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微專題22 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點1 切線問題
例1（1）[2024·河北滄州模擬] 已知直線是函數(shù)
和的圖象的公切線，則實數(shù) ___.
3
[解析] 設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點，由 ，
得，因為點是與函數(shù) 圖象的
公共點，所以 消去，得，解得.
設(shè)與函數(shù) 的圖象相切于點，由，得，
即 ，因為點是與函數(shù) 圖象的公共點，
所以消去，得，即 ，
解得 .
（2）[2022·新高考全國Ⅱ卷] 曲線 經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線
方程分別為______，________.
[解析] 當(dāng)時， .
設(shè)過坐標(biāo)原點的直線與曲線相切于點,
由,得,所以 ，解得,所以,
則該切線的方程為,即 ，
由曲線的對稱性，知另一條切線的方程為 .
【規(guī)律提煉】
1.曲線的切線問題，一定要注意區(qū)分“在某點的切線”還是“過某點的
切線”.
2.兩條曲線的公切線問題，一般的處理方法是設(shè)出兩個切點，分別寫
出切線方程，利用切線重合（方程是一樣的），列方程組求解，對
運算要求較高.
自測題
1.已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點 處的切線
為，則在 軸上的截距為___.
1
[解析] ，，
又， 函數(shù)的圖象在點處的切線
的方程為，整理得，
切線在 軸上的截距為1.
2.[2024·福建泉州模擬]若曲線與 恰有兩條公切
線，則 的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由得，由得.
設(shè)曲線 上的切點為，曲線上的切點為，
則曲線 在點處的切線方程為 ，
即，
同理，曲線在點 處的切線方程為.
根據(jù)曲線與 有兩條公切線，得
所以 ，化簡可得 ，
由題意有兩個解.構(gòu)造函數(shù) ，則 ，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng) 時，，單調(diào)遞減，
故在 處取得極大值，也為最大值，故，
當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，，
故的取值范圍為 ，故選A.
微點2 單調(diào)性問題
例2（1）[2024·江蘇泰州模擬]若函數(shù) 在
上單調(diào)遞增，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因為函數(shù)在 上單調(diào)遞增，所以
在 上恒成立，即
在上恒成立.
令, ，則，所以在上恒成立.
又因為在 上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
故 .故選D.
（2）（多選題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為 ，
則( )
A. 無最小值
B. 無最小值
C.
D.
√
√
[解析] 由函數(shù), ，可得
，則，所以
在定義域上為增函數(shù)，所以函數(shù)
無最小值，所以A正確；
當(dāng)時，, ,，所以 ，又因為
，故一定存在 ，使得
，所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以在 處取得最小值，所以B錯誤；
由在定義域 上為增函數(shù)，可得
在 上為凹函數(shù)，可得
，即 ，
所以C正確，D錯誤.故選 .
【規(guī)律提煉】
1.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則對任意，都有
成立；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對任意，都有
成立.
2.若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得
成立；若函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則存在
，使得成立.
自測題
1.已知函數(shù)在上不單調(diào)，則 的取值范
圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題知，，若函數(shù)在 上單調(diào)，
則或在上恒成立.
當(dāng)時， 恒成立，所以當(dāng)時，可得 恒成立，
設(shè)，則對 恒成立，即
,.
因為當(dāng) 時，，
所以 ，所以若在上不單調(diào)，則 .
2.[2024·江西宜春三模]已知，， ，其中
為自然對數(shù)的底數(shù)，則( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得， ，.
設(shè)，則，當(dāng) 時，，所以
單調(diào)遞增，又 ，所以，
即，所以 .故選A.
√
微點3 極值與最值
例3（1）若函數(shù) 既有極大值也有極小值，
則下列結(jié)論一定正確的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函數(shù)的定義域為 ，，
因為函數(shù) 既有極大值也有極小值，
所以函數(shù)在上有兩個零點，
又 ，所以方程有兩個不同的正實數(shù)根, ，
所以即,, .故選B.
（2）[2021·新高考全國Ⅰ卷] 函數(shù) 的最小值為___.
1
[解析] 當(dāng)時，，該函數(shù)在 上單
調(diào)遞減，所以在上的最小值為 ；
當(dāng)時，， ，當(dāng)
時，，當(dāng)時，，故 是函數(shù)在
上唯一的極小值點，所以在 上的最小值為.
因為，所以 .
例4 [2024·新課標(biāo)Ⅱ卷] 已知函數(shù) .
（1）當(dāng)時，求曲線在點 處的切線方程；
解：當(dāng)時，， ，
可得， ，
即切點坐標(biāo)為，切線斜率 ，
所以切線方程為，即 .
（2）若有極小值，且極小值小于0，求 的取值范圍.
解：方法一：由題知，的定義域為，且 .
若，則對任意 恒成立，
可知在 上單調(diào)遞增，無極小值，不合題意.
若，令，解得 ，
令，解得 ，
所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
則有極小值 ，無極大值，
由題意可得，即 .
構(gòu)造函數(shù),，則 ，所以
在上單調(diào)遞增，且 ，
所以不等式等價于，則 ，
所以的取值范圍為 .
方法二：由題知，的定義域為，且 .
若有極小值，則 有零點，令，
可得 ，可知曲線與直線有交點，則.
當(dāng) 時，令，解得，令，解得 ，
所以在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
則有極小值 ，無極大值，符合題意.
由題意可得，即 ，構(gòu)造
函數(shù), ，
因為,在上均單調(diào)遞增，所以 在
上單調(diào)遞增，且，
所以不等式 等價于 ，
則，所以的取值范圍為 .
【規(guī)律提煉】
1.是為極值點的必要不充分條件.如，令
，得，但0不是極值點.
2.函數(shù)在一個連續(xù)的開區(qū)間內(nèi)有最值時，此開區(qū)間內(nèi)一定有極值點.
自測題
1.若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù) 的取值范圍為
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函數(shù)，可得，若 ,則
，此時單調(diào)遞增，無極值點，不合題意，故 .
令，解得，當(dāng) 時，
，當(dāng)時，，故 是
的極值點.
因為函數(shù) 有大于零的極值點，所以，
則，即 ，解得 .故選C.
2.（多選題）[2022·新高考全國Ⅰ卷] 已知函數(shù) ,則
( )
A. 有兩個極值點
B. 有三個零點
C.點是曲線 的對稱中心
D.直線是曲線 的切線
√
√
[解析] 令,得或 .當(dāng)
時，;當(dāng) 時，.
所以為的極大值點,為 的極小值點，故A正確.
因為， ，所以只有一個
零點，故B錯誤.
因為 ,所以曲線關(guān)于點 中心對稱，故C
正確.
記斜率為2的切線與曲線的切點為,則
，解得 ,當(dāng)時，切點為，切線方程為
,即,當(dāng)時，切點為，切線方程
為 , 即,故D錯誤.故選 .
3.[2024·深圳二模]設(shè)函數(shù)， ，若存在
，，使得，則 的最小值為( )
A. B.1 C.2 D.
√
[解析] 由題意可得，即 ，所以
，又，所以在 上單調(diào)遞增，
則由，可得 ，所以.
令， ，則，
令，則，當(dāng) 時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，， 單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時， 有極大值，也是最大值，所以，
即 ，所以 .故選B.
1.[2024·全國甲卷]設(shè)函數(shù),則曲線在點 處
的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為( )
A. B. C. D.
[解析] ,則切線的斜率
,則曲線在點處的切線方程為 ，
從而可知切線與軸、軸的交點分別為, ，所以切線與
兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積 .
√
2.[2023· 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)在區(qū)間 單調(diào)遞增，
則 的最小值為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題可知在區(qū)間 上恒成立，即
對任意恒成立.
令 ，可得，
所以在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以，
故，所以，所以 的最小值為 .故選C.
√
3.（多選題）[2024· 新課標(biāo)Ⅱ卷] 設(shè)函數(shù) ，則
( )
A.當(dāng)時， 有三個零點
B.當(dāng)時，是 的極大值點
C.存在，，使得為曲線 的對稱軸
D.存在，使得點為曲線 的對稱中心
√
√
[解析] .
對于A，當(dāng)時，在 , 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故 的極大值為,極小值為,又當(dāng) 時， ,當(dāng) 時， ,所以 有三個零點,A正確.
對于B，當(dāng)時，在,上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，故是 的極小值點，B錯誤.
對于C，函數(shù) 的圖象為中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，C錯誤.
對于D，方法一：令 ,則,
令,得,則曲線 的對稱中心為
,
當(dāng)時，點 為曲線 的對稱中心，D正確.
方法二：，假設(shè)存在，使得點 為曲線
的對稱中心，則，
事實上， ，
于是 ，
由解得，即存在，使得點 為
曲線的對稱中心，D正確.故選 .
4.（多選題）[2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷] 設(shè)函數(shù) ,則
( )
A.是 的極小值點
B.當(dāng)時，
C.當(dāng)時，
D.當(dāng)時，
√
√
√
[解析] 對于A，因為 ,所
以，所以在 ,
上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是 的極小
值點，故A正確；
對于B，當(dāng)時，函數(shù) 單調(diào)遞增,且,所
，故B錯誤；
對于C，當(dāng) 時，，因為,,且在 上單調(diào)遞減，所以,故C正確；
對于D，當(dāng) 時，,所以，故D正確.故選 .
5.[2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷] 若曲線在點 處的切線也是曲線
的切線，則 _____．
[解析] ,, 切線的斜率,
切線方程為，即.
設(shè)直線 與曲線相切于點 ,
,, ,解得
,,解得 .
［備選理由］例1考查函數(shù)圖象的切線問題；例2通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的單調(diào)性問題；例3考查函數(shù)的最值問題.
例1 ［配例1使用］ [2024·合肥模擬] 設(shè)是定義在 上的
函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且滿足 ,
，則函數(shù)的圖象在 處的切線方程為________
____________.
[解析] 由 可得
，即 ，
設(shè)，則，
由 ，可得，得，
則 ，，，
則函數(shù) 的圖象在處的切線方程為 ，
化簡可得 .
例2 ［配例2使用］ 已知,,，， ，
，則下列大小關(guān)系正確的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)， .
因為，，，
所以， ， ，
即，， ，
由，可得
在上單調(diào)遞減，所以，
所以 在上單調(diào)遞減，
所以 ，即.
又，當(dāng)時， ，
所以在上單調(diào)遞增，所以 ,故選B.
例3 ［配例3使用］ 已知 對任意
恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是_________.
[解析] 因為，，所以 ，即.
設(shè)，則，
令 ，得，即在上單調(diào)遞增，
令，得 ，即在上單調(diào)遞減，
則 ，所以，則 .

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