資源簡介

(共43張PPT)
微專題2 平面向量
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 平面向量基本定理與線性運算
微點2 平面向量數量積
微點3 平面向量與其他知識的綜合問題
微點1 平面向量基本定理與線性運算
例1（1）[2024·浙江紹興二模]已知四邊形是平行四邊形， ，
分別是，上的點，且，，記 ，
，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 在平行四邊形中，因為， ，
，，
所以 . 故選A.
√
（2）（多選題）[2024·沈陽二模]的重心為點，點， 是
所在平面內兩個不同的點，滿足 ，則
( )
A.,,三點共線 B.
C. D.點在 的內部
√
√
[解析] ，
因為點為 的重心，所以，所以，
所以,, 三點共線，故A正確，B錯誤；
，
因為 ，所以 ，即，故C正確；
因為，所以點 的位置隨著點位置的變化而變化，
故點不一定在 的內部，故D錯誤.故選 .
自測題
[2024·呂梁三模]在等邊三角形中，點,分別為, 的中點，
若，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為點D,分別為,的中點， ,
所以 ，
所以 .故選B.
√
微點2 平面向量數量積
例2（1）[2024·湖北武漢模擬]已知向量,滿足 ,
，則 ( )
A. B. C.20 D.5
[解析] 因為 ，
所以，
故 .故選A.
√
（2）[2024·江蘇南京模擬] 已知四邊形 是邊長為2的菱形，
,為的中點，則 的值為____.
[解析] 因為四邊形是邊長為2的菱形， ，所以
.
因為為的中點，所以 ，
所以 .
自測題
1.[2024·湖南湘潭質檢]已知圓的半徑為1，，，為圓 上三點，
滿足，則 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中點D，連接，，則 ，
又，所以，
所以.
因為 ，所以 .故選B.
2.[2024·東北三省三校二聯] 已知，，在 上的投
影向量的坐標為，則向量與 夾角的余弦值為_ ___.
[解析] 在上的投影向量為，故 ，
又，所以，即，
得 ,所以, .
微點3 平面向量與其他知識的綜合問題
例3 [2024·山東泰安二模] 已知在矩形中，， ，
動點在以點為圓心且與相切的圓上，則 的最大值為__；
若，則 的最大值為___.
3
[解析] 以為原點，，所在直線分別為，
軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則 ，，，，
.
由題知，動點在以點為圓心且與相切的圓上，設圓的半徑為 ，
， ，，
，解得，
圓的方程為 .
設點的坐標為, ，
則 ，
，
故 的最大值為 .
，，
，
，
，
又，，
故 的最大值為3.
自測題
1.[2024·蘇州三模]已知過拋物線的焦點的直線與 相交于
,兩點，軸上一點滿足，若為坐標原點，則
( )
A.1 B.2 C. D.
√
[解析] 由題知，直線的斜率不為0，
設直線 的方程為，,,，
由消去 可得，則
因為 ，所以，又, ，
所以，
解得 ，此時，
又，所以 ，故選D.
2.（多選題）已知的內角，，的對邊分別為，， ，
，為的重心， ，則( )
A. B.
C.的面積的最大值為 D.的最小值為
√
√
√
[解析] 延長交于點D.因為是的重心，所以點D是 的中點，， .
對于選項A， ，故選項A正確；
對于選項B，由得 ，
所以，當且僅當 時等號成立,
又因為 ，
即， ，
所以，
得 ，故選項B正確；
對于選項C，因為 ，當且僅當
時等號成立， ，所以
，故選項C正確；
對于選項D，由 ，
，得 ，
所以由 ，可得 ，即，當且僅當時等號成立，
所以 的最小值是，故選項D錯誤.故選 .
【規律提煉】
1.解決向量問題的主要方法有基底法、坐標法、投影法;
2.常規模長、夾角、數量積問題主要是探求公式中的相關量問題;
3.解決含參問題,除了建立方程組,還常借助向量的幾何性質或結合圖
象處理.
1.[2022·新高考全國Ⅰ卷]在中，點在邊上， .記
,,則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為點D在邊上，，所以 ，
所以,所以 .
√
2.[2022·新高考全國Ⅱ卷]已知向量,, ,若
,,,則實數 ( )
A. B. C.5 D.6
[解析] 方法一：如圖，設 為坐標原點，
，，， ，連接
，，
易知四邊形 為平行四邊形, .
因為,,,所以四邊形 為菱形，
所以,所以 .故選C.
√
方法二：由已知得,
因為, ,，所以, ,,
故 ，解得 .故選C.
3.[2024·新課標Ⅱ卷]已知向量，滿足, ，且
,則 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 因為，所以，得 .
因為，所以，即 ，
得.
由①②得，則 ,故選B.
√
4.[2023·新課標Ⅰ卷]已知向量， .若
，則( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因為,，所以 ，
，
又 ，所以，
即 ，所以 ，故選D.
√
方法二：因為,，所以 ,
，
由 得，
即，所以 ，故選D.
5.[2023·新課標Ⅱ卷] 已知向量,滿足 ，
，則 ____.
[解析] 由可得 ，
由，可得，即 ，
聯立①②得，即 .
6.[2024·天津卷] 在邊長為1的正方形中，點為線段 的三等
分點，滿足,，則__，若 為線段
上的動點，為的中點，則 的最小值為_____.
[解析] 方法一：因為，所以 ，
則，可得,，所以 .
由題意可知,，
因為為線段 上的動點，所以設, ，
則，
又因為為 的中點，所以 ，
可得 .
因為，所以當時，取得最小值 .
方法二：以為坐標原點，所在直線為軸， 所
在直線為 軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
則,,,, ，
可得,, ，
因為，所以 解得
所以.
因為點在線段 ,上，
所以設,，
又 為的中點，所以 ，
可得, ，
則 .
因為，所以當時， 取得最小值 .
［備選理由］例1考查平面向量基本定理的幾何應用；例2考查利用
基本不等式求最值;例3考查數量積的運算；例4考查平面向量與圓的
結合，考查通過建系，利用向量的坐標運算求向量模的最值.
例1 ［配例1使用］ 在平行四邊形中，點在 的內部
（不含邊界），則下列選項中可能正確的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由題意設 ，
由平面向量基本定理可得：當時，點在上；
當 時，點在的內部（不含邊界）；
當時，點 在的內部（不含邊界）.
因為， ，， ,
所以C選項可能正確.故選C.
√
例2 ［配例3使用］ [2024·新疆烏魯木齊二模] 已知,,,,
五個點滿足 ，
，則 的最小值為___.
1
[解析] 因為 ，
所以， ，
，
設，則 ，,.
不妨設，,, ,, 五個點在平面直角坐標系中的位置如圖，
則，，， ，
所以 ，當且僅當，即
時取等號，所以 的最小值為1.
例3 ［配例2使用］ [2024·大連二模] 如圖，在
矩形中，,，點, 分別在線段
,上（不包括端點），且 ，則
的最小值為___________.
[解析] 設 ，則 ，
故 ,，
故
，
因為，所以 ，所以，
所以當，即 時，取得最小值 .
例4 ［配例3使用］ [2024·湖南永州三模] 在 中，
，，，動點為 所在平面內一
點，若，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意，以C為坐標原點，所在直線為 軸，過C且垂直于
的直線為 軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，.
由，可得D在以 為直徑的圓上運動，
所以動點D的軌跡方程為.
取的中點 ，設,，
則所以
所以，
所以點的軌跡方程為 ，
設其圓心為，則，半徑為1.
連接，因為 ，
所以，所以 ，
又 ，
所以 .故選A.

展開更多......

收起↑