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微專題3 解三角形
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點(diǎn)1 邊角混合式
微點(diǎn)2 最值、范圍問(wèn)題
微點(diǎn)3 正余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用
微點(diǎn)1 邊角混合式
例1 已知在中，內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,, ,且
（1）求角 的大小；
解：因?yàn)?，所以由正弦定理
得 ，
又,所以 ，
所以 .
因?yàn)?，
所以 ，
又，所以 ，
又，所以 .
（2）若,外接圓的直徑為4，求 的面積.
解：由題意及正弦定理得，則 ，
由余弦定理得 ，
所以，所以 ，
因?yàn)椋裕?br/>故的面積 .
自測(cè)題
的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,, ，
已知 .
（1）求 ；
解：由已知及正弦定理，得 ，
即 ，
故 ，
可得,所以 .
（2）若，的面積為，求 的周長(zhǎng).
解：由已知，得 .
又，所以 .
由已知及余弦定理得，，
故 ,從而 ，
所以的周長(zhǎng)為 .
微點(diǎn)2 最值、范圍問(wèn)題
例2 已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，， 為鈍角，
且滿足
（1）證明： ；
證明：因?yàn)?，所以由正弦定理得
，
又 ，所以 ，
即 ，
即，即 ，
因?yàn)闉殁g角，所以，，
所以 , ,
所以 或 .
若 ，則 ，這與 矛盾，舍去；
若，則，可得 .
（2）求 的取值范圍.
解：由（1）得 ，
所以由正弦定理得
，
由即解得，所以 ，
則,故 ，所以的取值范圍為 .
【規(guī)律提煉】
三角形中常見(jiàn)的求最值、范圍問(wèn)題的解題策略：
（1）利用余弦定理,找三角形三邊之間的關(guān)系,利用基本不等式將
與相互轉(zhuǎn)化求最值、范圍.
（2）利用正弦定理,將邊化成角的正弦,利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)，
利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍.
自測(cè)題
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，， .
（1）若，證明： ；
證明：因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得
，
所以，即 ，
所以 .
因?yàn)椋?，
所以 ,
所以 ，得證.
（2）若，求 周長(zhǎng)的最大值.
解：因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
可得 ，
所以周長(zhǎng)的最大值為 .
微點(diǎn)3 正余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用
例3 已知四邊形的外接圓面積為，且, ,
為鈍角，
（1）求和 ；
解：四邊形的外接圓面積為,即的外接圓面積為 ，
設(shè)的外接圓半徑為，則，可得 .
在中， ，
即，故 ，
因?yàn)?，為鈍角，所以 為銳角，故
.
在中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以，可得 .
（2）若，求四邊形 的面積.
解： .
因?yàn)?，，所以 ，
在中，由正弦定理得，
即 ，解得，
由余弦定理得 ，
即，可得 ，
故 ，
故四邊形的面積為 .
自測(cè)題
[2024·晉城一模] 在中，，， .
（1）求角 的大小；
解：在中，，， ，
，
又， .
（2）求 外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑.
解：設(shè)外接圓的半徑為，內(nèi)切圓的半徑為 ，
根據(jù)正弦定理得 .
根據(jù)等面積法有
，解得，
外接圓的半徑為7，內(nèi)切圓的半徑為 .
1.[2024·全國(guó)甲卷]記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,, ,已知
,,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因?yàn)?, ,所以.
由余弦定理可得 ,即,
所以 ,
所以 ,
則 ,故選C.
√
方法二：由于 ，則由余弦定理可得 ,即
.
由正弦定理可知 ,
所以
將的兩邊同時(shí)除以 可得,
得,
又 ,所以,即 ,
所以 .
2.[2022·全國(guó)甲卷] 已知中，點(diǎn)在邊上， ,
,.當(dāng)取得最小值時(shí)， ________.
[解析] 方法一：設(shè)，
則在 中，，
在 中， ，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng) 取得最小值時(shí)，.
方法二：令，如圖，以為原點(diǎn)， 所在直
線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則 ，， ，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng) 取得最小值時(shí)， .
方法三：設(shè),則，設(shè)內(nèi)角, 的對(duì)邊分別為, ，
由余弦定理得 所以 ，
令，即，則 ，
所以 ，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)， .
方法四：設(shè)，則，
在 中， ，
在 中， ，
所以.
記 ，則 ，
由方程有解得 或
所以 ，
所以，此時(shí)，
所以當(dāng) 取得最小值時(shí)， .
3.[2024·新課標(biāo)Ⅰ卷] 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,, ,已
知, .
（1）求 ；
解：由余弦定理可得,
因?yàn)?所以 ,
所以,即 .
因?yàn)?所以 .
（2）若的面積為,求 .
解：由（1）可得 ，
設(shè) 的外接圓的半徑為 ，
由正弦定理可得,所以, ,
所以 ，
可得，所以 .
4.[2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷] 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,, ,
已知 .
（1）若,求 ；
解：由已知條件得 ，
則 ，
所以 ，
所以 .
由題知 ，所以，所以 ,
所以,可得 .
（2）求 的最小值.
解：由（1）知，則 ，
則 .
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為 .
［備選理由］例1考查邊角混合式；例2考查最值、范圍問(wèn)題；例3考
查正余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用.
例1 ［配例1使用］ [2024·江蘇南通三調(diào)] 在中，內(nèi)角,,
的對(duì)邊分別為,,,且 .
（1）求角 的大小；
解：因?yàn)?，所以由正弦定理得
，
即，即 .
在中，因?yàn)椋?，
又 ，所以 .
（2）若的面積為,邊上的高為1，求 的周長(zhǎng).
解：因?yàn)榈拿娣e為，所以，得 .
由，即 ，得.
由余弦定理得 ，即 ，
所以，即，所以 ，
所以的周長(zhǎng)為 .
例2 ［配例2使用］ 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為 ，
，，且滿足 .
（1）求證： ；
證明：由 及正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
所以
，
在中， ，
所以 ，
所以或，
即或 （舍去），所以 .
（2）若為銳角三角形，求 的取值范圍.
解：若為銳角三角形，由（1）得 ，
則即解得 ，
.
由得，
又易知函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
所以，
因此的取值范圍為 .
例3 ［配例3使用］ [2024·山東日照二模] 已知的內(nèi)角,,
的對(duì)邊分別為,,，分別以,,為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為 ,
,，且 .
（1）求角 的大小；
解：由題知,, ，
則 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
因?yàn)椋?.
（2）若，，求 .
解：設(shè)（ 為銳角），
在和中，由正弦定理可得 ，
，
故 .
因?yàn)椋?
又 ，所以 ，
化簡(jiǎn)得 ，
又 ，，所以，
即 .

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