資源簡介

(共70張PPT)
微專題14 隨機變量的分布列與數學
期望
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 統計與概率的綜合問題
例1 [2024·重慶一中三診] 某市開展了“暖冬計劃”活動，為高海拔地
區學校加裝供暖器.按供暖器的達標規定：學校供暖器的噪聲不能超
過50分貝、熱效率不能低于 .某地采購了一批符合達標要求的供
暖器，經抽樣檢測，這批供暖器的噪聲（單位：分貝）和熱效率的
頻率分布直方圖如圖所示.假設數據在組內均勻分布，且以相應的頻
率作為概率.
（1）求， 的值；
解：由題意得 ，
解得 .
，解得 .
（2）如果供暖器的噪聲與熱效率是獨立的，從這批供暖器中隨機抽
出2件，求恰有1件噪聲低于25分貝且熱效率不低于 的概率；
解：1件供暖器的噪聲低于25分貝的概率為 ，
熱效率不低于的概率為 ，
故1件供暖器噪聲低于25分貝且熱效率不低于 的概率為
，
抽出的2件中恰有1件噪聲低于25分貝且熱效率不低于 的概率
為 .
（3）當時，設供暖器的噪聲低于分貝的概率為 ，
供暖器的熱效率不低于的概率為，求 的取值范圍.
解： ， ，則
.
當時,
,此時，
則 ；
當時，
，此時，
則 .
綜上，的取值范圍是 .
自測題
[2022·新高考全國Ⅱ卷] 在某地區進行某種疾病
調查，隨機調查了100位這種疾病患者的年齡，
得到如圖所示的樣本數據頻率分布直方圖.
（1）估計該地區這種疾病患者的平均年齡
（同一組數據用該區間的中點值作代表）；
解：估計該地區這種疾病患者的平均年齡為 （歲）.
（2）估計該地區這種疾病患者的年齡在區間 內的概率；
解：估計該地區這種疾病患者的年齡在區間 內的概率為
.
（3）已知該地區這種疾病的患病率為
，該地區年齡在區間 內的人口
數占該地區總人口數的 ，從該地區選
出1人，若此人的年齡在區間 內，
求此人患這種疾病的概率（精確到
）.
解：設“此人的年齡在區間 內”， “此人患這種疾病”，則由條件概率公式，得 ，所以若此人的年齡在區間 內，
則此人患這種疾病的概率約為 .
微點2 概率分布問題
例2 [2024· 浙江Z20名校聯考] 某商場推出購物抽獎促銷活動，活動
規則如下：
①顧客在商場內消費每滿100元，可獲得1張抽獎券.
②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規則為：從放有5個白
球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相
同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，
并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規則
不變）.
③每位顧客獲得的禮品數不超過3份，若獲得的禮品數滿3份，則不
可繼續抽獎.
（1）顧客甲通過在商場內消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至
少獲得1份禮品的概率；
解：由題意可知一次抽獎摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為 ，
故甲至少獲得1份禮品的概率 .
（2）顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，求他
在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中獲得禮品的概率；
解：設事件 “顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿
3份”， “顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中獲得禮品”.
， ，
.
（3）設顧客在消耗 張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數滿3份，要獲得
張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求, 的值.
附：重復進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為 ，隨機
變量表示當恰好出現次失敗時已經成功的試驗次數，則 服從參數
為和的負二項分布，記作，它的均值 ，方
差 .
解：由題意可知,, ，
則 ，
.
【規律提煉】
1.求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：（1）判斷取值；
（2）探求概率；（3）寫分布列；（4）求期望值.
2.要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，
或是與符合特殊分布的另一隨機變量存在線性對應關系，跳過分布
中概率的計算，利用公式得到期望或方差.
自測題
1.[2024·日照三模] 電信詐騙是指通過電話、網絡和短信等方式，編
造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著
時代的全面來臨，借助手機、網銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速
發展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防
范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.
（1）已知該校參加本次競賽的學生的得分 近似服從正態分布
，樣本平均數為 ，樣本方差為.若某同學的得分 滿足
，則該同學被評為“反詐標兵”；若 ，
則該同學被評為“反詐達人”.
（i）試判斷得分為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；
解：由題意知，該校參加本次競賽的學生的得分 近似服從
正態分布 ,可得，.
因為 ，所以該同學能被評為“反詐標兵”.
（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識
競賽的學生人數（四舍五入后取整）.
參考數據：若，則 ，
， .
解：設全校參與本次知識競賽的學生人數為 ，由題意知，1名同學
是“反詐達人”的概率為 ，令，解得 ，所以參與本次知識競賽的學生人數約為1758.
（2）已知該學校有男生1000人，女生1200人，經調查有750名男生
和600名女生了解“反詐”知識，用頻率估計概率，現從全校隨機抽出
2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數記為，求 的分
布列及數學期望 .
解：由題意知，1名男生了解“反詐”知識的概率為 ，
1名女生了解“反詐”知識的概率為.
隨機變量 的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，
則 ，
，
，
，
，
，
所以隨機變量 的分布列為
0 1 2 3 4 5
所以
.
2.[2024·河北邢臺二模] “英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、
教育部共同組織實施，培養了許多具有創新潛質的優秀中學生.為選
拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加數學、
物理學科夏令營活動.
（1）若數學組的7名學員中恰有3人來自 中學，從這7名學員中隨機選
取3人，表示選取的人中來自中學的人數，求 的分布列和數學期望.
解：由題意知，的可能取值為0，1，2，3， ，
，， ，
所以 的分布列為
0 1 2 3
.
（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活
動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小
組答對題數不小于3，則取得本輪勝利.已知甲、乙兩位同學組成一組，
甲、乙答對每道題的概率分別為， .假設甲、乙兩人每次答題相
互獨立，且互不影響.當 時，求甲、乙兩位同學在一輪答
題中取勝的概率的最大值.
解：甲、乙兩人每次答題相互獨立，設每輪答題中，
甲答對的題數為，則 ，
設乙答對的題數為，則.
設事件 “甲、乙兩位同學在一輪答題中取勝”,
則，
又 ，故
因為,， ，所以 .
，又，所以 .
設，，所以, ，
由二次函數的性質可知當時，取得最大值 ，
所以甲、乙兩位同學在一輪答題中取勝的概率的最大值為 .
微點3 風險與決策問題
例3 [2024· 新課標Ⅱ卷] 某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩
名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投
籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投
中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次
投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.
某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為 ，乙每次
投中的概率為 ，各次投中與否相互獨立.
（1）若， ,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的
比賽成績不少于5分的概率.
解：若甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲在第一階段比賽中
至少投中1次，乙在第二階段比賽中也至少投中1次， 甲、乙所在
隊比賽成績不少于5分的概率 .
（2）假設 .
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰
參加第一階段比賽？
解：若甲參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的
概率 ，若乙參加第一階段比賽，則甲、乙所在
隊的比賽成績為15分的概率 .
，,,, ,
,得， 應該由甲參加第一階段比賽.
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參
加第一階段比賽？
解：若甲參加第一階段比賽，記甲、乙所在隊的比賽成績為，
則 的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
.
若乙參加第一階段比賽，記甲、乙所在隊的比賽成績為，
則 的所有可能取值為0，5，10，15，
同理可得 .
，
應該由甲參加第一階段比賽.
【規律提煉】
決策問題的解題策略:決策的工具是有關概率或期望,決策方案的最佳
選擇是將概率或期望最大（最小）作為最佳方案,可能需要借助函數
的性質去實現.
自測題
[2024·江西宜春二模] 為了解并普及人工智能相關知識、發展青少年
科技創新能力，某中學開展了“科技改變生活”人工智能知識競賽，
競賽試題有甲、乙、丙三類（每類有若干道題），各類試題的分值
及小明答對的概率如表所示，每道題回答正確得到相應分值，否則
得0分.競賽分三輪，依次進行，每輪得分之和即為參賽選手的總得分.
甲類題 乙類題 丙類題
每題分值 10 20 40
每題答對概率
小明參加競賽，有兩種方案可以選擇：
方案一：每輪回答一道題，共回答三道乙類題.
方案二：第一輪在甲類題中選擇一道作答，若正確，則進入第二輪答
題；若錯誤，繼續回答另一道甲類題，該題回答正確，進入第二輪答
題，否則退出比賽；第二輪在丙類題中選擇一道作答，若正確，則進
入第三輪答題，否則退出比賽；第三輪在乙類題中選擇一道作答.
（1）方案一中，在小明至少答對2道乙類題的條件下，求小明恰好
答對2道乙類題的概率.
解：設事件“小明至少答對2道乙類題”，
事件 “小明恰好答對2道乙類題”，
則， ，
所以 .
（2）為使總得分的數學期望最大，小明應選擇哪一種方案？請說明
理由.
解：設選擇方案一時小明答對乙類題的題數為,總得分為 .
由題意知，則 ，
所以 .
設選擇方案二時小明的總得分為，
由題意得 的可能取值為0，10，50，70，
， ，
，
，
所以 ，
所以 ，所以小明應該選擇方案一.
1.[2021·新高考全國Ⅱ卷]某物理量的測量結果服從正態分布 ，
則下列結論中不正確的是( )
A. 越小，該物理量一次測量結果落在 內的概率越大
B.該物理量一次測量結果大于10的概率為0.5
C.該物理量一次測量結果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等
D.該物理量一次測量結果落在內的概率與落在 內
的概率相等
√
[解析] 對于A，為數據的方差，所以 越小，數據在 附近
越集中，所以該物理量一次測量結果落在 內的概率越大，
故A中結論正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果
大于10的概率為 ，故B中結論正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果
大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C中結論正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在內的概率與落在
內的概率不相等，所以該物理量一次測量結果落在 內的
概率與落在 內的概率不相等，故D中結論錯誤.故選D.
2.（多選題）[2024· 新課標Ⅰ卷] 為了解推動出口后的畝收入
（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收
入的樣本均值,樣本方差 ,已知該種植區以往的畝收
入服從正態分布,假設推動出口后的畝收入 服從正態分
布,則（若隨機變量服從正態分布 ,則
）( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由題可知， .
對于A，
,故A錯誤；
對于B， ，故B正確；
對于C， ,故C正確；
對于D， ,
故D錯誤.故選 .
3.[2021·新高考全國Ⅰ卷] 某學校組織“一帶一路” 知識競賽，有A，B
兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機
抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則
從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該
同學比賽結束 類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；
B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.
已知小明能正確回答A類問題的概率為 ，能正確回答B類問題的概
率為 ，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求 的分布列.
解：隨機變量 的所有可能取值為0，20，100.
， ，
，
故隨機變量 的分布列為
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題 并說
明理由.
解：若小明先回答B類問題，記 為小明的累計得分，
則隨機變量 的所有可能取值為0，80，100.
， ，
，
則 .
由（1）知 ，
因為 ，所以小明應選擇先回答B類問題.
［備選理由］例1考查概率與統計相結合，考查獨立性檢驗，考查超
幾何分布的分布列及期望，考查平均數與方差的計算；例2考查古典
概型，考查離散型隨機變量的期望；例3以常見的拋硬幣情境，考查
二項分布、正態分布結合新定義的轉化；例4是決策問題，考查對立
事件和獨立事件的概率公式.
例1 ［配例1使用］ [2024·山東青島三模] 為了研究高三年級學生
的身高是否低于 和性別的關聯性，隨機調查了某中學部分高
三年級學生的身高（單位：），整理得到如下 列聯表:
單位:人
性別 身高 合計
低于 不低于 女 14 5 19
男 8 10 18
合計 22 15 37
（1）依據小概率值 的獨立性檢驗，能否認為該中學高三年級
學生的身高是否低于 與性別有關聯
附:， .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：零假設為該中學高三年級學生的身高是否低于 與性
別無關聯.
根據列聯表中的數據，經計算得到
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷 不成立，
即認為該中學高三年級學生的身高是否低于 與性別有關聯.
（2）從身高不低于 的15 名學生中隨機抽取3名學生，設抽取
的3名學生中女生的人數為，求的分布列及數學期望 .
解：由題意可得，隨機變量 的可能取值為0,1,2,3，
可得， ，
， ，
所以隨機變量 的分布列為
0 1 2 3
所以 .
（3）若身高低于的8 名男生身高數據的平均數為 ，
方差為，身高不低于 的10 名男生身高數據的平均數為
，方差為 .請估計該中學高三年級男生身高數據的平
均數和方差.
解：由題意知，18名男生身高數據的平均數
，
18名男生身高數據的方差
，
所以估計該中學高三年級男生身高數據的平均數為174，方差為59.
例2 ［配例2使用］ [2024·葫蘆島二模] 某商場為調查手機賣場各
品牌手機在晚上19：30到21：00時段的銷售情況，隨機抽取了某一
周該時段的銷售數據，并要求每個品牌只抽取一個款式的手機，且
不考慮價格波動.
手機品牌 A B C D
銷售總額（萬元） 1.92 1.8 4.8 4.8 2.52
銷售量 4 3 10 6 7
銷售利潤率 0.1 0.07 0.06 0.05 0.08
銷售利潤率是指一部手機的銷售價格減去出廠價格得到的利潤與該
手機銷售價格的比值.
（1）從該商場本周該時段賣出的手機中隨機選一部，求這部手機利
潤率高于0.07的概率；
解：由題意知，該商場本周該時段共賣出30部手機，
利潤率高于0.07的是A品牌的4部和 品牌的7部，共有11部.
設“這部手機利潤率高于0.07”為事件，則 .
（2）從該商場本周該時段賣出的銷售單價為4800元的手機中隨機選
取2部，求這2部手機的利潤率不同的概率；
解：用銷售總額除以銷售量得到手機的銷售單價，
可知A品牌手機和C品牌手機的銷售單價為4800元，
其中A品牌手機有4部，C品牌手機有10部，共有14部，
從中隨機選取2部，有 種不同的選法，
若2部手機的利潤率不同，則有 種不同的選法.
設“這2部手機的利潤率不同”為事件，則 .
（3）設銷售一部A,B,C,D,品牌手機的獲利分別為元，元，
元，元，元，依據上表統計數據，隨機銷售一部手機的獲利 的
期望為，設，試判斷與 的大小.
解：由題意可知,,, , ,
所以 的可能取值為288,400,420,480.
， ，
， ，
故 ，
又 ，所以 .
例3 ［配例2使用］ 我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機
變量，服從正態分布的隨機變量稱為正態隨機變量.概率論中有一個
重要的結論：若隨機變量，則當 充分大時，二項隨機變
量可以由正態隨機變量來近似地替代，且正態隨機變量 的期望
和方差與二項隨機變量 的期望和方差相同.法國數學家棣莫弗在
1733年證明了 時這個結論是成立的，法國數學家、物理學家拉
普拉斯在1812年證明了這個結論對任意的實數 都成立，因
此人們把這個結論稱為棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理.現拋擲一枚
質地均勻的硬幣2500次，利用正態分布估算硬幣正面向上不少于
1200次的概率為( )
附：若，則 ，
，
.
A. B. C. D.
√
[解析] 拋擲一枚質地均勻的硬幣2500次,設硬幣正面向上的次數為,
則, ,
.
由題意知 ,且, ,
因為 ,
即，
所以利用正態分布估算硬幣正面向上不少于1200次的概率為
.故選B.
例4 ［配例3使用］ [2024·廣東茂名二模] 在一場乒乓球比賽中，甲、
乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先，
四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區”，敗者進入“敗區”；接下來，
“勝區”的兩人對陣，勝者進入最后決賽，“敗區”的兩人對陣，敗者直
接淘汰出局獲得第四名；緊接著，“敗區”的勝者和“勝區”的敗者對陣，
勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的兩人進行最后
的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝
的概率均為 ，且不同對陣的結果相互獨立.
（1）若 ，經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.
①求甲獲得第四名的概率；
解：記“甲獲得第四名”為事件，則 .
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望.
解：記甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數為隨機變量 ，
則 的所有可能取值為2，3，4，
，
，
，
故 的分布列為
2 3 4
0.16 0.552 0.288
數學期望 .
（2）除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩
對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.哪種賽制對甲奪
冠有利？請說明理由.
解：在“雙敗淘汰制”下，甲奪冠的概率
.
在“單敗淘汰制”下，甲奪冠的概率為 .
,又 ，
所以當時, ,“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；
當時, ,“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；
當 時,兩種賽制下甲奪冠的概率一樣.

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