資源簡介

(共33張PPT)
微專題24 恒成立與能成立問題
2025 高考第二輪專題 數學
例1 已知函數 .
（1）討論 的單調性；
解：由題知的定義域為， ，
當時，，所以在 上單調遞增；
當時，當時，，當 時，
，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增.
（2），，求 的取值范圍.
解：當時，顯然成立，此時 可以為任
意實數.
當時，由，在 上恒成立，
得對任意 恒成立.
令， ，
則 ，
設， ，
由（1）可知，在上單調遞增，所以 ，
可得當時， ，
當時， ，
所以在上單調遞增，在 上單調遞減，
則，所以 .
綜上，實數的取值范圍為 .
自測題
［2024·濟南三模］ 已知函數，其中 且
.
（1）若是偶函數，求 的值；
解：由題意知， ，即 ，
解得或（舍去），經檢驗時， 是偶函數，
所以的值為 .
（2）若時，，求 的取值范圍.
解：當時，對任意的 ，
恒成立，此時符合題意；
當且時，對任意的 ，
恒成立，此時符合題意；
當時， ，
因為函數, 都是增函數，
所以函數在上單調遞增，
又 ，所以存在，使得，
當時， ，從而 單調遞減，
所以存在，使得 ，此時不合題意.
綜上所述，的取值范圍為且 .
例2 已知函數 .
（1）討論 的單調性；
解：由題意知，函數的定義域為 ，
.
當時，恒成立，函數在 上單調遞增；
當時，由，得 ，由，得 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增.
綜上，當時，在 上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在 上單調遞增.
（2）若不等式在區間 上有解，求
實數 的取值范圍.
解：因為不等式在區間 上有解，所
以對 有解，
又時，，所以對 有解.
令 ，
則 .
令，則 ，
所以函數在上單調遞增，所以 .
當時， ，當時， ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，所以
，所以.
綜上可知，實數 的取值范圍是 .
例3 已知函數 .
（1）當時，證明： ；
證明：當時，，令 , ,
則 ，
令可得，令可得 ，
在上單調遞增，在 上單調遞減，
，即，即 .
（2）已知在上恒成立，求 的取值范圍.
解：顯然.當時，當時， ，
，所以在 上恒成立.
當時，由在上恒成立，得 ，
，令， .
當時，，令， ，
，在 上單調遞增，
當時，，， 符合題意.
當時，令, ，則
,故，
當 時，， 存在，使得，
當時，， 在上單調遞減，
，不符合題意.
綜上，的取值范圍為或 .
【規律提煉】
對于求不等式恒（能）成立時的參數范圍問題，一般可以轉化為求
最值問題.通常有三個方法：一是分離參數法, 使不等式一端是含有
參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的
研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據參數取值情
況分類討論；三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩
個函數圖象確定條件.
[2022·新高考全國Ⅱ卷] 已知函數 .
（1）當時，討論 的單調性；
解：當時，， .
當時，, 單調遞減；
當時，, 單調遞增.
（2）當時，,求實數 的取值范圍；
解：令，則 ，
由題意知對任意的 恒成立.
，則 .
令 ，則 ，故 .
若,即 ,則
，
所以,使得當時，有，則 ，
故在上單調遞增，則 ,不合題意.
若,即 ，
則當時，在 上恒成立，
故在上單調遞減，
則當時， ，符合題意.
當 時，
在 上恒成立，
故在上單調遞減，
則當時， ,符合題意.
故實數的取值范圍是 .
（3）設 , 證明： .
證明： ，要證，
只需證 ，即證 ，
即證 ，
設，則，，即證 ，
即證 .
設，則 ，
故在 上單調遞增，
則當時，，故 .
所以 得證.
［備選理由］例1考查恒成立求參數范圍問題，有多種方法可解，供
備課選用;例2為一道端點效應失效的題目.
例1 ［配例1使用］ [2020·全國新高考Ⅰ卷] 已知函數
.
（1）當時，求曲線在點 處的切線與兩坐標軸
圍成的三角形的面積；
解：當時，，所以 ，所以
.
因為，所以切點坐標為 ,
所以曲線在點 處的切線方程為
,即 ,
所以切線與兩坐標軸交點的坐標分別為, ,
所以所求三角形的面積為 .
（2）若，求 的取值范圍.
解：方法一：因為,所以 ，
且 .
設,則 ,
所以在上單調遞增，即在 上單調遞增.
當時，,所以,所以 .
當時，，所以 ，所以
,
所以存在唯一，使得 ，且當
時，，當時， ，
所以，所以 ，
因此
,所以,所以 .
當時，,所以, 不
成立.
綜上所述，的取值范圍是 .
方法二：由得 ，即
，而 ，所以
.
令，則，所以在 上單調遞增.
由 ，可知
，所以 ，所以 .
令，則 .
所以當時，, 單調遞增；
當時，, 單調遞減.
所以，則，即 ，
所以的取值范圍為 .
方法三：由題意知,，令 ，所以
，所以 ，
于是 .
由于,所以，即 ，
而在上為增函數，故，即 ，分離
參數后有 .
令，，所以 .
當時，,單調遞增；當時， ,
單調遞減.
所以當時，取得最大值 ，所以
，所以的取值范圍為 .
方法四：因為函數的定義域為，且 ，所以
，即 .
令，則，所以在區間 上
單調遞增.
因為，所以當時，有，即 .
下面證明當時， .
令，，只需證當時， .
因為，所以在區間 上單調遞增，則
.
因此要證當時，，只需證 即可.
由,，得, ，
上面兩個不等式兩邊相加可得，
故 時， .
當時，，顯然不滿足 .
所以的取值范圍為 .
例2 ［配例1、例3使用］[2020· 全國卷Ⅰ] 已知函數
.
（1）當時，討論 的單調性；
解：當時，, .
故當時，;當時， .
所以在單調遞減，在 單調遞增.
（2）當時，，求 的取值范圍.
解：等價于 .
設函數 ,則
.
若,即,則當時，.所以 在
單調遞增，而,故當時， ,不合題意.
若,即,則當
時，;當時，.所以 在
, 單調遞減，在單調遞增.
由于 ,所以當且僅當,
即 .
所以當時， .
若,即,則 ，
由于,故由可得 ，
故當時， .
綜上，的取值范圍是 .

展開更多......

收起↑