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微專題25 不等式的證明
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點1 單變量問題
例1 已知函數(shù)， .
（1）若的極大值為1，求實數(shù) 的值；
解：的定義域為， .
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)
無極值；
當(dāng)時，令，得，令，得 ，
所以在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得極大值，極大值為 ，
解得.經(jīng)驗證符合題意，故實數(shù)的值為 .
（2）若，求證： .
證明：當(dāng)時，，故要證 ，
即證 .
令， ，
則， .
令，，則，所以 在
上單調(diào)遞增，
又因為，，所以存在 ，
使得，即 ，
可得當(dāng)時，，當(dāng)時， ，
所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以.
又因為 ，即 ，所以 ，
所以，即 ，故 得證.
自測題
已知函數(shù)，， 的圖象的一條切線
的方程為 .
（1）求 的值；
解：由 ，得 ，
由切線方程為知，斜率 ，
令，即，可得 ,
令,,,
則在 上單調(diào)遞增，
又，故的解為 ，則，即切點為 ，
所以切線方程為，即 ，
所以 .
（2）當(dāng)，時，證明： .
證明：由（1）知， ，當(dāng)時，，
函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
又，所以 ，即 ，
得 ，所以，
令，則 ，且 ，所以當(dāng) 時，
，結(jié)論得證.
微點2 多變量問題
例2 已知 .
（1）若，求曲線在點 處的切線方程；
解：當(dāng)時，，則 ,
，
又 ，所以曲線在點處的切線方程為
，即 .
（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點, ，求證：
.
證明： ，
令，得，令，則 ，
原方程可化為，則, 是方程①的兩
個不同的根，所以解得 ，
由根與系數(shù)的關(guān)系得, ，
則 ，
所以 .
令 ，
則，所以函數(shù)在 上單調(diào)遞減，
所以，所以 .
自測題
[2024·山東菏澤模擬] 已知函數(shù) .
（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
解：, ，
令，，所以, ，
由可得，由可得 ，
所以在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以 .
又因為，所以，即，且 至多在一個點
處取到0.
所以在 上單調(diào)遞減，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，沒有單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）若，證明: .
證明：要證 ，只需證 ，
即證 ，
令,，所以 ，
只需證 ，即證 .
由（1）知，當(dāng)時，在 上
單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時， ，即 ，
所以 .
微點3 三角函數(shù)有關(guān)證明
例3 已知函數(shù)， .
（1）求 的最小值；
解：令，由可知，
構(gòu)造 , ，
則在 上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
則，所以 的最小值為1.
（2）證明： .
證明：由（1）可知，即 ，
又因為，所以 ，
可得 ，則 .
設(shè)，，則在 上恒成立，
所以在 上單調(diào)遞增，則 ，
即，可得 ，
注意到 ，則 ，
所以 .
自測題
設(shè)， .
（1）當(dāng)時，證明： ；
證明：因為的定義域為 ，
所以 ，
所以為定義在 上的偶函數(shù).
不妨取，當(dāng) 時， ，
則， ，
令， ，則 ，
所以在上單調(diào)遞增，可得 ，
即在上恒成立，可得在 上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為 ，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)可知
.
（2）證明： .
證明： 由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng) 時，
等號成立，即，
令,,，則 ，當(dāng)時，
，
即 ，
則，， ，
，相加可得
，
又因為，所以，所以 ，
即 .
【規(guī)律提煉】
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，常見方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）
轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助
函數(shù).
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見
放縮結(jié)論.
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根
據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
1.[2016·全國卷Ⅲ] 設(shè)函數(shù) .
（1）討論 的單調(diào)性；
解：由題可知，的定義域為， ，令
，解得 .
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng) 時，
， 單調(diào)遞減.
（2）證明：當(dāng)時， ；
證明：由（1）知，在處取得最大值，最大值為 .
所以當(dāng)時， .
故當(dāng)時，，，即 .
（3）設(shè)，證明：當(dāng)時， .
證明：設(shè)，則 ，
令 ，解得 .
當(dāng)時，， 單調(diào)遞增；
當(dāng)時，， 單調(diào)遞減.
因為,由（2）知， ，所以 .
又 ，故當(dāng)時， .
所以當(dāng)時， .
2.[2020·全國卷Ⅱ] 已知函數(shù) .
（1）討論在區(qū)間 的單調(diào)性；
解： .
當(dāng)時， ;當(dāng)時， .
所以在區(qū)間，單調(diào)遞增，在區(qū)間 單調(diào)遞減.
（2）證明： ;
證明：因為,由（1）知，在區(qū)間 的最大值
為,最小值為 .
又是周期為 的周期函數(shù)，所以 .
（3）設(shè),證明： .
證明：因為
,所以 .
［備選理由］例1第（2）問的關(guān)鍵是將函數(shù)零點的式子，結(jié)合分析
法，進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)， 的單調(diào)
性，從而將雙變量變?yōu)閱巫兞浚焕?是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，考查
了三角函數(shù)的特點（有界性和單調(diào)性）.
（1）討論 的單調(diào)性；
解：， ，
當(dāng)時，，則在 上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，令，得，可得 .
例1 ［配例2使用］ [2024·合肥模擬] 已知函數(shù)
.
當(dāng)時，，當(dāng)時， ，
所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在 上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
（2）若，為函數(shù) 的兩個零點，
求證： .
證明：設(shè)，則 ，
，所以 ，
所以， .
記，要證，只需證 ，
只需證，即證 .
記，，則 ，
記， ，
由（1）可知，取，則 ，
所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ，
所以，即，
所以在 上單調(diào)遞增，
又，所以，所以 .
例2 ［配例3使用］ [2024·南京二模] 已知 ，函數(shù)
， .
（1）若，證明： ；
證明：因為 ，
所以，
因為 ，所以.
設(shè)， ，則，
所以在 上單調(diào)遞增，所以，因此 .
（2）若，證明： .
證明： 方法一：因為函數(shù)， ，
所以 .
當(dāng) 時，可得，故 ，
因此
，
由（1）得，因此 ，
所以在上單調(diào)遞增，從而 ，滿足題意；
當(dāng)時，令 ，則
，因為，所以存在，使得 ，
則當(dāng)時，，，所以
在 上單調(diào)遞減，從而，所以在 上單調(diào)遞減，因此 ，不滿足題意.
綜上， .
方法二：由題得 ，當(dāng)時，可得，故 ，因此 ，
由（1）得，因此 ，
所以在上單調(diào)遞增，從而 ，滿足題意；
當(dāng)時，先證明當(dāng)時， .
令，則 ，
令，則 ，
所以在上單調(diào)遞減，則 ，
所以在上單調(diào)遞減，則，
因此當(dāng) 時， .
又由（1）得 ，所以
，
則存在且，當(dāng)時， .
所以在上單調(diào)遞減，因此 ，不滿足題意.
綜上， .

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