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第十六章 二次根式知識歸納與題型突破（題型清單）
一、二次根式
1.二次根式的概念
1.二次根式的概念:一般地，我們把形如 的式子的式子叫做二次根式，稱為 稱為二次根號．如都是二次根式.
2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數必須是非負數.
2.二次根式有無意義的條件
1.二次根式有意義：被開方數為非負數，即；
2.二次根式無意義：被開方數為負數，即；
3.二次根式的性質
1.二次根式（）的非負性
（）表示的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即（）．
2.二次根式的性質：（）
3.二次根式的性質：
二．最簡二次根式與同類二次根式
1.最簡二次根式
（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母，（2）被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式
（2）化簡二次根式的一般方法
方法 舉例
將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方
化去根號下的分母 若被開方數中含有帶分數，先將被開方數化成假分數
若被開方數中含有小數，先將小數化成分數
若被開方數時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進行開方運算 (a＞0，b＞0，c＞0）
被開方數時多項式的要先因式分解 （x≥0，y≥0）
（3）分母有理化
分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。
方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.
2.同類二次根式
（1）同類二次根式概念：化簡后被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。
（2）合并同類二次根式的方法：把根號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變，合并的依據式乘法分配律，如
三、二次根式的運算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數相乘，根的指數不變）
（2）二次根式的乘法法則的推廣:
①
②，即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數.
（3）二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）
（4）二次根式的乘法法則的逆用的推廣：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變）
（2）二次根式的除法法則的推廣：.
3.二次根式的除法
（1）二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。
（2）二次根式加減運算的步驟：
①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；
②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；
③合：合并被開方數相同的二次根式——將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。
4.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）
題型一　判斷是否為二次根式
例題：（23-24八年級下·廣西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓練
1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．x為實數，下列式子一定有意義的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C．3 D．
題型二　求二次根式的值
例題：（23-24八年級下·浙江衢州·期中）當時，二次根式的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·浙江杭州·期中）當時，二次根式的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（23-24九年級上·海南儋州·期末）當時，二次根式的值為（ ）
A． B．2 C． D．
3.（23-24八年級下·浙江杭州·期末）當時，二次根式的值為（ ）
A．4 B． C．6 D．2
題型三　根據二次根式有意義條件求范圍
例題：（23-24八年級下·遼寧營口·期末）若二次根式有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·山東聊城·期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
2.（23-24八年級下·新疆和田·期中）使有意義的字母的取值范圍（ ）
A．全體實數 B． C． D．
3．（2024·貴州銅仁·一模）若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是 ．
4．（2024·湖北·模擬預測）當x取何值時，二次根式有意義： ．
5．（24-25八年級下·吉林·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是 ．
題型四　根據二次根式有意義求值
例題：（23-24八年級下·吉林松原·期中）若，則 ．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·四川綿陽·期中）已知為實數，且，則的值為 ．
2.（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）已知實數x，y滿足，則的小數部分是 ．
3.（23-24八年級下·山東煙臺·期中）已知，則 ．
題型五　二次根式的乘除混合運算
例題：（2024八年級下·安徽·專題練習）計算：．
鞏固訓練
1．計算∶
(1)；
(2)．
2．計算：
(1)；
(2)．
3．計算：
(1)；
(2)，．
4．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型六　最簡二次根式的判斷
例題：（23-24九年級上·河南洛陽·期中）下列二次根式，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓練
1．下列二次根式中的最簡二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．下列根式中，最簡二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列選項中的式子，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
題型七　化為最簡二次根式
例題：（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）化簡： ； ．
鞏固訓練
1.（23-24八年級上·廣東肇慶·階段練習）化簡： ， ．
2.（23-24八年級下·浙江·期中）化簡成最簡二次根式： ； ．
3.（22-23八年級上·寧夏銀川·階段練習）化簡：
(1) (2) (3)
4.（23-24八年級·全國·假期作業）把下列二次根式化為最簡二次根式：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）．
題型八　同類二次根式的判斷
例題：（23-24八年級下·江西上饒·期中）下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·廣西來賓·一模）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
3.（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
題型九　二次根式的加減運算
例題：（24-25八年級上·全國·課后作業）計算：
(1)； (2)．
鞏固訓練
1．計算：．
2．計算：
(1)
(2)
3．計算：
(1)
(2)
4．計算：
(1)；
(2)；
5．計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
題型十　二次根式的混合運算
例題：（23-24八年級下·山西太原·單元測試）計算：
(1)； (2)．
鞏固訓練
1．計算．
(1)；
(2)．
2．計算：
(1)；
(2)．
3．計算：
(1)；
(2)．
4．計算：
(1)
(2)
5．計算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型十一　比較二次根式的大小
例題：（23-24八年級下·浙江寧波·開學考試）比較大小：
（1） 8；
（2） ．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）比較下列實數的大小： ．
2.（23-24七年級下·上海·期末）比較大小： ．（填“”，“”，或“”）
3.（23-24八年級下·河北邢臺·期末）比較大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
題型十二　已知字母的值，化簡求值
例題：（23-24八年級下·云南曲靖·階段練習）計算：已知，，，求的值．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
2.（23-24八年級下·廣東汕尾·期末）已知，求下列代數式的值
(1)；
(2)．
3.（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）已知求下列各式的值：
(1)和；
(2)
題型十三　已知條件式，化簡求值
例題：（23-24八年級下·甘肅武威·期中）已知 ，，求的值．
鞏固訓練
1.（2024·湖南懷化·一模）已知實數滿足，求的值．
2.（23-24八年級下·福建廈門·階段練習）若x，y為實數，且，求的值．
3.（22-23八年級上·山西運城·期末）若 x，y 為實數，且 ． 求的值．
第十六章 二次根式知識歸納與題型突破（題型清單）（解析版）
一、二次根式
1.二次根式的概念
1.二次根式的概念:一般地，我們把形如 的式子的式子叫做二次根式，稱為 稱為二次根號．如都是二次根式.
2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數必須是非負數.
2.二次根式有無意義的條件
1.二次根式有意義：被開方數為非負數，即；
2.二次根式無意義：被開方數為負數，即；
3.二次根式的性質
1.二次根式（）的非負性
（）表示的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即（）．
2.二次根式的性質：（）
3.二次根式的性質：
二．最簡二次根式與同類二次根式
1.最簡二次根式
（1）最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母，（2）被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式
（2）化簡二次根式的一般方法
方法 舉例
將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方
化去根號下的分母 若被開方數中含有帶分數，先將被開方數化成假分數
若被開方數中含有小數，先將小數化成分數
若被開方數時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進行開方運算 (a＞0，b＞0，c＞0）
被開方數時多項式的要先因式分解 （x≥0，y≥0）
（3）分母有理化
分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。
方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.
2.同類二次根式
（1）同類二次根式概念：化簡后被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。
（2）合并同類二次根式的方法：把根號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變，合并的依據式乘法分配律，如
三、二次根式的運算
1.二次根式的乘法
（1）二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數相乘，根的指數不變）
（2）二次根式的乘法法則的推廣:
①
②，即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數.
（3）二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）
（4）二次根式的乘法法則的逆用的推廣：
2.二次根式的除法
（1）二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變）
（2）二次根式的除法法則的推廣：.
3.二次根式的除法
（1）二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。
（2）二次根式加減運算的步驟：
①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；
②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；
③合：合并被開方數相同的二次根式——將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。
4.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）
題型一　判斷是否為二次根式
例題：（23-24八年級下·廣西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關鍵．
形如的代數式叫做二次根式，其中a叫做被開方數，據此逐項判斷即可．
【詳解】解：A、中的被開方數，故不是二次根式，不符合題意；
B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合題意；
C、是三次根式，故不是二次根式，不符合題意；
D、是二次根式，符合題意，
故選：D．
鞏固訓練
1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】求二次根式中的參數
【分析】本題考查了二次根式．熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．形如的式子是二次根式．
根據二次根式的定義判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故選：C．
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】二次根式有意義的條件
【分析】本題主要考查了二次根式的定義，理解二次根式中被開方數是非負數是解決問題的關鍵．
一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定義分別分析得出答案．
【詳解】解：A．當時，原式無意義，故A不一定不是二次根式；
B．當時，原式無意義，故B不一定是二次根式；
C．恒成立，故C一定是二次根式；
D．當時，原式無意義，故D不一定是二次根式；
故選：C．
3．x為實數，下列式子一定有意義的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】二次根式有意義的條件、分式有意義的條件
【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，
根據二次根式有意義的條件判斷A，B，再根據分式有意義的條件判斷C，D．
【詳解】因為，所以有意義，則A符合題意；
當時，，二次根式無意義，則B不符合題意；
當時，，分式無意義，則C不符合題意；
當時，，分式無意義，則D不符合題意．
故選：A．
4．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次根式有意義的條件
【分析】本題考查了二次根式，根據二次根式的定義“一般地，我們把形如的式子叫做二次根式”即可判斷．
【詳解】解：A、當時，不是二次根式，選項說法錯誤，不符合題意；
B、被開方數是負數，選項說法錯誤，不符合題意；
C、當時，不是二次根式，選項說法錯誤，不符合題意；
D、因為，所以是二次根式，選項說法正確，符合題意；
故選：D．
5．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知識點】二次根式有意義的條件
【分析】本題考查了二次根式的定義，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．根據二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，對每個選項進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、被開方數有可能是負數，二次根式無意義，故此選項不合題意；
B、是二次根式，故此選項符合題意；
C、是有理數，不符合二次根式的定義，故此選項不合題意；
D、時，被開方數是負數，二次根式無意義，故此選項不合題意；
故選：B．
題型二　求二次根式的值
例題：（23-24八年級下·浙江衢州·期中）當時，二次根式的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本題考查求二次根式的值，先將代入，再利用二次根式的性質化簡求解即可．
【詳解】當時，
．
故選：C．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·浙江杭州·期中）當時，二次根式的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查二次根式求值，將代入二次根式，直接求解即可．
【詳解】解：當時，
故選：B．
2.（23-24九年級上·海南儋州·期末）當時，二次根式的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質及化簡，二次根式的定義，把代入原式化簡即可．
【詳解】解：當時，原式，
故選：B．
3.（23-24八年級下·浙江杭州·期末）當時，二次根式的值為（ ）
A．4 B． C．6 D．2
【答案】D
【分析】本題考查二次根式的定義，把代入求值即可．
【詳解】解：當時，二次根式，
故選：D．
題型三　根據二次根式有意義條件求范圍
例題：（23-24八年級下·遼寧營口·期末）若二次根式有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．
根據二次根式有意義的條件，可得：，據此求出實數的取值范圍即可．
【詳解】解：二次根式有意義，
，
解得：．
故選：B．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·山東聊城·期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是二次根式的意義和性質．概念：式子叫二次根式．性質：二次根式被開方數必須為非負數，否則二次根式無意義．掌握二次根式被開方數為非負數是解題的關鍵．
根據二次根式性質，被開方數大于等于0，列不等式求解．
【詳解】解：由題意得，，
解得：．
故選：B．
2.（23-24八年級下·新疆和田·期中）使有意義的字母的取值范圍（ ）
A．全體實數 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數為非負數，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，解得：；
故選C．
3．（2024·貴州銅仁·一模）若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【知識點】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識點，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解．
【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：，
解得：，
故答案為：．
4．（2024·湖北·模擬預測）當x取何值時，二次根式有意義： ．
【答案】且．
【知識點】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件
【分析】此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據條件列出不等式是解決此題的關鍵．
二次根式有意義的條件：被開方數，分式有意義的條件分母，列出不等式即可．
【詳解】解：由題意可得：
，
∴且．
故答案為：且．
5．（24-25八年級下·吉林·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是 ．
【答案】且
【知識點】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求不等式組的解集
【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件．根據分式的分母不能為0、二次根式的被開方數大于或等于0列出式子求解即可得．
【詳解】解：由題意得：，
解得且，
故答案為：且．
題型四　根據二次根式有意義求值
例題：（23-24八年級下·吉林松原·期中）若，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的非負性、代數式求值等知識點，根據二次根式的非負性求得x、y的值成為解題的關鍵．
先根據二次根式的非負性求得x，進而求得y，然后代入計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴．
故答案為：．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·四川綿陽·期中）已知為實數，且，則的值為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出的值，進而得出的值，進而得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案為：．
2.（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）已知實數x，y滿足，則的小數部分是 ．
【答案】/
【分析】本題考查二次根式有意義的條件及無理數的估算，結合已知條件求得的值是解題的關鍵．
根據二次根式有意義的條件求得的值，然后求出，利用無理數的估算求得小數部分．
【詳解】解：由題意可得：，
則，
則，
，
，
則的小整數部分是2，小數部分是，
故答案為：．
3.（23-24八年級下·山東煙臺·期中）已知，則 ．
【答案】25
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件，求出x的值是解題關鍵；利用二次根式有意義的條件進行求解即可；
【詳解】解：由題意知：，
解得：，
，
，
故答案為：25；
題型五　二次根式的乘除混合運算
例題：（2024八年級下·安徽·專題練習）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的乘除法的應用，根據二次根式的乘除法法則， 系數相乘除， 被開方數相乘除， 根指數不變，計算后求出即可 ．
【詳解】解：
鞏固訓練
1．計算∶
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】二次根式的乘除混合運算
【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則．
（1）根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可；
（2）根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
2．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】二次根式的乘除混合運算
【分析】本題考查的是二次根式的乘除混合運算，掌握運算法則與運算順序是解本題的關鍵；
（1）按照從左至右的順序進行計算即可；
（2）按照從左至右的順序進行計算即可；
【詳解】（1）解：原式
；
（2）原式

．
3．計算：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)
【知識點】二次根式的乘除混合運算
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算：
（1）先把帶分數化為假分數，再根據二次根式乘除法計算法則求解即可；
（2）根據二次根式乘除法計算法則求解即可．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
4．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知識點】二次根式的乘除混合運算
【分析】本題考查了二次根式的混合運算
（1）根據二次根式乘除法法則計算即可；
（2）根據二次根式乘除法法則計算即可；
（3）根據二次根式乘除法法則計算即可；
（4）根據二次根式乘除法法則計算即可．
【詳解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
5．計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【知識點】二次根式的乘除混合運算
【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算，熟知二次根式的乘除法計算法則是解題的關鍵．
（1）先計算二次根式乘法，再計算二次根式除法即可得到答案；
（2）直接根據二次根式乘法計算法則求解即可；
（3）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據二次根式的乘除法計算法則計算，據此可得答案；
（4）把根號外面的式子進行乘除法計算，再把根號里面的式子根據二次根式的乘除法計算法則計算，據此可得答案．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
題型六　最簡二次根式的判斷
例題：（23-24九年級上·河南洛陽·期中）下列二次根式，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了最簡二次根式，滿足以下兩個條件：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式，由此判斷即可．
【詳解】解：A、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
B、被開方數含有能開得盡方的因數4，所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
C、被開方數含有能開得盡方的因數9，所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
D、被開方數含有分母，所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
故選：A．
鞏固訓練
1．下列二次根式中的最簡二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】最簡二次根式的判斷
【分析】本題考查了最簡二次根式的概念，掌握滿足最簡二次根式的條件：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因數或因式是關鍵．利用最簡二次根式的概念判斷每個選項即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
D、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意．
故選：C．
2．下列根式中，最簡二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】最簡二次根式的判斷
【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵：最簡二次根式應滿足兩個條件：被開方數的因數是整數，字母因式是整式；被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
按照最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. ，被開方數含有能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；
B. ，被開方數的字母因式是整式，且被開方數不含能開得盡方的因式，是最簡二次根式，故選項符合題意；
C. ，被開方數的因數不是整數，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；
D. ，被開方數的因數不是整數，不是最簡二次根式，故選項不符合題意；
故選：．
3．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】最簡二次根式的判斷
【分析】本題考查最簡二次根式的定義．根據題意逐一對選項進行分析即可得到本題答案．
【詳解】解：，即A不是最簡二次根式，不符合題意；
，即B不是最簡二次根式，不符合題意；
，即C不是最簡二次根式，不符合題意；
無法繼續化簡，故D是最簡二次根式，符合題意；
故選：D．
4．下列選項中的式子，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】最簡二次根式的判斷
【分析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關鍵．根據最簡二次根式的概念判斷即可．
【詳解】A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、不能再化簡，是最簡二次根式，故該選項符合題意；
故選：D．
5．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】最簡二次根式的判斷、化為最簡二次根式
【分析】此題主要考查最簡二次根式的判斷．根據最簡二次根式的定義即可求解．
【詳解】解：A、是最簡二次根式；
B、，故不是最簡二次根式；
C、，故不是最簡二次根式；
D、，故不是最簡二次根式；
故選：A．
題型七　化為最簡二次根式
例題：（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）化簡： ； ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的化簡，根據二次根式乘法和除法法則進行化簡即可．
【詳解】解：，
，
故答案為：，．
鞏固訓練
1.（23-24八年級上·廣東肇慶·階段練習）化簡： ， ．
【答案】
【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可求解．
【詳解】解：；
．
故答案為：，．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
2.（23-24八年級下·浙江·期中）化簡成最簡二次根式： ； ．
【答案】 /
【詳解】直接根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式．進行計算即可．
【解答】解：；．
故答案為：；．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確計算是解題的關鍵．
3.（22-23八年級上·寧夏銀川·階段練習）化簡：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性質化簡即可．
【詳解】（1）解：；
（2）；
（3）．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，解題的關鍵是掌握二次根式的性質．
4.（23-24八年級·全國·假期作業）把下列二次根式化為最簡二次根式：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接計算得到答案；
（2）直接計算得到答案；
（3）直接計算得到答案；
（4）直接計算得到答案；
（5）直接計算得到答案．
【詳解】（1）
故的最簡二次根式為：；
（2）
故的最簡二次根式為：；
（3）
故的最簡二次根式為：；
（4）
故的最簡二次根式為：；
（5）∵a，b，c均大于0
∴．
【點睛】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的相關知識．
題型八　同類二次根式的判斷
例題：（23-24八年級下·江西上饒·期中）下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了同類二次根式的定義，解題的關鍵是正確化簡二次根式．先進行化簡，然后根據同類二次根式的定義，即可得到答案．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故不符合題意；
B、與不是同類二次根式，故不符合題意；
C、與不是同類二次根式，故不符合題意；
D、與是同類二次根式，故符合題意；
故選：D．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查同類二次根式的識別，掌握定義是解題的關鍵，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式．首先化簡二次根式，然后根據同類二次根式的定義即可判定．
【詳解】解：，與不是同類二次根式，故A選項不合題意；
不能化簡，與不是同類二次根式，故B選項不合題意；
，與不是同類二次根式，故C選項不合題意；
，與是同類二次根式，故D選項符合題意；
故選：D．
2.（2023·廣西來賓·一模）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】本題考查了同類二次根式的知識，屬于基礎題，解答本題需要掌握二次根式的化簡法則及同類二次根式的被開方數相同．將各選項中的二次根式化為最簡，然后根據同類二次根式的被開方數相同即可判斷出答案．
【詳解】解：A．，即和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B．，即和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C．，即和不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
D．，，即和是同類二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
3.（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】本題主要考查了同類二次根式．將二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．根據同類二次根式的定義逐項判斷即可解答．
【詳解】解：A、與的被開方數不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；
B、與的被開方數不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；
C、與的被開方數相同，所以它們是同類二次根式；故本選項正確；
D、與的被開方數不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項錯誤；
故選：C．
題型九　二次根式的加減運算
例題：（24-25八年級上·全國·課后作業）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查二次根式的加減運算：
（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
鞏固訓練
1．計算：．
【答案】
【知識點】利用二次根式的性質化簡、二次根式的加減運算
【分析】本題考查二次根式加減運算，熟練掌握二次根式化簡是解題的關鍵．
先化簡各二次根式，再合并同類二次根式即可．
【詳解】解：原式
．
2．計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知識點】二次根式的加減運算
【分析】本題考查了二次根式的加減混合運算．
（1）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)7
【知識點】實數的混合運算、二次根式的加減運算
【分析】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
（1）先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；
（2）先去絕對值，化簡二次根式及立方根，再合并同類二次根式即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
4．計算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知識點】實數的混合運算、二次根式的加減運算
【分析】本題考查了實數的運算及二次根式的加減運算．
（1）根據化簡絕對值，算術平方根以及立方根的定義進行計算即可求解；
（1）先化簡二次根式，再計算加減即可求解．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
5．計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知識點】二次根式的加減運算
【分析】本題主要考查二次根式的加減混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
（1）利用二次根式的化簡的法則，二次根式的加減法的法則，對各項進行運算即可．
（2）利用二次根式的化簡的法則，二次根式的加減法的法則，對各項進行運算即可．
（3）利用二次根式的化簡的法則，二次根式的加減法的法則，對各項進行運算即可．
（4）利用二次根式的化簡的法則，二次根式的加減法的法則，對各項進行運算即可．
【詳解】（1）解：
;
（2）解：
;
（3）解：
;
（4）解：
.
題型十　二次根式的混合運算
例題：（23-24八年級下·山西太原·單元測試）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算、二次根式的性質等知識點，根據二次根式的性質化簡二次根式成為解題的關鍵．
（1）先根據二次根式的性質化簡，然后再運用二次根式的四則混合運算法則計算即可；
（2）先根據二次根式的性質化簡，然后再運用二次根式的四則混合運算法則計算即可．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
鞏固訓練
1．計算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】求一個數的立方根、二次根式的混合運算
【分析】本題主要考查二次根式的化簡，加減乘除混合運算，掌握二次根式的化簡，二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．
（1）化簡二次根式，求出立方根，根據加減法即可求解．
（2）化簡二次根式，根據二次根式的乘除法，加減法即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、利用二次根式的性質化簡、二次根式的混合運算
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質，平方差公式，完全平方公式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先根據平方差公式，完全平方公式進行展開再合并同類項，即可作答．
（2）先根據二次根式的性質化簡括號內，再運算除法，即可作答．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、零指數冪、二次根式的混合運算
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式和平方差公式，零指數冪等運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則．
（1）先化簡絕對值，零指數冪，二次根式的除法，然后合并即可求解；
（2）根據完全平方公式和平方差公式展開，然后合并即可求解．
【詳解】（1）
；
（2）
．
4．計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、二次根式的混合運算
【分析】本題考查了二次根式的混合計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）先計算二次根式的乘法和化簡二次根式，再根據二次根式的加減計算法則求解即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式進行求解即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
5．計算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
【知識點】實數的混合運算、負整數指數冪、二次根式的加減運算、二次根式的混合運算
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，平方差公式，零指數冪和負整數指數冪等知識點，
(1)先化簡二次根式，再計算加減即可；
(2)先計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可；
(3)先利用平方差公式，絕對值法則展開，再計算加減即可；
(4)先根據零指數冪和負整數指數冪法則化簡，再計算加減即可；
熟練掌握二次根式的混合運算法則是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
題型十一　比較二次根式的大小
例題：（23-24八年級下·浙江寧波·開學考試）比較大小：
（1） 8；
（2） ．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的大小比較．
（1）利用平方法比較大小即可；
（2）利用分子有理化，即可比較大小．
【詳解】解：（1），
，
∴，∴，故答案為：；
（2），
，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）比較下列實數的大小： ．
【答案】
【分析】本題考查了實數的大小比較和二次根式的性質等知識點．把根號外的因式平方后移入根號內，比較結果的大小，即可求出答案．
【詳解】解：，，
，
，
故答案為：．
2.（23-24七年級下·上海·期末）比較大小： ．（填“”，“”，或“”）
【答案】
【分析】本題考查了比較實數的大小，以及二次根式的性質，先把根號外的因式移入根號內，再根據實數的大小比較方法（絕對值大的反而小）比較大小即可．
【詳解】解：，，
，
，
，
故答案為：．
3.（23-24八年級下·河北邢臺·期末）比較大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，掌握相應的法則是解題的關鍵．
把分母有理化即可得到答案．
【詳解】解：
，
故答案為：．
題型十二　已知字母的值，化簡求值
例題：（23-24八年級下·云南曲靖·階段練習）計算：已知，，，求的值．
【答案】13
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式、平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
利用完全平方公式、平方差公式進行計算，即可解答．
【詳解】解：
．
鞏固訓練
1.（23-24八年級下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值．
（1）直接代入求解即可；
（2）求得和的值，再代入計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；，
∴．
2.（23-24八年級下·廣東汕尾·期末）已知，求下列代數式的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，掌握公式是解題的關鍵．
（1）將代入中即可求解；
（2）利用完全平方公式得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
3.（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）已知求下列各式的值：
(1)和；
(2)
【答案】(1)6；2
(2)34
【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則．
（1）將、的值直接代入求值即可；
（2）將、的值代入，計算即可．
【詳解】（1）
（2）
題型十三　已知條件式，化簡求值
例題：（23-24八年級下·甘肅武威·期中）已知 ，，求的值．
【答案】
【分析】先根據，，可判斷，，再將原式化簡，然后將已知條件整體代入求值即可．
本題主要考查了二次根式化簡及二次根式的性質，熟練掌握是解題的關鍵．
【詳解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
鞏固訓練
1.（2024·湖南懷化·一模）已知實數滿足，求的值．
【答案】2022
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，先根據二次根式有意義的條件得到，據此化簡二次根式得到，則．
【詳解】解：由二次根式有意義的條件可知，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（23-24八年級下·福建廈門·階段練習）若x，y為實數，且，求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，先根據二次根式有意義的條件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代數式，依據二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得．
【詳解】解：由題意知，
解得：，
則，
∴原式．
3.（22-23八年級上·山西運城·期末）若 x，y 為實數，且 ． 求的值．
【答案】
【分析】根據二次根式的被開方數是非負數求得x的值，進而得到y的值，代入求值即可．
【詳解】解：依題意得：且，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查了二次根式的意義和性質．概念：式子叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．

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