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(共47張PPT)
微專題7 空間幾何體
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 空間幾何體的表面積與體積
例1（1）[2024· 新課標Ⅰ卷]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面
積相等，且它們的高均為 ,則圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 設底面半徑均為，圓錐的母線長為，則 .
由題可知,解得,
則,,
圓錐的體積 .故選B.
√
（2）在正三棱臺中，，，側棱 與
底面所成角的余弦值為 ，則此三棱臺的表面積是( )
A. B. C. D.
[解析] 在正三棱臺中，
設和的中點分別為 , ，和的中心分別
為,，連接，， ，，
易知在線段上，在線段 上，
則,，
√
由側棱與底面 所成角的余弦值為，得 ，
則.
因為 ,，所以 .
因為， ，
，正三棱臺的三個側面都是面積相等的等腰梯形，
所以此三棱臺的表面積 .故選A.
自測題
1.[2024·江蘇無錫模擬]蒙古包是我國蒙古族牧民
居住的房子，適于牧業生產和游牧生活.如圖所
示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱
的高為，底面半徑為,設 是圓柱下底面
A. B. C. D.
的圓心，若圓錐的側面與以為球心，半徑為 的球相切，則圓錐
的側面積為( )
√
[解析] 如圖，設圓錐的頂點為 ，圓柱上底面的圓
心為,A為圓柱上底面圓周上的一點，連接 ，
，，則在上，.
設 , （為圓錐的高，為圓錐的母
線長），過 作于,
以為球心，半徑為 的球與圓錐側面相切，.
在中， ，可得，
又，，解得，
圓錐的側面積為 . 故選C.
2.[2023·天津卷]在三棱錐中，線段上的點 滿足
，線段上的點滿足，則三棱錐 和
三棱錐 的體積之比為( )
A. B. C. D.
[解析] 設中邊上的高為 ,
則由題意可得 ，
.故選B.
√
微點2 線面位置關系的判斷
例2（1）[2024·全國甲卷]設 , 為兩個平面，, 為兩條直線，且
.下述四個命題：
①若,則 或 ；
②若,則 或 ；
③若 且 ,則 ；
④若與 , 所成的角相等，則 .
其中所有真命題的編號是( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
√
[解析] 對于①，因為，所以 ， ，
又 ，所以當 時，可得 ，
當 時，可得 ，故①為真命題.
對于②，在正方體中，令平面為 ，平面
為 ，為，為，滿足題設條件，
但與 不垂直，與 也不垂直，故②為假命題.
對于③，過作平面 ，使平面與平面 相交，交線不與重合，
記交線為 ，則由線面平行的性質定理可知.
過作平面，使平面與平面 相交，交線不與重合，
記交線為，則由線面平行的性質定理可知 .所以，
因為 ， ，所以 ，
又 ， ，所以，所以 ，故③為真命題.
對于④，在正方體中，令平面為 ，
平面為 ，為，為，滿足題設條件，
但與 不垂直，故④為假命題. 所以①③為真命題，故選A.
（2）（多選題）如圖，在正方體中，為底面的中心， 為所在棱
的中點，，為正方體的頂點.則滿足 的是( )
A. B. C. D.
[解析] 設正方體的棱長為2.
對于A，如圖①所示，連接 ，則，
故（或其補角）為直線與 所成的角.
在直角三角形中，，，
則 ，故不成立，故A不滿足題意.
√
√
對于B，如圖②所示，取 的中點，連接，，
則，.
由題意知 平面，
因為 平面，所以，
又 ，所以 平面，
因為 平面，所以 ，
又,，所以 平面，
又 平面 ，所以，故B滿足題意.
對于C，如圖③，連接 ，則，
由B的判斷可得，故 ，故C滿足題意.
對于D，如圖④，取的中點，的中點，
連接,,, , ，,則.
因為，,所以 ，故，
所以或其補角為異面直線與 所成的角.
因為正方體的棱長為2，所以 ，
，
，
所以 ，則不是直角，
所以與不垂直，故D不滿足題意.故選 .
自測題
1.[2024·湖北八市聯考]如圖，在正方體
中，,,分別為,,
的中點，則下列直線中，與平面 垂直的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 連接,,,, ，如圖所示.
因為,,分別為,, 的中點，所以
，.
因為 平面 , 平面，
所以平面 .
因為 平面, 平面，所以平面 ，
又,, 平面，所以平面平面 ，
則垂直于平面的直線一定垂直于平面.
顯然 平面,
又 平面，所以 ，
又，,
, 平面 ，所以 平面，
又 平面 ，所以.
同理可得 ，
又,, 平面 ，
所以 平面，即 平面 .
若其他選項中的直線垂直于平面，則要與 平行，顯
然都不平行.故選D.
2.（多選題）[2024·湖南雅禮中學一模] 設， 為兩條不重合的直
線， 為一個平面，則下列說法正確的是( )
A.若， ，則 B.若 ，，則
C.若 ， ，則 D.若 ， ，則
√
√
[解析] 對于A，直線可能在平面 內，可能與平面 相交，也可能
與平面 平行，故A錯誤.
對于B，設直線為平面 內的任意一條直線，
因為 ， ，所以，
又，所以，即與 內任意直線垂直，所以 ，故B正確.
對于C，若 ， ，則直線與直線可能平行，也可能異面，
故C錯誤.
對于D，過直線 作平面 ，使平面 與平面 相交，設，
因為 ，， ，所以，
又 ， ，所以 ，則，故D正確. 故選 .
1.[2021·新高考全國Ⅱ卷]正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，
側棱長為2，則其體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 因為該正四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，
所以該正四棱臺的高，
下底面面積 ，上底面面積 ，
所以該正四棱臺的體積
.故選D.
√
2.[2023·全國乙卷]已知圓錐的底面半徑為， 為底面圓心，
，為圓錐的母線， ,若的面積等于 ,則
該圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖所示，取的中點C，連接，,
則有 , .
在中，， ，
則 ,所以 ,
.
又由的面積為 ,得,解得 ，
所以 ，所以該圓錐的體積
.故選B.
3.[2023·北京卷]坡屋頂是我國傳統建筑
造型之一，蘊含著豐富的數學元素．安
A. B. C. D.
裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美．如圖，某坡屋頂可視
為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等
腰三角形．若, ，且等腰梯形所在平面、等腰
三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為 ，則該五
面體的所有棱長之和為( )
√
[解析] 如圖，過作 平面 ，
垂足為，過分別作 ，
，垂足分別為，，連接, .
由題意得等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面的夾
角分別為 ， ，所以.
因為 平面， 平面，所以，
因為， , 平面，，
所以 平面，
因為 平面，所以.
同理，，
又 ，所以四邊形是矩形，
所以由 得，所以 ，所以，
所以在直角三角形 中，.
在直角三角形 中，， .
又因為 ，
所以該五面體的所有棱長之和為
故選C.
4.（多選題）[2023· 新課標Ⅱ卷] 已知圓錐的頂點為 ，底面圓心為
，為底面直徑， ，，點 在底面圓周上，
且二面角的平面角為 ，則( )
A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側面積為
C. D.的面積為
√
√
[解析] 如圖，取的中點D,連接， ，
，則，，故 為二
面角的平面角，得 .
因為 ，，所以， ，
故圓錐的體積 ，故A正確；
，故B錯誤；
由， 可得，故，故C正確；
易知 ，由，，得,
則， 故D錯誤.故選 .
5.（多選題）[2022·新高考全國Ⅱ卷] 如圖，四邊形
為正方形， 平面， ，
，記三棱錐， ，
的體積分別為,, ,則( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 設正方形的邊長為2，則 ,
, , .
平面，， 平面 ，
.
連接交于，連接 ，，
，，， 平面 .
過作，垂足為，則，且 ，
在中，.
在 中，.
在 中，，
，即,
故 .
故選項A，B錯誤，選項C，D正確，故選 .
6.[2024·全國甲卷] 已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為 ,下底面半徑
均為,圓臺的母線長分別為, ,則圓臺甲與乙的體
積之比為_ ___.
[解析] 如圖所示，設， ，
則由題意知圓臺甲的高 ,
圓臺乙的高 ，
所以， ，
所以 .
［備選理由］例1考查空間位置關系的判斷；例2考查簡單幾何體的
體積；例3考查圓臺和球的體積；例4考查圓錐的幾何特征.
例1 ［配例2使用］ [2024·河北唐山二模] 已知為平面 外的一條
直線，則下列說法中正確的是( )
A.存在直線，使得，
B.存在直線，使得，
C.存在直線，使得，
D.存在直線，使得，
√
[解析] 對于A，當直線與平面 斜交時，不存在直線 ，使得
， ，所以A錯誤.
對于B，如圖①所示，
當 時，過直線作平面 ，使得，
取 ，, ，
因為 ， ，所以，又因為，所以 ，
因為 , ，所以 .
當與平面 斜交時，如圖②所示，設斜足為A，
在直線上取一點，作 ，垂足為，
連接 ，在平面 內，過點A作直線，
因為 ，且，, 平面，
所以 平面 ，
又因為 平面，所以，即，
在和 確定的平面內，過點作直線，使得，所以，
因為 , ，所以 ，所以存在直線，使得， .
當直線 時，存在平面 且 ，在直線上取一點，在平
面 內過 作直線，根據面面平行的性質有 ，所以B正確.
對于C，當直線與平面 相交時，若，則直線與平面 必
相交，所以C錯誤；
對于D，當 時，若，則 或 ，所以D錯誤.
故選B.
例2 ［配例1使用］ [2024·天津河東區一模] 廡殿（圖①）是古代傳
統建筑中的一種屋頂形式，小明同學在參觀文廟時發現了這一建筑
形式，將其抽象為幾何體，如圖②，其中底面 為矩
形，,, ，則
該幾何體的體積為( )
A.512 B.384 C. D.
√
[解析] 因為， ，所以，
由 , ，
得四邊形 ，四邊形均為等腰梯形.
如圖，過作于，作 于
，連接，過作于，
作于，連接 ，
所以，， .
因為，，所以，
又，， 平面，，
所以 平面，同理， 平面，
所以平面平面 ，
所以該幾何體被分為一個棱柱與兩個棱錐.
分別取，的中點，，連接， ，
因為 ，所以， ，
所以 ，
，
連接，交于，則為 的中點，連接，
因為 平面， 平面，
所以 .
因為，所以 ，
又， 平面， ，所以 平面 ，
所以 ，
所以 .
因為，
所以
，
所以該幾何體的體積為 . 故選D.
例3 ［配例1使用］ 已知圓臺的上、下底面面積分別為 ,
，其外接球的球心滿足，則圓臺 的外接球體
積與圓臺 的體積之比為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設圓臺的高為，外接球的半徑為 ，
作出軸截面如圖，
因為圓臺 的上、下底面面積分別為 , ，
所以圓， 的半徑分別為2，6，
則，可得, ，
故所求體積之比為 .故選B.
例4 ［補充使用］ （多選題）[2024·山東煙臺三模] 如圖①，半圓
的直徑為4，點，三等分半圓，，分別為， 的中點，將
此半圓以為母線卷成如圖②所示的圓錐，為 的中點，則在圖
②中，下列結論正確的有( )
A.
B. 平面
C.平面
D.三棱錐與三棱錐公共部分的體積為
√
√
√
[解析] 對于A，在題圖②中，設圓錐的底面半徑為 ，
則 ，解得 ，
因為在題圖①中，點B，C三等分半圓，
所以在題圖②中，點B,C為圓錐的底面圓周的三等分點，
所以 為等邊三角形，所以，
所以，
又因為點, 分別是,的中點，
所以 ，故A正確；
對于B，如圖，連接,因為是邊長為的等
邊三角形， 為等腰三角形，點D是 的中點，
所以，，
又 ，所以，
所以與 不垂直，故B錯誤；
對于C，因為點，分別是， 的中點，所以，
因為 平面， 平面，所以平面 ，
故C正確；
對于D，設, 交于點，易知在上，連接 ，則三
棱錐與三棱錐 的公共部分即為三棱錐，
因為點,分別是，的中點，
所以 為的重心，所以 ，
易知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的高為 ，
所以 ，
所以三棱錐與三棱錐 公共部分的體積為，故D正確. 故選 .

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