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微專題21 不等式
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點(diǎn)1 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用
例1（1）已知,,，且 ，則( )
A. B.
C. D.
[解析] 當(dāng),時(shí)，, ，故A，D錯(cuò)誤；
當(dāng),時(shí)， ，故B錯(cuò)誤；
由冪函數(shù)的性質(zhì)知C正確.
√
（2）（多選題）[2024·長(zhǎng)沙二模] 設(shè)，，， 為實(shí)數(shù)，且
，則下列不等式正確的有( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 對(duì)于A，由和不等式的性質(zhì)可得 ，故A正確；
對(duì)于B，取，，，，則 ，
，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取 ，，，，則，，
所以 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?，所以
，由不等式的同向皆正可乘性得， ，故
，故D正確.故選 .
自測(cè)題
已知，，，則下列選項(xiàng)中是“ ”的一個(gè)充分不必要條件
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得，因?yàn)椋?的符號(hào)不確定，所以推不出
，故A不滿足題意；
由，可得，反之當(dāng) ，時(shí)推不出，
故“”是“ ”的充分不必要條件，故B滿足題意；
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某湟獥l件，“ ” 是“ ”的充要條件，
所以C，D不滿足題意.
微點(diǎn)2 基本不等式
例2（1）設(shè),，，.若， ，
則 的最大值為( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] ,，，， ，
， ，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 的最大值為1.
故選C.
√
（2）（多選題）[2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷] 若實(shí)數(shù)， 滿足
，則( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由得 ，解得
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由 變形可得，設(shè) ,
，所以 , ，
因此，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選 .
【規(guī)律提煉】
1.運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，注意其是否符合結(jié)構(gòu)特征和使用條件，
有時(shí)候需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化才能使用基本不等式，要樹立整體意識(shí)，
注意“1”的代換.
2.在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若需要用兩次或兩次以上，則要注意
等號(hào)的取得是否矛盾.
3.基本不等式經(jīng)常與其他知識(shí)綜合，如解析幾何、數(shù)列、立體幾何、
函數(shù)、向量等，主要用來(lái)求最值.
自測(cè)題
1.[2024·南通二模]設(shè)，，，則 的最小值為
( )
A. B. C. D.3
√
[解析] 因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)椋?，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
即 時(shí)取等號(hào).故選C.
2.（多選題）[2024·福建泉州模擬] 已知，，且 ，
則( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由題意得，， .
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，取 ，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取 ，，則 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)
等號(hào)成立，故D正確.故選 .
3.[2024·紹興柯橋區(qū)三模] 若,,，且 ，
則 的最小值是___.
4
[解析] 由，得 ，即
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)
成立，故 的最小值為4.
微點(diǎn)3 不等式與其他知識(shí)的綜合
例3 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,, ，且
，則 的最小值為__________.
[解析] 在數(shù)列中，由 ，得
，則，即數(shù)列 是以4為周期的周期數(shù)列，
而,，則 ，因此
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)，所以 的最小值為 .
自測(cè)題
1.若，滿足，則 的最大值為___.
3
[解析] 設(shè) , ， ，因此
，其中 ，
則，所以當(dāng) ,時(shí)，
取得最大值3.
2.[2021·浙江卷]已知 , , 是互不相同的銳角，則在 ,
, 三個(gè)值中，大于 的個(gè)數(shù)的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由題意， ， ， 都是銳角，則其三角函數(shù)值均為正數(shù)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
同理得,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
由得 ，故
, , 三個(gè)值不可能都大于.
當(dāng) ,,時(shí)， ,
，故大于 的個(gè)數(shù)的最大值是2，故選C.
1.[2024·全國(guó)乙卷]下列函數(shù)中最小值為4的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 對(duì)于A， ，所以函數(shù)的最
小值為3，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，因?yàn)?，所以
，當(dāng)且僅當(dāng) ，
即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以等號(hào)取不到，所以
，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為4，故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于D，方法一：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
方法二：當(dāng)時(shí)，,所以
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；
當(dāng) 時(shí)，,所以 .
所以 ,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.
2.[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]已知,是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，
點(diǎn)在上，則 的最大值為( )
A.13 B.12 C.9 D.6
√
[解析] 方法一：根據(jù)橢圓的定義可知， ，所以
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等
號(hào)成立，故 的最大值為9.
方法二：不妨設(shè),分別為橢圓 的左、右焦點(diǎn)，則
,，設(shè)，則
.
因?yàn)?，所?，所以，
又 ，所以 ，則
， ，所以
當(dāng)時(shí)， 取得最大值9.故選C.
3.（多選題）[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷] 已知,，且 ，
則( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ,,且， ，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， ，
，故A選項(xiàng)正確；
,,且 ，， ，
故B選項(xiàng)正確；
等價(jià)于，即，與 矛
盾，故C選項(xiàng)不正確；
將 的不等號(hào)兩邊同時(shí)平方后整理可得，
故D選項(xiàng)正確.故選 .
4.[2021·天津卷] 已知,,則 的最小值為_____.
[解析]
（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）.
［備選理由］例1考查不等式的應(yīng)用問(wèn)題；例2考查基本不等式的運(yùn)
用；例3是不等式在立體幾何中求最值的問(wèn)題，考查不等式與其他知
識(shí)的綜合運(yùn)用.
例1 ［配例1使用］ 若克不飽和糖水中含有 克糖，則糖的質(zhì)量分
數(shù)為，這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克
糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式
，數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水
不等式可得出___（用“ ”或“ ”填空）；并寫出上述
結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式_____________.
[解析] 因?yàn)?，所?，得
，即.
由 ，得，即 .
例2 ［配例2使用］ （多選題）[2024·山西晉中模擬] 在 中，
為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊 上一點(diǎn)，且滿足
， ， 為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 的最小值為1 B. 的最大值為
C.的最大值為12 D. 的最小值為4
√
√
[解析] 因?yàn)椋?，則
，因?yàn)?，B，D三點(diǎn)共線，所以，
又 ， 為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)
，即 ， 時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；
，當(dāng)且僅
當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選 .
例3 ［配例3使用］ [2024·福建泉州模擬] 在圓臺(tái)中，圓 的
半徑是2，母線，圓是的外接圓， ，
，則三棱錐- 體積的最大值為__.
[解析] 設(shè)圓，的半徑分別為， ，則,
由正弦定理得， ，解得.
連接 ,如圖，設(shè)圓臺(tái)的高為 ，
則.
在中，令, ，由余弦定理得，
即 ，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
因?yàn)槿忮F- 的體積 ，
所以三棱錐-的體積的最大值為 .

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