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(共72張PPT)
微專題12 統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析
2025 高考第二輪專題 數(shù)學
微點1 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)
例1（1）（多選題）[2024·長沙一中模擬] 為分析甲班學生某次數(shù)學
測試的情況，采用男生、女生比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取
樣本，該樣本中男生的成績?yōu)椋?，女生的成績?yōu)?br/>，，，， ，下列說法正確的是( )
A.若樣本中男、女生兩組成績的平均數(shù)都為，則樣本的平均數(shù)等于
B.若樣本中男、女生兩組成績的中位數(shù)都為，則樣本的中位數(shù)等于
C.若樣本中男、女生兩組成績的第40百分位數(shù)都為 ，則樣本的第40
百分位數(shù)可能大于
D.若樣本中男、女生兩組成績的方差都為 ，則樣本的方差一定不小
于
√
√
√
[解析] 設， ，
所有樣本數(shù)據(jù)按照從小到大排列為，， ， .
對于A，因為 ，
所以A正確.
對于B，因為，所以，
所以樣本的中位數(shù)為 ，所以B正確.
對于C，，若，則 ，所以，分別為和；若，則，所以，分別為 和.
兩種情況下，樣本的第40百分位數(shù)均等于 ，所以C錯誤.
對于D，方法一：根據(jù)比例分配的分層隨機抽樣的方差公式，
設樣本方差為，平均數(shù)為 ，
則 ，
所以樣本的方差一定不小于 ，所以D正確.
方法二：因為，所以 ，
，，
所以樣本的方差為 ，
因為 ，
所以樣本的方差一定不小于，所以D正確.故選 .
（2）[2024· 新課標Ⅱ卷]某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上
種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位： ）都在
內(nèi)，并整理得到下表：
畝產(chǎn)量
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論正確的是( )
A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于
B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例超過
C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于到 之間
D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于到 之間
√
[解析] 對于A，根據(jù)頻數(shù)分布表可知， ，
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 ，故A錯誤；
對于B，畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例為 ，故B錯誤；
對于C，設稻田畝產(chǎn)量的極差為，則由題意知 ，且，即 ，故C正確；
對于D，100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為 ，
故D錯誤.故選C.
自測題
1.（多選題）[2024·武漢調(diào)研] 如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示
了三種不同的分布形態(tài).圖①形成對稱形態(tài)，圖②形成“右拖尾”形態(tài)，
圖③形成“左拖尾”形態(tài)，下列判斷正確的是( )
A.圖①的平均數(shù)中位數(shù) 眾數(shù) B.圖②的平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù)
C.圖②的眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) D.圖③的平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
√
√
√
[解析] 圖①的頻率分布直方圖是對稱的，
所以平均數(shù)中位數(shù) 眾數(shù)，故A正確；
圖②的眾數(shù)最小，且“右拖尾”時平均數(shù)
大于中位數(shù)，故B錯誤，C正確；
圖③的眾數(shù)最大，且“左拖尾”時平均數(shù)
小于中位數(shù)，故D正確.故選 .
2.（多選題）[2024·遼寧撫順六校聯(lián)考]
2023年7月31日國家統(tǒng)計局發(fā)布了制造
業(yè)采購經(jīng)理指數(shù) ,如圖所示:
下列說法正確的是( )
A.從2023年1月到2023年7月,這7個月的制造業(yè)
采購經(jīng)理指數(shù) 的第75百分位數(shù)為
B.從2023年1月到2023年7月,這7個月的制造業(yè)
采購經(jīng)理指數(shù) 的極差為
C.從2022年7月到2023年7月，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù) 呈下降趨勢
D.若大于 表示經(jīng)濟處于擴張活躍的狀態(tài)，小于 表示
經(jīng)濟處于低迷萎縮的狀態(tài),則2023年1月到2023年3月,經(jīng)濟處于擴張活
躍的狀態(tài)
√
√
√
[解析] 由圖知,從2023年1月到2023年7月,
這7個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù) 從小到大
的順序為,, , ,,
, ,因為 ,
所以第75百分位數(shù)為第 6個數(shù),即為 ,故A正確;
從2023年1月到2023年7月,這7個月的制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)的最大
值為,最小值為 ,所以極差為 ,故B正確;
由圖易知，從2022年7月到2023年7月，制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù) 有升
有降,故C錯誤;
由圖知2023年1月到2023年3月的均大于 ,所以經(jīng)濟處于擴張活躍
的狀態(tài), 故D正確.故選 .
微點2 回歸模型
例2 [2024·泉州模擬] 某公司為了解年研發(fā)資金 （單位：億元）對
年產(chǎn)值（單位：億元）的影響，對公司近8年的年研發(fā)資金 和年
產(chǎn)值 的數(shù)據(jù)進行分析，選用了兩個回歸模型，并
利用最小二乘法求得相應的關于 的經(jīng)驗回歸方程：
； .
參考數(shù)據(jù)：，， ，
.
（1）求 的值；
解：根據(jù)題意，令，則 ，
， ，
將點的坐標代入方程 ，
得，解得 ，所以的值為 .
（2）已知①中的殘差平方和 ，②中的殘差平方和
，請根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗回歸方程，并
利用該經(jīng)驗回歸方程預測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值.
參考公式：刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù) .
解：設經(jīng)驗回歸方程①的決定系數(shù)為，
由 ，得 .
設經(jīng)驗回歸方程②的決定系數(shù)為 ，
由，得 .
因為 ，所以經(jīng)驗回歸方程②的擬合效果更好.
當時， ，
所以預測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值為295.02億元.
【規(guī)律提煉】
1.（1）正確理解計算,的公式和準確地計算是求經(jīng)驗回歸方程的關鍵;
（2）經(jīng)驗回歸直線必過點.
2.（1）在分析兩個變量的相關關系時,可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來
判斷兩個變量之間是否具有線性相關關系,若具有線性相關關系,則可
通過經(jīng)驗回歸方程來估計和預測;
（2）對于非線性回歸分析問題,應先進行變量代換,求出代換后的經(jīng)
驗回歸方程,再求非線性經(jīng)驗回歸方程.
自測題
[2024·鄭州三模] 按照《中華人民共和國環(huán)境保護法》的規(guī)定，每年
生態(tài)環(huán)境部都會會同國家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國生態(tài)環(huán)
境狀況公報》，并向社會公開發(fā)布.下表是 年五年《中
國生態(tài)環(huán)境狀況公報》中酸雨區(qū)面積約占國土面積的百分比 ：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代碼 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）求與的樣本相關系數(shù)（精確到 ）；
附：, ，樣本相關系數(shù)
, .
解：由題意可得，， ，
由題可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
可得, ,
，故樣本相關系數(shù)
.
（2）請用樣本相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與 之間的關系可用一元線
性回歸模型進行擬合，并求出關于 的經(jīng)驗回歸方程；
經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
, .
附：, ，樣本相關系數(shù)
, .
解：由（1）知，與的樣本相關系數(shù),接近1，
所以 與 之間具有較強的線性相關關系，
可用一元線性回歸模型進行擬合.
由（1）知， ,
，
所以關于 的經(jīng)驗回歸方程為 .
（3）預測2025年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比.
解：當時, ，
故預測2025年的酸雨區(qū)面積占國土面積的百分比為 .
微點3 獨立性檢驗
例3 [2024·齊魯名校聯(lián)盟聯(lián)考] 某汽車文化自媒體公司主打?qū)υ揭败?br/>越野能力的測評，為調(diào)查車友們對越野車的了解程度，隨機抽取了
200名車友進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：
單位：人
對越野車的了解程度 性別 合計
女 男 比較了解 78
不太了解 38
合計 140 200
（1）完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，
能否認為車友對越野車的了解程度與性別有關聯(lián)？
附： .
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
解：補充完整的 列聯(lián)表如下：
單位：人
對越野車的了解程度 性別 合計
女 男 比較了解 22 78 100
不太了解 38 62 100
合計 60 140 200
零假設為 車友對越野車的了解程度與性別無關聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得
，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
推斷 不成立，即認為車友對越野車的了解程度與性別有關聯(lián).
（2）該公司組織5名駕駛水平相當?shù)膯T工在戶外場地進行汽車越野
活動，他們需要合作闖關，一共有兩關，每次由一名員工上場，闖
過第一關才能繼續(xù)闖第二關，若闖某一關失敗，則換下一名員工從
失敗的這一關開始闖，同一員工不重復上場，當有人闖過第二關時
或者5名員工都闖關失敗時活動結束.若無論前面的闖關結果如何，每
名員工闖過第一關的概率都為，闖過第二關的概率都為 ，求第三
名員工闖關后活動恰好結束的概率.
解：第三名員工闖關后活動恰好結束分以下幾種情況：
①前兩名員工未過第一關，第三名員工闖過第一、二關，
其概率 ；
②第一名員工未過第一關，第二名員工過第一關未過第二關，
第三名員工過第二關，其概率 ；
③第一名員工過第一關未過第二關，第二名員工未過第二關，
第三名員工過第二關，其概率 .
所以第三名員工闖關后活動恰好結束的概率
.
自測題
（多選題）某校為了解高一新生對數(shù)學是否感興趣，從400名女生和
600名男生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取100名學生進
行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查的結果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，
則( )
單位：人
性別 是否對數(shù)學感興趣 合計
感興趣 不感興趣 女
男
合計 100
附：， .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.表中,
B.可以估計該校高一新生中對數(shù)學不感興趣的女生人數(shù)比男生多
C.根據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，可以認為是否對數(shù)學
感興趣與性別有關聯(lián)
D.根據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，可以認為是否對數(shù)學
感興趣與性別沒有關聯(lián)
√
√
√
[解析] 由題可知，
抽取男生的人數(shù)為 ，抽取女生的人數(shù)為 ，
由等高堆積條形圖知，
抽取的男生中對數(shù)學感興趣的人數(shù)為 ，
抽取的男生中對數(shù)學不感興趣的人數(shù)為 ，
抽取的女生中對數(shù)學感興趣的人數(shù)為 ，
抽取的女生中對數(shù)學不感興趣的人數(shù)為，
列聯(lián)表如下.
性別 是否對數(shù)學感興趣 合計
感興趣 不感興趣 女 12 28 40
男 30 30 60
合計 42 58 100
由此表可知，, ，故A正確；
估計該校高一新生中女生對數(shù)學不感興趣的人數(shù)為 ，
男生對數(shù)學不感興趣的人數(shù)為 ，所以估計該校高一
新生中對數(shù)學不感興趣的女生人數(shù)比男生少，故B錯誤；
單位：人
零假設為 是否對數(shù)學感興趣 與性別無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
經(jīng)計算得到 ,
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有充分證據(jù)推斷 不成立，
即認為是否對數(shù)學感興趣與性別有關聯(lián)，故C正確；
,
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷 不成立，
因此可以認為 成立，即認為是否對數(shù)學感興趣與性別沒有關聯(lián)，
故D正確.故選 .
1.[2020·全國卷Ⅰ]某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率
和溫度（單位： ）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)
芽實驗，由實驗數(shù)據(jù) 得到如圖所示的散點圖：
A. B.
C. D.
[解析] 由散點圖可知回歸方程的類型為對數(shù)型，故選D.
√
由此散點圖，在至 之間，下面四個回歸方程類型中最適宜
作為發(fā)芽率和溫度 的回歸方程類型的是( )
2.[2022·天津卷]為研究某藥品的療效，選取若
干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張
壓數(shù)據(jù)（單位： ）的分組區(qū)間為
，， ，
A.8 B.12 C.16 D.18
將其按從左到右的順序分別編號為第一組、第二組、第三組、第四
組、第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第
一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有
療效的人數(shù)為( )
√
[解析] 志愿者的總?cè)藬?shù)為， 第三組的人數(shù)為
，故第三組中有療效的人數(shù)為 .故選B.
3.（多選題）[2023· 新課標Ⅰ卷] 有一組樣本數(shù)據(jù)，， ， ，
其中是最小值， 是最大值，則( )
A.，，，的平均數(shù)等于，， ， 的平均數(shù)
B.，，，的中位數(shù)等于，， ， 的中位數(shù)
C.，，，的標準差不小于，， ， 的標準差
D.，，，的極差不大于，， ， 的極差
√
√
[解析] 對于A，這一組樣本數(shù)據(jù)可取1，2，2，2，2，4，
則2，2，2，2的平均數(shù)不等于1，2，2，2，2，4的平均數(shù)，故A錯誤；
對于B，不妨設，則，，，的中位數(shù)為 ，
而,,,,,的中位數(shù)也為 ，故B正確；
對于C，根據(jù)題意可知，,,,,,的數(shù)據(jù)波動性
大于,,, 的數(shù)據(jù)波動性，故,,,的標準差
小于,,,,, 的標準差，故C錯誤；
對于D，不妨設，則 ，
故，故D正確.故選 .
4.[2020·全國新高考Ⅰ卷] 為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測
部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的 和
濃度（單位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且 濃度不
超過150”的概率；
解：根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中濃度不超過75,
且 濃度不超過150的天數(shù)為 ,
因此，該市一天空氣中濃度不超過75，
且 濃度不超過150的概率的估計值為 .
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的 列聯(lián)表：
根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：
64 16
10 10
（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有 的把握認為該市一天
空氣中濃度與 濃度有關？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解：根據(jù)（2）的列聯(lián)表得 .
由于,故有的把握認為該市一天空氣中 濃度
與 濃度有關.
［備選理由］例1考查平均數(shù)、方差的計算；例2考查最小二乘估計
和回歸分析；例3考查模型擬合與正態(tài)分布等知識的應用；例4考查
獨立性檢驗與二項分布知識的應用.
例1 ［配例1使用］ [2024·廣東江門一模] 已知9名女生的身高平均
值為162（單位：），方差為26，若增加一名身高172（單位： ）
的女生，則這10名女生身高的方差為( )
A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8
√
[解析] 設9名女生的身高為 ，依題意得
， ，因此增加一名女生后身高的平均值為 ，
所以這10名女生身高的方差為 .故選A.
例2 ［配例2使用］[2024·華師大一附中模擬]
（1）假設變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，， ，
，兩個變量滿足一元線性回歸模型
請寫出參數(shù) 的最小二乘估計.
解： ，
要使取得最小值，當且僅當?shù)娜≈禐椋?br/>所以參數(shù) 的最小二乘估計為 .
（2）為推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，國家出臺了一系列政策，
給新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展帶來了巨大的推動效果.如表是某新能源汽車
品牌從2019年到2023年新能源汽車的年銷量（萬輛）與年份代碼
之間的對應數(shù)據(jù)（2019年的年份代碼為1,2020年的年份代碼為2，以
此類推）.已知根據(jù)散點圖和樣本相關系數(shù)判斷，與 之間具有較強
的線性相關關系，可以用線性回歸模型擬合.
年份代碼 1 2 3 4 5
年銷量 （萬） 4 9 14 18 25
令變量，，則變量與變量 滿足一元線性回歸模
型利用（1）中結論求關于 的經(jīng)驗回歸方程，
并預測2025年該品牌新能源汽車的年銷量.
解：由題知, ,
所以
,
,
所以,所以 ,所以,
即 ,所以 .
當時, ,故關于的經(jīng)驗回歸方程為 ，
預測2025年該品牌新能源汽車的年銷量為34.4萬輛.
例3 ［配例2使用］ [2024·河北滄州模擬] 南澳牡蠣是我國國家地
理標志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美
譽.某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增
量（人）與年收益增量 （萬元）的數(shù)據(jù)如下：
人工投入增量 （人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 （萬元） 13 22 31 42 50 56 58
該基地為了預測人工投入增量為16人時的年收益增量，建立了與
的兩個回歸模型：
模型①：由最小二乘法可求得關于 的經(jīng)驗回歸方程為
；
模型②：由散點圖的樣本點分布，如圖
所示，可以認為樣本點集中在曲線
的附近，令 ，則
，且， ，
，
.
（1）（ⅰ）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關于 的經(jīng)驗回歸方程
（系數(shù)精確到 ）；
附： 經(jīng)驗回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計公式分別
為， .
解：由,,,
，得 ，
且 ，
所以模型②中關于的經(jīng)驗回歸方程為 .
（ⅱ）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù) ，并選擇
擬合效果更好的模型，預測人工投入增量為16人時的年收益增量.
回歸模型 模型① 模型②
經(jīng)驗回歸方程
182.4 79.2
附： 決定系數(shù) .
解：由表格中的數(shù)據(jù)，得，故 ，
設模型①與模型②的決定系數(shù)分別為,，
則 ，說明模型②的擬合效果更好.
當 時，由模型②知年收益增量的預測值為
，
所以預測人工投入增量為16人時的年收益增量為70.8萬元.
（2）根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗，產(chǎn)自該養(yǎng)殖基地的單個
南澳牡蠣的質(zhì)量（單位： ）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布 .
購買10只該基地的南澳牡蠣,會買到質(zhì)量小于 的牡蠣的可能性有多大
附：若隨機變量 ，則 ，
.
解：由題意知，單個南澳牡蠣的質(zhì)量，則, ，
由正態(tài)分布的對稱性可知， .
設購買10只該基地的南澳牡蠣，其中質(zhì)量小于的牡蠣有 只，
故 ，所以 ，所以購買10只該基地的南澳牡蠣，會買到質(zhì)量小于 的牡蠣的可能性約為 .
例4 ［配例3使用］ [2024·山東德州一中三模] 向“新”而行，向“新”
而進，新質(zhì)生產(chǎn)力能夠更好地推動高質(zhì)量發(fā)展.以人工智能的應用為
例，人工智能中的文生視頻模型（以下簡稱 ），能夠根據(jù)
用戶的文本提示創(chuàng)建最長60秒的逼真視頻.為調(diào)查 的應用是否會
對視頻從業(yè)人員產(chǎn)生影響，某學校研究小組隨機抽取了120名視頻從
業(yè)人員進行調(diào)查，結果如表所示.
的應用情況 視頻從業(yè)人員 合計
影響 沒有影響 應用 70 75
沒有應用 15
合計 100 120
單位：人
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)小概率值 的獨立性檢
驗，能否認為 的應用對視頻從業(yè)人員有影響？
附：，其中 .
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
解：依題意， 列聯(lián)表如下：
單位：人
的應用情況 視頻從業(yè)人員 合計
影響 沒有影響 應用 70 5 75
沒有應用 30 15 45
合計 100 20 120
零假設為 的應用對視頻從業(yè)人員沒有影響，
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為 的應用對視頻從業(yè)人員有影響，
此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.
（2）某公司視頻部現(xiàn)有員工100人，公司擬開展 培訓，分三輪
進行，每位員工第一輪至第三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為,, ，
每輪相互獨立，有二輪及以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應用 .
（ⅰ）求一名員工經(jīng)過培訓能應用 的概率.
解：設“員工第輪獲得‘優(yōu)秀’”,則,, 相互獨立.
設“一名員工經(jīng)過培訓能應用 ”,
則
,
故一名員工經(jīng)過培訓能應用的概率是 .
（ⅱ）已知開展 培訓前，員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤6萬
元；開展培訓后，能應用 的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造
利潤10萬元. 培訓平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，
計劃先將視頻部的部分員工隨機調(diào)至其他部門，然后對剩余員工開
展 培訓，現(xiàn)要求培訓后視頻部的年利潤不低于員工調(diào)整前的年
利潤，則視頻部最多可以調(diào)多少人到其他部門？
解：設視頻部調(diào)人至其他部門，,，
為培訓后視頻部能應用 的人數(shù)，
則 ，所以 .
調(diào)整后視頻部的年利潤為
（萬元），
令，解得，
又 ，所以 ，
所以視頻部最多可以調(diào)14人到其他部門.

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