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中小學教育資源及組卷應用平臺
魯教版八年級下冊數學第八章單元測評卷
一、選擇題：（每小題3分，共30分）
1.下列方程中是關于的一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C。
【解析】A、不是整式方程，故本選項錯誤；
B、當=0時，方程就不是一元二次方程，故本選項錯誤；
C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本選項正確；
D、方程中含有兩個未知數；故本選項錯誤。故選C。
2.如果關于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有實根．那么以下結論正確的是（ ）
A. k＞1 B. k＝﹣1 C. k≥﹣1 D. k＜﹣1
【答案】C
【解析】解：由題意知△＝(-2) ﹣4×1×(-k)≥0，
解得：k≥-1，
故選：C
3.下列一元二次方程無實數根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【答案】C
【解答】解：A、Δ＝12﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，則該方程有兩個不相等的實數根，故本選項不符合題意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，則該方程有兩個不相等的實數根，故本選項不符合題意；
C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，則該方程無實數根，故本選項符合題意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，則該方程有兩個相等的實數根，故本選項不符合題意；
故選：C．
4.關于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數根，則實數m的取值范圍為（　　）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
【答案】D
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數根，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，
解得：m≥﹣4，
故選：D．
5.國家統計局統計數據 顯示，我國快遞業務收入逐年增加．2017年至2019年我國快遞業務收入由億元增加到億元．設我國2017年至2019年快遞業務收入的年平均增長率為．則可列方程為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】設我國2017年至2019年快遞業務收入的年平均增長率為，
∵2017年至2019年我國快遞業務收入由億元增加到億元
即2019年我國快遞業務收入為億元，
∴可列方程：，
故選C．
6.下列關于x的方程一定有實數解的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b為常數） D．x2﹣bx﹣1＝0（b為常數）
【答案】D
【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，則方程沒有實數解，所以A選項不符合題意；
B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，則方程沒有實數解，所以B選項不符合題意；
C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，當b＝0時，Δ＝﹣4＜0，則方程沒有實數解，所以C選項不符合題意；
D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0時，則方程有兩個不相等的實數解，所以CD項符合題意．
故選：D．
7.為了回饋客戶，商場將定價為200元的某種兒童玩具降價進行銷售．“六·一”兒童節當天，又將該種玩具按新定價再次降價銷售，那么該種玩具在兒童節當天的銷售價格為（ ）
A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元
【答案】B
【解析】解：由題意得：
（元）；
故選B．
8.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 1個或2個
【答案】D
【解析】∵直線不經過第二象限，
∴，
∵方程，
當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，
當a<0時，方程為一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：D.
9.對于實數a，b定義運算“ ”為a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，則關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
【答案】A
【解答】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有兩個不相等的實數根．
故選：A．
10.已知2是關于的方程的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
【答案】B.
【解析】∵2是關于的方程的一個根，∴，解pol得.
∴方程為，解得.
∵這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，
∴根據三角形三邊關系，只能是6，6，2.∴三角形ABC的周長為14.故選B.
二、填空題（每小題3分，共18分）
11.請填寫一個常數，使得關于x的方程x2﹣2x+　0（答案不唯一）　＝0有兩個不相等的實數根．
【答案】2（答案不唯一）．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案為：0（答案不唯一）．
12.已知方程沒有實數根，則代數式.
【答案】2
【解析】∴，即，，得
則代數式
13.我市某公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.4萬元．該公司繳稅的年平均增長率為_______．
【答案】10%
【解析】設該公司繳稅的年平均增長率是x，
則去年繳稅40(1＋x) 萬元， 今年繳稅40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2萬元．
據此列出方程：40(1＋x)2=48.4，
解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴該公司繳稅的年平均增長率為10%．
14.關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 　．
【答案】k＜2且k≠1
【解答】解：根據題意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，
解得k＜2且k≠1，
所以k的取值范圍是k＜2且k≠1．
故答案為：k＜2且k≠1．
15.關于x的方程x2–2x+2m–1=0有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根 ．
【答案】x1=x2=1．
【解析】∵關于x的方程x2–2x+2m–1=0有實數根，
∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，
∵m為正整數，∴m=1，∴x2–2x+1=0，則（x–1）2=0，解得：x1=x2=1．
16.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的兩個實數根，且x1﹣x2＝1，則m＝______．
【答案】
【解析】根據題意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，
∵x1﹣x2＝1 ③，
由①③，得：，
代入②，得：m（m﹣1）＝﹣，
解得m＝，故答案為：．
三、解答題（共52分）
17.（8分）19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
（1）解：，
因式分解得：，
解得：，；
（2），
整理得：，
，，，
，
，
，．
18.（8分）如圖，在一幅長、寬的矩形風景畫的四周鑲嵌寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，已知整個掛圖的面積是，求金色紙邊的寬是多少．
【答案】金色紙邊的寬是
【解析】解：設金色紙邊的寬是，
依題意，得，即
解得（不合舍去）
答：金色紙邊的寬是．
19.（8分）已知關于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分別為△ABC的三邊的長.
(1)如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.
【解析】(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵方程有兩個相等的實數根，
∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，即b2+c2=a2，
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等邊三角形，∴a=b=c.
∴原方程變為：2ax2+2ax=0.
∵a≠0，∴x2+x=0.
∴x1=0，x2=-1.
20.（8分）用一面足夠長的墻為一邊，其余各邊用總長42米的圍欄建成如圖所示的生態園，中間用圍欄隔開．由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過7米．（圍欄寬忽略不計）
（1）若生態園的面積為144平方米，求生態園垂直于墻的邊長；
（2）生態園的面積能否達到150平方米？請說明理由．
【答案】（1）6米 （2）不能達到，理由見解析
【解析】（1）設生態園垂直于墻的邊長為x米，則x≤7，生態園平行于墻的邊長為(42－3x)米
由題意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生態園垂直于墻的邊長為6米.
（2）不能，理由如下：
設生態園垂直于墻的邊長為y米，則生態園平行于墻的邊長為(42－3y)米
由題意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在實數范圍內無解
即生態園的面積不能達到150平方米.
21.（10分）關于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有實根.
(1)求a的最大整數值；
(2)當a取最大整數值時，①求出該方程的根；②求2x2-的值.
【解析】(1)∵關于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有實根，
∴a-6≠0，Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0.
解得a≤且a≠6.
∴a的最大整數值為7.
(2)①當a=7時，原一元二次方程變為
x2-8x+9=0.
解得x1=4+，x2=4-.
②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根，
∴x2-8x=-9.
∴原式=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x)+=2×(-9)+=-.
22.（10分）如圖13－1，為美化校園環境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米.
（1）用含的式子表示花圃的面積；
（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；
（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積之間的函數關系如圖13－2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？
【解析】解：（1）由圖可知，花圃的面積為（40﹣2a）（60﹣2a）；
（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的寬為5米；
（3）設修建的道路和花圃的總造價為y，由已知得y1=40x，
y2=，則y=y1+y2=；
x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；
x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，
當2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，
∴384≤x≤2016，
所以當x取384時，y有最小值，最小值為2040，即總造價最低為23040元，
當x=383時，即通道的面積為384時，有﹣4a2+200a=384，
解得a1=2，a2=48（舍去），
所以當通道寬為2米時，修建的通道和花圃的總造價最低為23040元．
圖13－2
圖13－1
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魯教版八年級下冊數學第八章單元測評卷
一、選擇題：（每小題3分，共30分）
1.下列方程中是關于的一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
2.如果關于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有實根．那么以下結論正確的是（ ）
A. k＞1 B. k＝﹣1 C. k≥﹣1 D. k＜﹣1
3.下列一元二次方程無實數根的是（　　）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
4.關于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有兩個實數根，則實數m的取值范圍為（　　）
A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣4
5.國家統計局統計數據 顯示，我國快遞業務收入逐年增加．2017年至2019年我國快遞業務收入由億元增加到億元．設我國2017年至2019年快遞業務收入的年平均增長率為．則可列方程為( )
A. B.
C. D.
6.下列關于x的方程一定有實數解的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0
C．x2﹣bx+1＝0（b為常數） D．x2﹣bx﹣1＝0（b為常數）
7.為了回饋客戶，商場將定價為200元的某種兒童玩具降價進行銷售．“六·一”兒童節當天，又將該種玩具按新定價再次降價銷售，那么該種玩具在兒童節當天的銷售價格為（ ）
A. 160元 B. 162元 C. 172元 D. 180元
8.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 1個或2個
9.對于實數a，b定義運算“ ”為a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，則關于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
10.已知2是關于的方程的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（ ）
A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10
二、填空題（每小題3分，共18分）
11.請填寫一個常數，使得關于x的方程x2﹣2x+　0（答案不唯一）　＝0有兩個不相等的實數根．
12.已知方程沒有實數根，則代數式.
13.我市某公司前年繳稅40萬元，今年繳稅48.4萬元．該公司繳稅的年平均增長率為_______．
14.關于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 　．
15.關于x的方程x2–2x+2m–1=0有實數根，且m為正整數，求m的值及此時方程的根 ．
16.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的兩個實數根，且x1﹣x2＝1，則m＝______．
三、解答題（共52分）
17.（8分）19. 解方程：
（1）；
（2）．
18.（8分）如圖，在一幅長、寬的矩形風景畫的四周鑲嵌寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，已知整個掛圖的面積是，求金色紙邊的寬是多少．
19.（8分）已知關于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分別為△ABC的三邊的長.
(1)如果x=-1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(3)如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.
20.（8分）用一面足夠長的墻為一邊，其余各邊用總長42米的圍欄建成如圖所示的生態園，中間用圍欄隔開．由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過7米．（圍欄寬忽略不計）
（1）若生態園的面積為144平方米，求生態園垂直于墻的邊長；
（2）生態園的面積能否達到150平方米？請說明理由．
21.（10分）關于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有實根.
(1)求a的最大整數值；
(2)當a取最大整數值時，①求出該方程的根；②求2x2-的值.
22.（10分）如圖13－1，為美化校園環境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米.
（1）用含的式子表示花圃的面積；
（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；
（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積之間的函數關系如圖13－2所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？
圖13－2
圖13－1
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