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微專題8 幾何體的切接問題與嵌套
問題
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 空間幾何體的外接問題
例1 [2024·廣州六校模擬]在三棱錐中，是以 為斜
邊的直角三角形，為邊長是2的等邊三角形，且平面
平面，則三棱錐 外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，易知直角三角形 外接圓的圓心是斜邊
的中點，連接，則三棱錐 外接球的球
心在上，
易知 外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑.
在 中，由正弦定理知，（是 的外接圓
的半徑），即，所以，
即三棱錐 外接球的半徑為，
故三棱錐 外接球的表面積 .故選A.
自測題
1.[2024·重慶八中模擬]已知圓臺的上底面積為 ，下底面積
為 ，且其外接球的半徑 ，則該圓臺的高為( )
A.6或7 B.8或12 C.6或8 D.7或12
[解析] 設外接球的球心為，則球心在線段上或線段 的
延長線上，
設圓臺上、下底面半徑分別為,，則, ，
設球心到上、下底面的距離分別為,，則 ,
，解得,，
故圓臺的高 或 .故選C.
√
2.在三棱錐中, 平面,, ,
,則三棱錐 外接球的表面積為_____.
[解析] 因為 平面,, 平面,所以 ,,
又,所以,,兩兩垂直,
故可將三棱錐 補為以,,為共頂點的棱的長方體,
故三棱錐 的外接球即為此長方體的外接球,
設三棱錐外接球的半徑為 ,則,
所以三棱錐 外接球的表面積為 .
微點2 空間幾何體的內切問題
例2（1）[2024·寧波二模]在正四棱臺中， ,
,，若球與上底面以及棱,,,
均相切，則球 的表面積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設正四棱臺上、下底面的中心分別為, ,連
接,，則, ，所以棱臺的
高 ,
設球的半徑為 ,根據正四棱臺的結構特征可知，
球與上底面相切于,與棱 ,,,均相切于各邊中點，
設的中點為，連接,, ,則在的延長線上，
由，得 ，解得，
所以球的表面積為 ，故選C.
（2）正三棱柱 內切球（球與上、下底面和側面都相切）
的半徑是,為棱上一點，若二面角的大小為 ，
則平面 截內切球所得截面的面積為_ _____.
[解析] 因為正三棱柱內切球的半徑是 ，
所以正三棱柱的高，底面邊長.
取 , 的中點分別為，，連接，，，
，則，， ，
因為二面角的大小為 ，所以
，
內切圓的圓心為 上靠近點的三等分點，
內切圓的圓心為 上靠近點的三等分點，
連接,
設為正三棱柱 內切球的球心，則為的中點，
則，，
易知球心 到平面的距離等于到直線的距離.
在平面中，以 為原點，所在直線為軸，
所在直線為 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則， ，
所在直線的方程為 ，即，
則點到直線 的距離，
即球心 到平面的距離為.
設平面 截內切球所得截面圓的半徑為 ，
則 ，
所以截面圓的面積 .
自測題
1.[2024·江蘇宿遷三模]若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，
則稱這個球是這個多面體的內切球.在四棱錐中，側面
是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面 平面
.若四棱錐存在一個內切球，設球的體積為 ，該四
棱錐的體積為，則 的值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，取的中點，的中點 ，連接
，，，因為 是等邊三角形，所以，
又四邊形是矩形，所以 ，
又，, 平面，所以平面，
又 平面，所以，又 ，所以.
因為平面 平面，平面 平面，
平面， 平面，所以 平面， 平面，
又，所以 平面， 平面，
又 平面， 平面 ，所以 ，，
所以 .
由球的對稱性和正四棱錐的特征知，
平面截四棱錐的內切球 的截面為
大圓，此圓是的內切圓，
設此圓與， 分別相切于，，則四邊形 為正方形，
設，又， ，
則 球的半徑 ，
因為四棱錐的表面積S
，
由，解得 ，，
所以 ， ，
所以 .故選C.
2.[2024·邯鄲三模] 如圖，裝滿水的圓臺形容器內放進半徑分別為1
和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器
壁、水面均相切，此時容器中水的體積為_____.
[解析] 設大球的半徑為，小球的半徑為，則 ，
，故大球的體積 ，
小球的體積 ，
圓臺的高.
如圖，作出圓臺的軸截面，， 分別為圓臺兩底面的圓心，
設大球的球心為，小球的球心為，大球與母線 切于點，
小球與母線切于點，大球與小球切于點，連接， ，
過作交于，根據切線長定理可得， ，.
易知四邊形，四邊形，四邊形 ，
四邊形相似，
則 ，即，
解得，則 ,，
則圓臺的體積 ，
則容器中水的體積 .
【規律提煉】
1.“接”的處理:把一個多面體的幾個頂點放在球面上即球的外接問題,
解決這類問題的關鍵是抓住外接的特點,即球心到多面體頂點的距離
等于球的半徑.
2.“切”的處理:解決與球有關的內切問題主要是指球內切多面體與旋
轉體的有關問題,解答時要先找準切點,通過作截面來解決,如果內切的
是多面體,則多通過多面體過球心的對角面來作截面.
3.“截”的處理:選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包
含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素之間的關系）,達到空間
問題平面化的目的.
微點3 空間幾何體的嵌套問題
例3 （多選題）[2023·新課標Ⅰ卷] 下列物體中，能夠被整體放入棱
長為1（單位： ）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有
( )
A.直徑為 的球體
B.所有棱長均為 的四面體
C.底面直徑為，高為 的圓柱體
D.底面直徑為，高為 的圓柱體
√
√
√
[解析] 對于A，正方體內切球的直徑為 ，故A正確；
對于B，如圖①,在正方體中作出正四面體 ，
該正四面體的棱長為，而 ，故B正確；
對于C，圓柱體的底面直徑為，可以忽略不計，
正方體的體對角線的長為 ，而，故C不正確；
對于D，圓柱體的高為 ，可忽略不計，
如圖②，取，，，，， 分別為所在棱的中
點，并順次連接，所得六邊形為正六邊形，
其邊長為，連接，
易知 為正六邊形的內切圓直徑，
因為 ，所以，
而 ，故D正確.故選 .
自測題
（多選題）[2024·江西八校聯考] 在棱長為2的正方體
中，點，分別為棱，的中點，過點
的平面 與平面平行，點為線段 上的一點，則下列說法
正確的是( )
A.
B.若點為平面 內任意一點，則的最小值為
C.底面半徑為且高為的圓柱可以在正方體 內任
意轉動
D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
√
√
√
[解析] 對于A，如圖，連接， ，
易知，
又 平面， 平面，
所以 ，
因為,, 平面 ，
所以 平面，
又 平面，所以 ，同理，
因為,, 平面 ，所以 平面，
因為 平面，所以 ，故A正確；
對于B，如圖，平面 截正方體的截面為正六邊形
，其中,,,分別為，，,
的中點，連接，則 平面 ，
且點,C到平面 的距離相等，連接 ，
則 ，故B錯誤；
對于C，底面半徑為，高為 的圓柱的外接球的半徑
，又正方體的棱長為2，
所以該圓柱可以在正方體內任意轉動，故C正確；
對于D，點到平面的距離為定值，
所以當 最小時，直線與平面 所成角
的正弦值最大，此時點是的中點，
連接，,
直線 與平面所成角即為，
在 中，， ，
，
所以 ，故D正確.故選 .
1.[2022·新高考全國Ⅱ卷]已知正三棱臺的高為1，上下底面的邊長分
別為和 ，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，設球的球心為，半徑為 ，正三棱臺的上、下底面
分別為，，，， 均為正三棱臺的棱，
則，都是等邊三角形.
設， 的外接圓圓心分別為,，連接，
則.
√
連接， ， 等邊三角形和等邊三角形的邊長
分別為, , ，.
連接,，若點在線段 上，則
，即，
可得，矛盾，故點 在線段 的延長線上.
由題意得，可得,，
該球的表面積 .
2.[2022·新高考全國Ⅰ卷]已知正四棱錐的側棱長為 ，其各頂點都在同
一球面上，若該球的體積為 ,且 ,則該正四棱錐體積
的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，連接，交于點，連接 .
設正四棱錐的高,底面邊長為 ,
則,
設正四棱錐外接球的半徑為 ，
則由 ，得.
延長，交球面于點 ，連接，則為球的直徑，易知，
在 中，由射影定理知，, ,
所以, ,
所以正四棱錐 的體積為 .
記, ,
則,,
當 時，,單調遞增，
當時， , 單調遞減，所以 ,
,
所以該正四棱錐體積的取值范圍是 .
3.[2020·全國卷Ⅰ]已知,,為球的球面上的三個點，為
的外接圓.若的面積為 ，，則球 的表
面積為( )
A. B. C. D.
[解析] 設的邊長為，由題知為等邊三角形，
因為圓 的面積為 ，所以圓的半徑，
由正弦定理得 ,即,解得.易得.
設球的半徑為 ，則，
故,得，所以球 的表面積為 .故選A.
√
4.[2022·全國乙卷]已知球的半徑為1，四棱錐的頂點為 ，底面的四
個頂點均在球 的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設四棱錐的底面為四邊形，四棱錐的高為 ，
底面所在圓為，連接，,,則 底面 ，
當四邊形為正方形時，四邊形的面積最大，此時為,
的交點， ，
則，
故 ，
則 .
設，則，
當 時，，單調遞增，
當時，， 單調遞減，
所以當時， 取到最大值，即該四棱錐的體積取到最大值.
故選C.
5.[2023·全國甲卷] 在正方體中，，為
的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球 的半徑的取
值范圍是___________.
[解析] 設球的半徑為.
當球 是正方體的外接球時，球恰好經過正方體的
每個頂點，此時球 的半徑最大，正方體的外接球
直徑，
則 ，所以；
分別取棱,,,的中點, ,, ，
顯然四邊形是邊長為4的正方形，
為正方形 的對角線的交點，
連接，則，
當球 的一個大圓恰好是四邊形的外接圓時，
球的半徑最小，所以 .
綜上可知，球的半徑的取值范圍為 .
［備選理由］例1考查三棱錐與其外接球的幾何關系，求出外接球的
半徑，再利用球的表面積公式計算即可； 例2考查球與球之間的外
切關系，找到第1個實心球上的點與第2個實心球 上的點到該圓
柱形容器下底面的最大距離，依次疊放，找出規律即可得到答案；
例3考查根據已知條件構造直角三角形，由勾股定理求出球 的半徑，
即可得體積.
例1 ［配例1使用］ [2024·浙江金麗衢十二校二聯] 在三棱錐
中，底面是邊長為2的正三角形，若為三棱錐 外
接球的直徑，且與所成角的余弦值為 ，則該外接球的表面
積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中點，則為三棱錐 外接球的
球心，取的中點，的中點，連接， ，
，，，設外接球的半徑為.
在 中，，
, .
在中，， .
因為，所以，
在中， .
易知與所成的角為 ，即.
在中, ，，
所以 ，解得 ，
所以該外接球的表面積為 .故選A.
例2 ［配例3使用］ [2024·山西晉城三模] 已知某種有蓋的圓柱形
容器的底面圓半徑為，高為100，現有若干個半徑為 的實心
球，則該圓柱形容器內最多可以放入____個這種實心球.
49
[解析] 如圖，將第1個實心球 靠近該圓柱形容器右側放
置，球上的點到該圓柱形容器下底面的最大距離為 ，
將第2個實心球靠近該圓柱形容器左側放置，
過點 作垂直于該圓柱形容器的母線，垂足為，
過點作
例3 ［補充使用］ [2024·云南昆明三模] 某藝術
吊燈如圖①所示，圖②是其幾何結構圖.底座
是邊長為 的正方形，垂直于底座且長度
A. B. C. D.
為6的四根吊掛線，，， 一頭連著底座端點，另一頭
都連在球 的表面上（底座厚度忽略不計），若該藝術吊燈總高度為
14，則球 的體積為( )
√
[解析] 由題得四邊形 為正方形，且，
設正方形的外接圓圓心為 ，作出截面圖，
連接并延長交圓于點，連接 ,如圖所示，
則， .
因為該藝術吊燈總高度為14，，所以.
設球的半徑為 ，則.
在中，可得 ，解得，
所以球的體積為 .故選C.

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