)方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個(gè)方程組的解是 .
設(shè)計(jì)意圖:通過解決課前問題，前后呼應(yīng)，使課堂教學(xué)變得完整.同時(shí)，也達(dá)到“學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的目的，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，并讓學(xué)生嘗試成功的喜悅!
應(yīng)用新知
【教材例題】
例1 用代入法解方程組
分析：方程②中y的系數(shù)是-1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比較簡(jiǎn)便.
解：由② ，得 y=2x-16 ③
把③代入①，得 3x-5(2x-16)=3.
解這個(gè)方程，得 x= 11.
把x= 11代入③，得 y=6.
所以這個(gè)方程組的解是 .
師生活動(dòng)：教師在黑板上展示例題，學(xué)生認(rèn)真分析思考，找一名學(xué)生上臺(tái)展示，試著寫出相應(yīng)的過程，其他同學(xué)在作業(yè)本上計(jì)算.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合思維引導(dǎo)，更進(jìn)一步體會(huì)二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程的方法,從而更加深入了解“消元”思想及代入消元法.
借助例題，讓學(xué)生先分析結(jié)題思路，并對(duì)比、確定消哪個(gè)未知數(shù)更便捷.使學(xué)生再次經(jīng)歷代入法解二元一次方程組的過程，
【經(jīng)典例題】
例2 小婷知道和都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道是否也是方程ax+by+4=0的解，你能幫幫她嗎 說說你的方法．
分析：把x與y的兩對(duì)值代入方程得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解，得到a與b的值，再把x=3，y=4代入檢驗(yàn)即可.
解：∵ 和 都是二元一次方程的解，
∴ . 解得
代入二元一次方程，得.
將 代入，得，
∴ 不是方程的解.
例3 已知關(guān)于、的方程組的解互為相反數(shù)，求的值.
分析：方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，由于x與y互為相反數(shù)，得到y(tǒng)=-x，代入方程組中消去y，得到關(guān)于x與m的方程組，消去x即可求出m的值.
解：由題意得：，代入方程組
得：
由① ，得 ③
把③代入②，得 . 解得：.
師生活動(dòng)：教師在黑板上展示例題，提示學(xué)生仔細(xì)審題，找出問題的突破點(diǎn).學(xué)生思考并嘗試解答.教師講解完后，詢問學(xué)生是否理解每一步的操作，鼓勵(lì)學(xué)生提出疑問.
設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題讓學(xué)生鞏固新知，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的推理能力.進(jìn)一步熟悉解二元一次方程組的基本思路，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解二元一次方程組，熟練解二元一次方程組的基本步驟和過程，了解整體代入思想.
課堂練習(xí)
【教材練習(xí)】
1.把下列方程改寫成用含x的式子表示y的形式:
(1); (2)
分析：用含x的式子表示y，就是把x看做已知數(shù)，y看做未知數(shù)，解出y即可.
解：(1)
(2)
2.用代入法解下列方程組:
(1) (2) (3) (4)
分析：根據(jù)“變、代、求、解”的步驟，先對(duì)方程組中的一個(gè)方程進(jìn)行變形，然后代入另一個(gè)方程中，進(jìn)而求出兩個(gè)未知數(shù)的值即可得出答案.
解：(1)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個(gè)方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個(gè)方程組的解是 .
解：(2)
由② ，得 ③
把③代入①，得 .
解這個(gè)方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個(gè)方程組的解是 .
解：(3)
由②，得 ③
把③代入① ，得 .
解這個(gè)方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個(gè)方程組的解是 .
解：(4)
由① ，得 ③
把③代入②，得 .
解這個(gè)方程，得 .
把代入③，得 .
所以這個(gè)方程組的解是 .
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立作答，再隨機(jī)選擇學(xué)生回答.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的掌握，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，鍛煉運(yùn)用能力和解題能力.
【限時(shí)訓(xùn)練】
1.對(duì)于二元一次方程組，將①式代入②式，削去y可以得到 ( ).
A. B.
C. D.
分析：將①式代入②式，得，即.故選B.
答：B
2.二元一次方程組的解是( ).
A. B. C. D.
分析：將方程代入得，解得，將代入得，解得.
方程組的解為，故選C.
答：C.
3.若，且，則 ， .
分析：∵.
∴
把代入，得.
解得，
把代入，得.
故答案為3；2.
答：3；2.
4.若方程組，則 .(用含的代數(shù)式表示)
分析：將代入，得.
化簡(jiǎn)得，
∴
故答案為:.
答：.
5.已知、滿足方程組，求代數(shù)式的值.
解：
解方程組，得.
當(dāng)，時(shí)，原式=-2×(-1)×2+5×22=24.
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置分層作業(yè)，兼顧不同水平的學(xué)生，關(guān)注差異，使學(xué)生獲得各自的發(fā)展，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)一步理解的同時(shí)，擴(kuò)展學(xué)生的思維，讓優(yōu)秀生有施展的舞臺(tái)．
課堂總結(jié)
師生活動(dòng)：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2.消元解二元一次方程組的核心思想是什么？
3.代入法的概念是什么？
4.消元解二元一次方程組的步驟是什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
用代入消元法解二元一次方程組是《解二元一次方程組》的第一課時(shí)，這堂課的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來說相對(duì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生已具備解一元一次方程和用含未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的基礎(chǔ)，因而學(xué)生有能力自主探索出用代入法解二元一次方程組的方法，在教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中的“化未知為已知”的化歸思想.
本節(jié)課我從問題入手，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比一元一次方程與二元一次方程組中的根據(jù)相同的等量關(guān)系所列的方程，發(fā)現(xiàn)誰代換了誰，從而探索歸納出用代入消元法解二元一次方程組的方法.師生共同用代入法解一道二元一次方程組，目的是讓學(xué)生明確解二元一次方程組的過程，同時(shí)規(guī)范每一步的書寫要求.再由學(xué)生獨(dú)立用代入法求解二元一次方程組，其中一名學(xué)生板演，目的在于發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求解過程中可能出現(xiàn)的問題，從而進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用代入消元法解二元一次方程組的步驟及注意點(diǎn)，由學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，達(dá)到完全掌握用代入法解二元一次方程組的目的.
對(duì)于本節(jié)課的一些思考：課堂上，應(yīng)盡可能多地給學(xué)生創(chuàng)造合作交流的機(jī)會(huì).由于本節(jié)課的內(nèi)容是純計(jì)算問題，學(xué)習(xí)解方程組的方法，似乎沒什么可讓學(xué)生交流的機(jī)會(huì)，但是做為教師應(yīng)盡可能地給學(xué)生創(chuàng)造交流機(jī)會(huì)，讓學(xué)生上臺(tái)展示.課堂教學(xué)中每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)速度與接受能力是不同的，尤其在問題情景教學(xué)中，學(xué)生必然有一個(gè)摸索的過程，在這個(gè)過程中又難免遇到許多困難，或多或少會(huì)走一些彎路，要給他們創(chuàng)設(shè)一個(gè)平等和諧的學(xué)習(xí)氛圍.因此，今后在課堂還要善于關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，需要有針對(duì)性的設(shè)計(jì)不同層次、不同類型的問題，使學(xué)生都有機(jī)會(huì)參與到教學(xué)活動(dòng)和實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中去，讓他們自己有主人翁的感覺，切實(shí)與同學(xué)真誠(chéng)合作，體驗(yàn)完成一項(xiàng)活動(dòng)任務(wù)的成功喜悅，讓他們都能在學(xué)習(xí)過程中有所收獲.

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