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(共52張PPT)
微專題13 概率及性質、條件概率
2025 高考第二輪專題 數(shù)學
微點1 古典概型
例1 [2024·全國甲卷] 有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，
6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.設 為前兩次取出的球上
數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與 之差的
絕對值不大于 的概率為___.
[解析] 從6個號碼不同的球中不放回地抽取3次,
每次取1個球,共有（種）抽取結果,
設前兩個球的號碼為, ，第三個球的號碼為,
則,故 ,
即,故.
若 ,則,則為,，故有2種結果；
若 ,則,則為,,,,
,, , ,,,故有10種結果；
若,則 ,則為,,,,,,
,,, , ,,,,,,故有16種結果；
若 ,則,同理有16種結果；
若,則 ,同理有10種結果；
若,則,同理有2種結果.
所以 與之差的絕對值不大于 時,不同的抽取結果共有
（種）,故所求概率為 .
自測題
1.[2024·全國甲卷]甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，
且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率 .故選B.
方法二：當甲排在排尾，乙排在排頭時，
丙有2種排法，丁有1種排法，此時有2種排法；
當甲排在排尾，乙排在第二位或第三位時，
丙有1種排法，丁有1種排法，此時有2種排法.
故甲排在排尾共有 （種）排法.
同理，乙排在排尾共有4種排法.
故丙不在排頭，且甲或乙在排尾共有 （種）排法.
根據(jù)古典概型的概率計算公式，丙不在排頭，
且甲或乙在排尾的概率是 .故選B.
方法三：當甲在排尾時，丙有2種排法，乙、丁有 （種）排法，
此時共有 （種）排法；
當乙在排尾時，丙有2種排法，甲、丁有（種）排法，
此時共有 （種）排法.
故丙不在排頭，且甲或乙在排尾共有 （種）排法.
根據(jù)古典概型的概率計算公式，丙不在排頭，
且甲或乙在排尾的概率是 .故選B.
2.如圖為一個開關陣列，每個開關只有“開”和“關”兩種狀態(tài)，按其中
一個開關1次，將導致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）
的開關改變狀態(tài).若從這十六個開關中隨機選兩個不同的開關先后各
按1次，則和 的最終狀態(tài)都未改變的概率為____.
[解析] 要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，
則需要按，， ，，這五個開關中的一個，
要使得 的狀態(tài)發(fā)生改變，
則需要按，，這三個開關中的一個，
所以要使得 和 的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變，
則需按其他八個開關中的兩個或按，，，，
這五個開關中的兩個或按 ，，這三個開關中的兩個，
故所求概率為 .
微點2 概率基本性質
例2 （多選題）[2024·河北滄州模擬] 袋子中有6個相同的球，分別
標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件 “取
出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件 “取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，
事件 “取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則( )
A.事件與是互斥事件 B.事件與 是對立事件
C.事件與是互斥事件 D.事件與 相互獨立
√
√
[解析] 對于A，B，取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之
積為偶數(shù)不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故事件A與B是互斥事
件，也是對立事件，故A，B正確；
對于C，若取出的球的數(shù)字為2,4，則事件B與事件C均發(fā)生，
故事件B與C不互斥，故C錯誤；
對于D，,, ，
則，即事件B與C不相互獨立，故D錯誤.故選 .
自測題
1.（多選題）[2024·昆明三模] 在一個有限樣本空間中，事件,, 發(fā)
生的概率滿足，，與 互斥，
則下列說法正確的是( )
A. B.與 相互獨立
C. D.
√
√
√
[解析] 對于A,A與C互斥,故 ,,
則 包含事件A,故 ,故A正確；
對于B,,即 ,
故,故 ,則A與B相互獨立,故B正確；
對于C,A與C互斥,故與C互斥,故 ,故C錯誤；
對于D, ,
因為,所以 ,故D正確.故選 .
2.（多選題）某校高二年級在一次研學活動中，從甲地的3處景點、
乙地的4處景點中隨機選擇一處開始參觀，要求所有景點全部參觀且
不重復.記“第站參觀甲地的景點”為事件，，2， ，7，則
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由題意可得,故A正確；
,,
所以 ，故B正確；
，故C錯誤；
,故D錯誤.故選 .
微點3 條件概率與全概率公式
例3 [2024·衡陽二模] 已知有,兩個盒子，其中 盒裝有3個黑球和3
個白球， 盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同.甲
從盒、乙從 盒各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將
取出的2個球全部放入 盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2
個球全部放入盒中.按上述方法重復操作兩次后， 盒中恰有7個球
的概率是____.
[解析] 若操作兩次后, 盒中恰有7個球,則兩次均為乙獲勝.
若第一次取球甲取到黑球,乙取到白球,則其概率為 ,
第一次取球后盒中有2個黑球和3個白球, 盒中有4個黑球和2個白球，
第二次取到異色球為取到1個白球和1個黑球,其概率為 ,
此時盒中恰有7個球的概率為 ；
若第一次取球甲取到白球,乙取到黑球,則其概率為,
第一次取球后 盒中有3個黑球和2個白球, 盒中有3個黑球和3個白球,
第二次取到異色球為取到1個白球和1個黑球,
其概率為,此時 盒中恰有7個球的概率為.
所以 盒中恰有7個球的概率為 .
【規(guī)律提煉】
1.計算概率是概率小題解題技巧的重要環(huán)節(jié).在計算概率時,通常用兩
種方法:頻率法和古典概型法,在解決古典概型相關問題時,可以用枚
舉法或者排列組合法計算概率.
2.在概率計算中,常常會遇到利用概率的基本性質來解決與互斥事件、
對立事件有關的概率的判斷或計算問題.
3.當事件不是互斥事件、對立事件時,一般利用條件概率和全概率公
式來解決復雜事件.
自測題
1.一個飛碟射擊運動員練習射擊，每次練習可以開2槍.當他發(fā)現(xiàn)飛碟
后，開第一槍命中的概率為0.8；若第一槍沒有命中，則開第二槍，
且第二槍命中的概率為0.6；若2發(fā)子彈都沒命中，則該次練習就失敗
了.已知在某次練習中，飛碟被擊中，則飛碟是運動員開第二槍命中
的概率為___.
[解析] 記事件“運動員開第一槍命中飛碟”，
“運動員開第二槍命中飛碟”， “飛碟被擊中”，
則 ，
，
所以飛碟是運動員開第二槍命中的概率為
.
2.[2023·天津卷] 甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，
其總數(shù)之比為，這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為 ，
， .現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概
率為____；將三個盒子中的球混合后任取一個球是白球的概率為___.
[解析] 方法一：設 “取到的三個球都是黑球”，
根據(jù)相互獨立事件的概率公式得
.
設 “將三個盒子中的球混合后任取一個球是白球”，
則 .
方法二:設“從甲盒子中取到一個黑球”,
“從乙盒子中取到一個黑球”,“從丙盒子中取到一個黑球”,
“取到的三個球都是黑球”,根據(jù)相互獨立事件的概率公式，
得.
設 “將三個盒子中的球混合后任取一個球是白球”，
“取到的球是甲盒子中的”,“取到的球是乙盒子中的”,
“取到的球是丙盒子中的”,則,且,, 兩兩互斥.
根據(jù)題意得 .
1.[2022·新高考全國Ⅰ卷]從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則
這2個數(shù)互質的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),共有 (種)情況,
其中不互質的包括從2,4,6,8中取2個不同的數(shù),或取3和6,共有
(種)情況,所以互質的共有 (種)情況,所以所求概率 .
√
2.[2021·新高考全國Ⅰ卷]有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，
從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的
球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事
件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)
字之和是7”，則( )
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
√
[解析] 記甲、乙、丙、丁四個事件分別為A,B,C,D.
事件A發(fā)生的概率；
事件B發(fā)生的概率；
，， ，，，
則事件C發(fā)生的概率；
，，，，， ，
則事件D發(fā)生的概率.
事件 為“第一次取出的球的數(shù)字是1且兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，
為不可能事件， ,故甲與丙不相互獨立；
事件 為“第一次取出的球的數(shù)字是1且兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，
，故甲與丁相互獨立；
事件 為“第二次取出的球的數(shù)字是2且兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，
，故事件乙與丙不相互獨立；
事件為不可能事件， ，
故事件丙與丁不相互獨立.故選B.
3.（多選題）[2023· 新課標Ⅱ卷] 在信道內傳輸0，1信號，信號的傳
輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為 ，收到0的概率為
；發(fā)送1時，收到0的概率為 ，收到1的概率為
.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個
信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需
要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次
傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，
0，1，則譯碼為1）.則( )
A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的
概率為
B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D.當 時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率
大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
√
√
√
[解析] 對于A，發(fā)送1，0，1，收到1，0，1的概率分別為 ，
， ，因為信號傳輸是相互獨立的，所以由相互獨立事
件的概率公式得，所求概率為 ，故A正確.
對于B，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，1，1，
收到1，0，1的概率分別為 ，， ，
由相互獨立事件的概率公式得，所求概率為 ，故B正確.
對于C，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，1，1，收到的譯碼為1，
則收到的信號可能為，， ，，
故所求概率為 ，故C錯誤.
對于D，若采用三次傳輸方案，發(fā)送0，收到的譯碼為0，
則收到的信號可能為，，， ，
故所對應的概率 ，
若采用單次傳輸方案，發(fā)送0，則收到信號0即為譯碼，
所對應的概率 ，因為 ，
所以，
所以,故D正確.故選 .
4.[2024·天津卷] 現(xiàn)有,,,, 五個活動，甲、乙都要選擇三個活動
參加.甲選到活動的概率為___；已知乙選了活動，則他選到 活動
的概率為___.
[解析] 方法一：甲從五個活動中選三個的可能情況有, ,
,,,,,,,,共10種，
其中甲選到 活動的可能情況有,,,,,，
共6種，故甲選到 活動的概率.
乙選了活動有,,,,, 共6種可能情況，
其中選到活動有,, 共3種可能情況，
故已知乙選了活動，他選到活動的概率為 .
方法二：甲選到活動的概率為.
設“乙選到活動”， “乙選到活動”，則已知乙選了活動，
他選到 活動的概率為 .
5.[2024· 新課標Ⅰ卷] 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一
個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標
有數(shù)字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從
自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小.數(shù)字
大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片
（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得
分不小于2的概率為___．
[解析] 方法一：設甲的數(shù)字為1，3，5，7時乙對應的數(shù)字
分別為 , ,,,樣本點記為 ,則該試驗的樣本空間
包含的樣本點個數(shù)為.
甲的總得分不小于2包含的樣本點有, ,
,,,,,, ,
,,,共12個.故所求概率為 .
方法二：設甲在四輪比賽中的得分分別為，，， ，
甲四輪比賽的總得分為 .
對于任意一輪比賽，甲、乙兩人在該輪出示每張牌的概率均相等，
其中使甲得1分的出牌組合有6種，
所以， ，
所以 .
記 ,如果甲的總得分為0,則組合方式是
唯一的，必定是甲出1,3,5,7,分別對應乙出2,4,6,8,所以 ；
如果甲的總得分為3,則組合方式也是唯一的,必定是甲出1,3,5,7,
分別對應乙出8,2,4,6,所以 .
因為, ,
所以,,兩式相減得 ,
所以,所以甲的總得分不小于2的概率為 .
［備選理由］例1考查古典概型；例2考查概率的基本性質、條件概
率公式；例3考查概率的基本性質、條件概率；例4考查條件概率與
全概率公式，考查二項分布及其分布列與數(shù)學期望.
例1 ［配例1使用］ [2024·山西晉城三模] 有4個外包裝相同的盒子，
其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球.現(xiàn)準
備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪
個盒子中的概率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 將4個盒子按順序拆開,樣本空間中共包含 (個)樣本點.
若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中,則前2個盒子里
都是白球或都是黑球,共包含 (個)樣本點，則恰好拆
開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率 . 故選B.
例2 ［配例2、例3使用］ 設， 是一個隨機試驗中的兩個事件，
且,,，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ,
所以,解得 ,
又因為,所以,解得 .
由,可得,所以 .
故選B.
√
例3 ［配例2、例3使用］ [2024·山東濱州二模] 已知隨機事件，
發(fā)生的概率分別為， ，則下列說法正確的是
( )
A.若，則， 相互獨立
B.若，相互獨立，則
C.若，則
D.若，則
√
[解析] 對于A，因為 ，
所以A與B不相互獨立，故A錯誤；
對于B，若A，B相互獨立，
則 ，故B錯誤；
對于C，因為，
所以 ，故C錯誤；
對于D，若，則 ，
所以 ，故D正確.故選D.
例4 ［配例3使用］ [2024·廣東深圳二模] 某大型企業(yè)準備把某一
型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調研和試生產(chǎn)，質檢人員
抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為 ，乙工廠試
生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為 ，若將這兩批零件混合放在一
起，則合格品率為 .
（1）從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記
這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為，求 的分布列和數(shù)學期望.
解：設甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有 個，
乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有 個，
事件“混合放在一起的零件來自甲工廠”，
事件 “混合放在一起的零件來自乙工廠”，
事件 “混合放在一起的某一零件是合格品”，
則， ，，
解得 ，所以 .
的可能取值為0，1，2，3，且 .
， ，
， ，
所以 的分布列為
0 1 2 3
.
（2）為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠計劃提高生產(chǎn)該零件
的質量指標.已知在甲工廠提高質量指標的條件下該大型企業(yè)把零件
交給甲工廠生產(chǎn)的概率大于在甲工廠不提高質量指標的條件下該大
型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設事件 “甲工廠提高了生產(chǎn)
該零件的質量指標”，事件 “該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”.
已知，，證明： .
證明：因為在甲工廠提高質量指標的條件下該大型企業(yè)把零件交給
甲工廠生產(chǎn)的概率大于在甲工廠不提高質量指標的條件下該大型企
業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，
所以，即 .
因為，，所以 .
因為， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 .
又因為， ，
所以 .
因為，，所以 ，
即 .

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