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微專題4 等差數列、等比數列
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 等差、等比數列的判定
例1（1）[2024·陜西西安模擬]等差數列的前項和為 ，且
，數列 為等比數列，則下列說法錯誤的是( )
A.數列 一定是等比數列
B.數列 一定是等比數列
C.數列 一定是等差數列
D.數列 一定是等比數列
√
[解析] 數列是等差數列，設其通項公式為 ，
則是定值，所以數列 一定是等比數列，
A中說法正確;
數列為等比數列，設其通項公式為 ，
則,所以 是定值，
所以數列 一定是等比數列，B中說法正確;
因為，所以 ，所以數列一定是等差數列，C中說法正確;
當 時，，則 不是等比數列，D中說法錯誤，故選D.
（2）已知數列中，, ，則
___.
9
[解析] 因為，，所以當
時，，解得，
，
可得，
所以的偶數項是以 為首項，2為公差的等差數列，
所以 .
自測題
1.[2024·湖北武漢模擬]已知數列 ，則“
”是“數列 是等差數列”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
[解析] 先判斷充分性：
, ，
令 ，則, 數列 的偶數項成等差數列，
令 ，則, 數列 的奇數項成等差數列，
但數列不一定是等差數列， “”不是“數列 是等差數列”的充分條件.
再判斷必要性：
若數列 是等差數列， 則，
，
“”是“數列 是等差數列”的必要條件.
綜上，“”是“數列 是等差數列”的必要不充分條件.故選B.
2.已知數列滿足，，，數列的前 項和
為，則 ___.
3
[解析] 由題意知，數列 的奇數項構成以1為首項，2為公比的等
比數列，偶數項構成以2為首項，2為公比的等比數列，
則，，
故，故 .
微點2 項的性質與和的性質
例2（1）[2024·河北衡水三模]已知數列， 均為等差數列，其
前項和分別為，，滿足 ，則
( )
A.2 B.3 C.5 D.6
√
[解析] 因為數列, 均為等差數列，所以
，且 ，
又由，可得 ，
因此 .故選A.
（2）設是等比數列的前項和，若， ，
則 ___.
5
[解析] 由題意得 .
因為，，， 成等比數列，所以
，
可得，解得 ，則，
所以，解得 ，故 .
自測題
1.[2024·湖南岳陽質檢]已知等差數列的前項和為 ，若
,，則 ( )
A.有最小值25 B.有最大值25 C.有最小值50 D.有最大值50
[解析] 由 ，可得，
因為,所以等差數列的公差 ，
故,，則 ，
當且僅當時取等號，故 有最大值25.故選B.
√
2.（多選題）[2024·安徽合肥二模] 已知等比數列的公比為 ，前
項和為 ，則( )
A.
B.對任意,,, 成等比數列
C.對任意，都存在，使得,, 成等差數列
D.若，則數列為遞增數列的充要條件是
√
√
√
[解析] 對于A，當時， ，
，所以，
當 時，，
，
所以，故A正確；
對于B，當 時，，此時,, 不成
等比數列，故B錯誤；
對于C，當時，,,，故 ,
,不成等差數列，
當時，若存在，使,, 成等差數列，則
，即 ，
整理得，
所以，所以 ，所以對任意，
都存在，使得,, 成等差數列，故C正確；
對于D， ，
若是遞增數列，則，
因為 ，所以，可得，
所以若，則數列 為遞增數列的充要條件是，
故D正確.故選 .
微點3 等差、等比數列的混合
例3（1）等差數列和等比數列 都是各項均為正實數的無窮數
列，且，，的前項和為，的前項和為 ，
下列說法正確的是( )
A.是遞增數列 B. 是遞增數列
C. D.
√
[解析] 設數列和數列均為常數列1,1,1,1, ，可排除A，B，C.
對于D，設等差數列的公差為，等比數列的公比為 ，
由，可知,，由，可知, ，
又由，，可得，故 ，
所以 ，
故，則 ，
所以，
又，所以 ，所以 .故選D.
（2）已知等差數列的前項和為,是等比數列，若 ,
，且，則 的最小值為___.
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[解析] 設等差數列的公差為，因為，所以, ，
又，所以，所以 ，
所以.
因為是等比數列，且 ，所以，
顯然，可得，則 ，所以 的最小值為5.
自測題
1.[2024·浙江金華十校聯考]等差數列的首項為正數，公差為 ，
為的前項和，若，且，， 成等比數列，則
( )
A.1 B.2 C. D.2或
√
[解析] 因為，，成等比數列，所以 ，
即 ，整理得
，所以或.
又 ，，所以若，則，
解得 （舍去），
若，則，解得 ，則 .故選B.
2.已知數列是首項為1的等差數列， 是公比為3的等比數列，
且 .
（1）求和 的通項公式；
解：設數列的公差為 ，
由, ，
得，
解得 , ，
所以, .
（2）記為數列的前項和，，求的前
項和 .
解：由（1）可得 ，
所以，所以 ，
所以
.
微點4 插入數列
例4 [2024· 東北三省三校二聯] 已知等比數列的前項和為 ，
且，其中 .
（1）求數列 的通項公式.
解：因為，所以 ，
兩式相減得，
又 為等比數列，所以其公比為3，
又，所以，解得 ，
故 .
（2）在與之間插入個數，使這個數構成一個公差為
的等差數列，在數列中是否存在不同的三項，，
（其中,, 成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；
若不存在，請說明理由.
解：由題設可得 .
假設數列中存在不同的三項，，（其中,, 成等差數
列）成等比數列，
則，所以，
因為,, 成等差數列，即，所以
，得 ，故，故，故，
這與,, 不同矛盾，故假設不成立，
所以數列中不存在不同的三項，， （其中,, 成等差
數列）成等比數列.
自測題
[2024·山東濱州二模] 已知等差數列的前項和為 ，且
， .
（1）求 的通項公式；
解：因為 為等差數列，所以，所以 ，
則公差，所以 ，
所以 .
（2）保持數列中各項先后順序不變，在與
之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列 ，求
的前150項和 .
解：因為在與之間插入個3，所以
在數列 中對應的項數
.
當時，，即 ；
當時，，即 .
由題意可知 ，所以
.
1.[2024·全國甲卷]記為等差數列的前項和.已知 ,
,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ,所以
,則 ,
又因為,所以公差,
所以 ,故選B.
√
2.[2023· 新課標Ⅱ卷]記為等比數列的前項和，若 ，
，則 ( )
A.120 B.85 C. D.
[解析] 方法一：由題易知公比且，
，，
， ，
則， .故選C.
√
方法二：由等比數列的性質可得，，， 成等
比數列，因此，
將， 代入上式，解得或.
當時， ，不滿足題意，
，則 ，
由等比數列的性質可知，
得 .故選C.
3.[2023· 新課標Ⅰ卷]記為數列的前項和，設甲： 為等差
數列；乙： 為等差數列，則( )
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
√
[解析] 若為等差數列，則設數列的公差為 ，可得
，則，所以為首項為 ，公
差為的等差數列，即甲是乙的充分條件.
反之，若 為等差數列，則可設的公差為D，故
，即 ，
利用公式可得 ，
所以，即為公差為 的等差數列，所以甲是乙的必
要條件.
綜上，甲是乙的充要條件.故選C.
4.[2024· 新課標Ⅱ卷] 記為等差數列的前 項和，若
,,則 ____.
[解析] 設等差數列的公差為，則 ,
,
所以， ,所以 .
5.[2020·全國新高考Ⅰ卷] 將數列與 的公共項從小到
大排列得到數列，則的前 項和為_________.
[解析] 令，可得，
, ，,，，
則 的前項和 .
6.[2023· 新課標Ⅰ卷] 設等差數列的公差為,且 .令
，記，分別為數列，的前 項和.
（1）若，，求 的通項公式；
解：因為，所以，即 ，故
.
所以，是首項為，公差為 的等差數列，
所以， .
因為，所以 ，
即，
解得或（舍去），故 的通項公式為 .
（2）若為等差數列，且，求 .
解：若為等差數列，則 ，
即，即，
所以 或 .
當時，， ，故， .
又，所以 ，
即，解得或 （舍去）.
當時，， ，故，.
又 ，所以，
即，解得 （舍去）或（舍去）.
綜上， .
［備選理由］例1考查等差、等比數列的綜合與數列性質；例2考查
等差中項及等比中項，結合等差數列的通項公式及前 項和公式求解；
例3考查等比數列的判定和插入數列；例4考查等差數列和等比數列
的混合.
例1 ［配例3使用］ （多選題）[2024·廣東梅州二模] 已知數列
的通項公式為，，在 中依次選取若干項
（至少3項），，， ，， ，使 成為一個等比
數列，則下列說法正確的是( )
A.若取，，則
B.滿足題意的 也必是一個等比數列
C.在的前100項中， 的可能項數最多是6
D.如果把中滿足等比的項一直取下去，那么 總是無窮數列
√
√
[解析] 對于A，若取，，則 ，，
因為為等比數列，所以 ，則有，即，
故A正確；
對于B，因為數列 的通項公式為，所以，
若為等比數列，則， ，， ，， 是等比數列，
則，，， ，， 是等比數列，故滿足題意的 也必是
一個等比數列，故B正確；
對于C，在的前100項中，可以取，，， ，
，，，使 成為一個等比數列，此時
的項數為7，故C錯誤；
對于D，取， ，，，
則,，， ，
易知的公比為,則，即數列 是有限數列，
所以把中滿足等比的項一直取下去， 不總是無窮數列，
故D錯誤. 故選 .
例2 ［配例2使用］是公差不為零的等差數列，其前項和為 ，
若，，，成等比數列，則 ______.
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[解析] 設等差數列的公差為，因為 ，
所以，即，解得 .
因為，，成等比數列，所以 ，
即，解得或 （舍），
所以，解得 ，
所以 ，所以 .
例3 ［配例1、例4使用］ 數列的前項和為 ，且
.
（1）求證數列是等比數列，并求 的通項公式；
解：當時， ；
當時，由得 ，
兩式相減得 ，
所以，
又 ，所以數列 是以2為首項，2為公比的等比數列，
得，即 .
（2）若，在和中插入 個數構成一個新數列
，2，，4，6，，8，10，12，， ，插入的所有數
依次構成首項為2，公差為2的等差數列，求的前50項和 .
解：由題意得，在新數列中，從到 ，共插入了
（個）數，
共有 個數.
當時，，
當 時， ，
所以，在新數列的前50項中，有 的前9項，插入的等差數列
的前41項，
所以 .
例4 ［配例3使用］ [2024·廣東茂名二模] 有無窮多個首項均為1的
等差數列，記第個等差數列的第 項為
，公差為 .
（1）若，求 的值；
解：由題意得 ，
又，所以 .
（2）若為給定的值，且對任意, 恒成立，證
明：存在實數 , ，滿足， ；
證明：因為 ，
所以，即 ，
所以 ，
因此 ，
所以 ，
又，即 ，
所以 ，
所以存在實數,，滿足 ,
.
（3）若 為等比數列，證明：
.
證明：因為為等比數列，所以，其中為 的公比，
所以 .
當 時， ，
因為,,，所以 ，
又 ，所以 ，
故 ，
即 ，
所以 .

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