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(共39張PPT)
微專題6 數列與其他知識的交匯問題
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 數列與不等式的交匯問題
例1 [2024·無錫二模] 已知各項均為正數的數列的前項和為 ，
滿足 .
（1）求數列 的通項公式；
解：由題得，，且，
當 時，,可得，
當 時，②，
得 ，
整理得 ，
因為，所以，
所以數列 是等差數列，其公差為1，
又，所以 .
（2）設,為數列的前項和，若 對任意
的恒成立，求 的取值范圍.
解：由（1）得 ，
則 ，
，
得 ，所以
.
因為對任意的 恒成立，且，
所以對任意的 恒成立，
令,則，
當時， ，即，
當時，，即 ，所以
，
所以的最大值為，所以 ，
所以的取值范圍為 .
自測題
[2024·邢臺二模] 已知數列的前項和為，且 .
（1）求數列 的通項公式；
解：當時，，解得 .
當時，由，得 ，
兩式相減得，所以，
故 是以1為首項，2為公比的等比數列，所以 .
（2）求證： .
證明：由（1）知 ，所以 .
當時， ，
當時，，故 ，
所以
.
綜上， .
微點2 數列與函數的交匯問題
例2 [2024·廣東五校聯考]若 ，
數列的前項和為，且， ，則
( )
A.76 B.38 C.19 D.0
√
[解析] 因為 ，所以
，
所以的圖象關于點 對稱.
因為，所以 ，
所以 ，
所以，所以 ，
又，，所以，，
所以 ，所以，
所以，則 ，
所以 .故選A.
自測題
1.（多選題）函數是取整函數，也被稱為高斯函數，其中
表示不超過的最大整數，例如：， .若在函數
的定義域內均滿足在區間上， 是一個常數，
則稱為的取整數列，稱為 的區間數列.下列說法正
確的是( )
A.的區間數列的通項公式為
B.的取整數列的通項公式為
C.的取整數列滿足
D.若，則數列的前 項和
√
√
[解析] 對于A，在上，， ，所以
,；
在上，,，所以 , ；…；
在上，， ，所以 ，所以A錯誤.
對于B，由選項A知，，所以B正確.
對于C，因為 5 ，所以 ，所以C錯誤.
對于D，由選項A知， ，
則 ，
所以 ，
兩式相減得，所以D正確.故選 .
2.已知冪函數的圖象過點，令 ,
，記數列的前項和為，則 ___.
5
[解析] 設冪函數 ，
因為的圖象過點 ，所以 ，解得，
所以 ，所以 ，
則，
所以，故 .
微點3 數列與幾何的交匯問題
例3 已知點列，， ，， 順
次為拋物線上的點，過點作拋物線 的切線
交軸于點，點在軸上，且點，， 構成以
點 為頂點的等腰三角形.
（1）求數列， 的通項公式.
解：，，，
過點 的切線方程為 ，
令，得，則 .
點，，構成以點 為頂點的等腰三角形，
， .
（2）是否存在使等腰三角形 為直角三角形 若存在，請求
出 ；若不存在，請說明理由.
解：若等腰三角形為直角三角形，則 ，
，可得 ，
存在，使等腰三角形 為直角三角形.
（3）設數列的前項和為，求證： .
證明： ，
，
又 隨著 的增大而增大，
當時，取得最小值，最小值為 ，
.
自測題
[2024·湖北襄陽模擬] 蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香
的發明與古人端午節的習俗有關.如圖為某校數學社團
用數學軟件制作的“蚊香”，畫法如下：在水平直線上
作長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點 為圓心，
為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點 （第一段圓弧），
再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點 ，
再以點為圓心， 為半徑逆時針畫圓弧，以此類推.當得到的“蚊香”
恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為_____.
[解析] 由題意可知，每段圓弧的圓心角為，
設第 段圓弧的半徑為，則可得,
，
故數列是首項 ，公差的等差數列，則 .
當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為
.
1.[2022·新高考全國Ⅱ卷]圖①是中國古代建筑中的舉架結構， ,,,
是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖②是某古代建筑
屋頂截面的示意圖，其中,,, 是舉，,,,是相等
的步，相鄰桁的舉步之比分別為 ,,,．已知
,, 成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為，則 ( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
√
[解析] 設,則, ,
,.
由題意知，點A的坐標為 , 即，
所以,所以 ,故選D.
2.[2023·全國乙卷]已知等差數列的公差為 ,集合
.若,,則 ( )
A. B. C.0 D.
[解析] 依題意，在等差數列 中，，顯然關于 的函數的最小正周期為3，
而，即 最多有3個不同的取值，
又集合, 中只有2個元素，
√
所以在,,中，有 或
.
若 ，則有，解得 .
當時， ；
當 時， . 故選B.
3.[2020· 全國卷Ⅱ] 周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列
滿足,且存在正整數 ,使得
成立，則稱其為 周期序列，并稱滿足
的最小正整數 為這個序列的周期.對于周期為
的序列 ,
是描述其性質的重要指標.下列周期為5的 序列中，滿足
的序列是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 對于A選項，,
,不滿足題意；
對于B選項， ，
不滿足題意；
對于C選項， ，
，
，
，滿足題意；
對于D選項， ，
不滿足題意.故選C.
［備選理由］例1考查數列與不等式的交匯問題；例2借助導數研究
函數的單調性，再利用放縮法和等比數列的求和公式求和，考查數
列與函數的交匯問題；例3根據給定條件，利用余弦定理、三角形的
面積公式求出,，進而探求數列， 的特征，再逐項分析
計算，考查數列與幾何的交匯問題.
例1 ［配例1使用］ 已知數列的前項和為,且 ,
,.若對任意 ,
恒成立，則( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
又，所以數列 是以2為公比，1為首項的等比數列，所以，
則當 時， ，
又滿足上式，所以,，
進而可得數列 是以2為公比，1為首項的等比數列，
可得 .
不等式 恒成立，即
恒成立，即 恒成立.
設 ，則 ，
設，則，
當 時，，所以在 上單調遞減，
所以當時，，
則當時， ，為遞減數列，所以，
所以 ，解得 .故選D.
例2 ［配例2使用］ [2024·江蘇蘇州三模] 已知函數 ,
.當時，，記的前項積為，若
恒成立，則整數 的最小值是___.
3
[解析] 當時，，則 .
設，，則 ，
故在上單調遞減，則 ，故當時， ，
則 ，
所以.
若恒成立，則,所以整數 的最小值為3.
例3 ［配例3使用］ （多選題）數學中有各式各樣富
含詩意的曲線，螺旋線就是其中一類，螺旋線這個名
詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏繞”.如圖所示，
正六邊形 的邊長為1，分別取其各條邊
的四等分點，連接得到正六邊形 ，再取
其各條邊的四等分點，連接得到正六邊形 ，依次類推.對于
陰影部分，記第一個陰影的最大邊長為，面積為 ；第二個
陰影的最大邊長為，面積為 ；第三個陰影三角形的最大邊
長為，面積為 ；依次類推.則( )
A.數列是以 為公比的等比數列
B.
C.任意陰影三角形的最小內角的余弦值為
D.數列的前2024項和小于
√
√
√
[解析] 正六邊形 的邊長為1，每個
內角均為 ，
在中， , ，
由余弦定理得 ，
則, ，
當時，
，
因此數列是以為首項， 為公比的等比
數列，所以，
當 時， ，
又滿足上式，因此數列 是以 為首項， 為公比的等比數列.
對于A，數列是以 為公比的等比數列，故A錯誤；
對于B， ，故B正確；
對于C，記陰影三角形的最小內角為 ，則當
時，，
當 時，上式也成立，故C正確；
對于D， 的前2024項和為
，故D正確.故選 .

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