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(共36張PPT)
微專題11 計數原理與排列組合、二
項式定理
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 兩個計數原理
例1（1）[2024· 新課標Ⅱ卷] 在如圖所示的 方格
表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選
中，則共有____種選法，在符合上述要求的選法中，
選中方格中的4個數之和的最大值是_____.
24
112
[解析] 在 方格表中選4個方格，
每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 （種）選法.
選中方格中的4個數的十位數字一定分別是1，2，3，4，
所以只需比較個位數字，故選中方格中的4個數之和的最大值
是 .
（2）[2024·寧波二模] 某快遞公司將一個快件從寄件人甲處攬收開
始直至送達收件人乙，需要經過5個轉運環節，其中第1，2兩個環節
各有,兩種運輸方式，第3，4兩個環節各有, 兩種運輸方式，第5
個環節有, 兩種運輸方式，則快件從甲送到乙恰用到4種運輸方式
的不同送達方式共有____種.
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[解析] 因為快件從甲送到乙恰用到4種運輸方式，
且第5個環節從，兩種運輸方式中選一種，
所以第1，2，3，4個環節必須包含 ,, 三種不同的運輸方式.
若第1，2個環節運輸方式相同，則只能都選，
第3，4個環節一個選，一個選，此時有 （種）方式；
若第1，2個環節運輸方式不相同，則已經包含, 兩種運輸方式，
則第3，4個環節一個選，一個選，或者都選 ，
此時有 （種）方式.
故快件從甲送到乙恰用到4種運輸方式的不同送達方式
共有 （種）.
自測題
1.[2023·全國甲卷]現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的
星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰
有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有( )
A.120種 B.60種 C.30種 D.20種
[解析] 由題可知，參加公益活動的志愿者需要3人，先從5人中選出
3人有種選法，再從3人中選出1人參加兩天公益活動，有 種選法，
另外2人分別安排在星期六、星期日，有 種方法，
則共有 （種）安排方式.故選B.
√
2.[2024·湖南師大附中二模] 初等數論中的四平方和定理最早由歐拉
提出，后被拉格朗日等數學家證明.四平方和定理的內容是：任意正
整數都可以表示為四個自然數的平方和，例如正整數
.設，其中,,, 均為
自然數，則滿足條件的有序數組 的個數是____.（用數字作
答）
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[解析] 顯然,,, 均為不超過5的自然數，當最大數為5時，
，此時共有 （種）情況.
當最大數為4時，
，此時共有 （種）情況；
，此時共有 （種）情況.
當最大數為3時，
，沒有滿足題意的情況.
由分類加法計數原理知，
滿足條件的有序數組 的個數是 .
微點2 排列組合基本問題
例2（1）甲、乙、丙、丁4人參加活動，4人坐在一排有12個空位的
座位上，根據要求，任意兩人之間需間隔至少兩個空位，則不同的
就座方法共有( )
A.120種 B.240種 C.360種 D.480種
√
[解析] 先假設每個人坐一個位置相當于去掉4個位置，
再將4個人中任意2個人之間放入2個空位，此時空位一共還剩2個.
若將這2個空位連在一起插入4個人之間和兩側空位，有5種放法；
若將這2個空位分開插入4個人之間和兩側空位，有 （種）放法.
故不同的就座方法共有 （種）.故選C.
（2）[2023· 新課標Ⅰ卷] 某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術
類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至
少選修1門，則不同的選課方案共有____種（用數字作答）.
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[解析] 若選修2門課，則需要從體育類和藝術類選修課中各選1門，
有 （種）方案；
若選擇3門課，則包含兩種情況：選2門體育類，1門藝術類或2門
藝術類，1門體育類，有 （種）方案.
故不同的選課方案共有 （種）.
【規律提煉】
對于排列組合的問題,要熟練掌握基本原則和基本方法,例如有限制條
件的排列問題服從特殊元素或特殊位置優先原則,相鄰問題用捆綁法、
不相鄰問題用插空法、定序問題用倍縮法等,分類過多的問題考慮間
接法,特別注意分類要謹防重復與漏解.
自測題
1.[2024·撫順六校聯考]將8個數學競賽名額全部分給4個不同的班，
每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為( )
A.15 B.35 C.56 D.70
[解析] 將8個數學競賽名額全部分給4個不同的班，
每個班至少有1個名額，等價于用3個隔板插入8個小球中間的空隙中，
將球分成4堆，因為8個小球中間共有7個空隙，
所以共有 （種）不同的分配方案.故選B.
√
2.[2024·江西八校聯考]已知四棱錐 ，現有五種顏色可供選
擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色，且同一條棱上
的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有( )
A.240種 B.420種 C.336種 D.120種
√
[解析] 四棱錐 如圖所示.
當只用三種顏色時,A,C同色且B,D同色,
從5種顏色中選擇3種,此時有 (種)涂色方法；
當只用四種顏色時,A,C同色或B,D同色,從5種顏色中選擇4種,
再從A,C和B,D中選一組涂相同的顏色,此時有 (種)涂色方法；
當用五種顏色時,每個頂點用1種顏色,此時有 (種)涂色方法.
綜上,不同的涂色方法共有 (種). 故選B.
3.[2024·濟寧二模] 兩位老師和四位同學站成一排，如果兩位老師不
相鄰且不站兩端，那么共有 _____種不同的站法.（用數字作答）
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[解析] 先將四位同學全排列，有 種排法，再將兩位老師插入四位
同學之間，有種排法，故共有 （種）不同的站法.
微點3 二項式定理及其應用
例3（1）的展開式中 的系數為( )
A.5 B.10 C.15 D.20
[解析] 由題知展開式中含的項為 ，
所以 的系數為15，故選C.
√
（2）已知 ，則
____.
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[解析] 對 兩邊求導可得
，
令 ，可得 ，
即 .
在中，令 ，
可得，所以 .
【規律提煉】
對于求解二項展開式中特定項的系數問題,可用待定系數法利用二項
展開式的通項來解決;求展開式中若干項系數的和、差等,一般用賦值
法達到解決問題的目的.
自測題
1.若的展開式的二項式系數之和為128，則展開式中 的系
數為_____.
280
[解析] 由的展開式的二項式系數之和為 ,解得.
的展開式的通項為
，令 ,解得,
所以展開式中 的系數為 .
2.[2024·湖南雅禮中學一模] 的展開式中 的系數
為_____.（用數字作答）
[解析] 的展開式的通項為
，令 ，得，
此時.
令 ，得，
此時 .
故的展開式中的系數為 .
3.已知 .
若，則 ____.
38
[解析] 令，則 ，
故，即，
則 .
1.[2023· 新課標Ⅱ卷]某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比
例分配的分層隨機抽樣方法做抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層
共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學
生，則不同的抽樣結果共有( )
A.種 B.種 C.種 D. 種
[解析] 依據比例分配的分層隨機抽樣可知，從該校初中部和高中部
抽取的學生人數的比為 ，故應從初中部抽取40人，從高中部
抽取20人，所以不同的抽樣結果共有 種.故選D.
√
2.[2022·新高考全國Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加
文藝匯演，則甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有( )
A.12種 B.24種 C.36種 D.48種
[解析] 方法一：先利用捆綁法將丙和丁看作一個整體，排乙、丙、
丁、戊四人，有種情況，再利用插空法選甲的位置有 種情況，
故共有 （種）滿足題意的不同排列方式，故選B.
方法二:若甲沒有限制條件，則利用捆綁法將丙和丁看作一個整體，
排五人有種情況，其中甲站在兩端的情況有 種,所以共有
（種）滿足題意的不同排列方式，故選B.
√
3.[2023·全國乙卷]甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，
則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有( )
A.30種 B.60種 C.120種 D.240種
[解析] 方法一：先從6種課外讀物中選出1種，
這種課外讀物是甲、乙同時選讀的，有 種情況，
然后甲從剩余5種課外讀物中選讀1種，有種選法，
乙再從剩余的4種課外讀物中選讀1種，有 種選法，
根據分步乘法計數原理可知，
符合題意的選法共有 （種），故選C.
√
方法二：首先確定甲、乙同時選讀的課外讀物，有 種情況，
然后兩人各自選讀另外1種課外讀物相當于從剩余的5種課外讀物里，
選出2種進行排列，有 種情況，
根據分步乘法計數原理可知，
符合題意的選法共有 （種），故選C.
4.[2024·全國甲卷] 的展開式中，各項系數中的最大值為___．
5
[解析] 展開式的通項為，，
且 ，設展開式中系數最大的項為第 項，
則需要滿足解得,
又,所以 ,即展開式中，各項系數中的最大值為 .
5.[2022·新高考全國Ⅰ卷] 的展開式中 的系數為
_____（用數字作答）.
[解析] 的展開式的通項為.
令 ,得；令,得 .
所以的展開式中的系數為 .
［備選理由］例1考查分類加法計數原理的應用；例2考查分配問題，
考查排列組合知識的應用；例3考查二項式定理.
例1 ［配例1使用］ [2024·山東聊城三模] 將兩本相同的圖畫書和
兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖
畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有____種.
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[解析] 不妨記兩本相同的圖畫書為元素1,1，
兩本不同的音樂書為元素3,4，根據題意，分類討論：
若分組情況為13,1,4，則分配給三個小朋友的分法有 （種）；
若分組情況為14,1,3，分配給三個小朋友的分法有 （種）；
若分組情況為34,1,1，則分配給三個小朋友的分法有（種）.
綜上，不同的分法共有 （種）.
例2 ［配例2使用］ 皖南八校4月三聯］ 2024年3月22日，
國家文物局在北京公布2023年度全國十大考古新發現，安徽省皖南
地區郎溪縣磨盤山遺址成功入選，經初步確認，該遺址現存馬家浜
文化區、崧澤文化區、良渚文化區、錢山漾文化區等，總面積約6萬
平方米.該遺址延續時間長、譜系完整，是長江下游地區少有的連續
時間近4000年的中心性聚落，對認識多元化一體中華文明在皖南地
區的演進方式具有重要的價值.某教授團隊現在對該遺址進行考古發
掘，現安排包含甲、乙在內的6名研究生同學到4個區域做考古志愿
者，每人去1個區域，每個區域至少安排1個人，則甲、乙兩人安排
在相同區域的方法種數為( )
A.96 B.144 C.240 D.360
√
[解析] 先將6名同學分成4組，則4個組的人數為1,1,2,2或1,1,1,3.
當甲、乙在2人組時，從另外4人中任選2人組成一組，
其余的2人一人一組，有 種分組方法；
當甲、乙在3人組時，甲、乙與另外4人中的1人組成一組，
其余的3人一人一組，有 種分組方法.
再把4組人分到4個區域，所以甲、乙安排在相同區域的方法種數
為 .故選C.
例3 ［配例3使用］（1）[2024·廣東江門一模]已知
，則 的值是( )
A.680 B. C.1360 D.
√
[解析] 令，則 ，
即.
令 ，則
，
即 .
兩式相加可得 ，故選B.
（2）[2024·天津南開區質檢] 若的展開式中 的系數為160，
則實數 的值為___.
2
[解析] 方法一： 的展開式的通項為
，
令 ，解得，則，
，解得 .
方法二：即6個相乘，展開式中，要想得到 ，
必須3個中取，3個中取 ，
所以，解得 .

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