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微專題9 空間角與空間距離問題
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點(diǎn)1 空間角的計(jì)算問題
例1 [2024·全國甲卷] 如圖，在以，，，， ，
為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形
均為等腰梯形，，， ，
，，， 為
的中點(diǎn).
（1）證明：平面 ；
證明：由題意得， ，
所以四邊形為平行四邊形，所以 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求二面角 的正弦值.
解：取的中點(diǎn)，連接，，
則易知， ，， ，
而，所以，
故 ，故，，兩兩垂直.
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則, , ,,
可得 , , .
設(shè)平面的法向量為 ,
由可得
令 ，則.
同理，可得平面 的一個(gè)法向量為.
因?yàn)? ,所以,,
故二面角 的正弦值為 .
例2 在中，,，，分別為, 的中
點(diǎn)，現(xiàn)將以為折痕折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn) 的位置，如圖.
（1）連接，證明： ;
證明：方法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接 .
因?yàn)椋謩e為, 的中點(diǎn)，所以,
因?yàn)椋?.
在立體圖形中，，,,, 平面
，所以 平面，所以 平面 .
因?yàn)?平面，所以平面 平面，
平面 平面 .
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且 ，所以，
因?yàn)?平面，所以 平面 .
又因?yàn)椋?平面 ，
因?yàn)?平面，所以 .
方法二：因?yàn)椋?br/>所以 且 ，
故 ，
所以，即 .
（2）若 ，平面與平面
的夾角的大小為，求直線與平面 所成
角的正弦值.
解：方法一：因?yàn)椋?平面 ,
平面，所以平面.
因?yàn)? 平面 ，
若平面 平面，則 ，
又，所以 .
由（1）可知，, ，
所以,，
所以平面與平面 的夾角為 .
因?yàn)椋?，所以 為正三角形.
過點(diǎn)作 平面，垂足為，連接 ，
則為直線與平面 所成的角.
過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得 ，
得 平面，
因?yàn)槠矫?，所以 ，
又因?yàn)?，所以 .
方法二：由（1）得 平面，
又 平面 ，所以平面 平面 .
以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè) ，則， ,, ,
.
則,， ,
.
設(shè)平面的法向量為 ，
則
令 ，則 .
設(shè)平面的法向量為 ，
則
令 ，則 .
由題得, ，可得 ，
所以,
則 ，所以.
設(shè)直線與平面 所成的角為 ，
則, ，
故直線與平面所成角的正弦值為 .
自測(cè)題
已知四棱錐的底面 是邊長為4的菱
形， ，，，
是棱上的點(diǎn)，且 .
（1）證明： 平面 ；
證明：連接交于點(diǎn)，連接 ，
由， ，知, ，
又,, 平面，
所以 平面，
又底面為菱形，所以.
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，， 軸建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋? ，所以， ，
在直角三角形中，，所以 ，
所以, ,,, ，
由，得 ，
所以, , ，
所以 ，
，
所以,，所以, ，
又，, 平面，所以 平面 .
解：設(shè) ，則，
故 ，所以，
易知平面 的一個(gè)法向量是，
設(shè)與平面所成的角為 ，
則 , .
（2）若點(diǎn)在直線上，求與平面 所成角的最大值.
當(dāng)時(shí)， 平面， ；
當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
又，所以，
故與平面 所成角的最大值為 .
微點(diǎn)2 距離與體積問題
例3 [2024·武漢模擬] 如圖，三棱柱中， 是邊長
為2的等邊三角形， .
（1）證明： ；
證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接， ，
因?yàn)?是等邊三角形，所以 ，
又，所以 ，
又， 平面,
平面，所以 平面 .
因?yàn)?平面，所以 ，
又，所以 .
（2）若三棱柱 的體積為3，且直線
與平面所成的角為 ，求點(diǎn) 到平面
的距離.
解：在平面中，作，垂足為 ，
由（1）知 平面，
又 平面 ，所以 ，
又， 平面，
平面，所以 平面，
又為的中點(diǎn)，所以 ，
以為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在直線分別為軸、 軸，過點(diǎn)作的平
行線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槿庵?的體積為3，
所以，故 ，
則，，，
設(shè)， ，則，
易知平面的一個(gè)法向量為 ，
所以,，解得 ，則與 重合，
所以， ,
所以， .
設(shè)平面的法向量為 ，
則即
令，得 ，
又 ，
所以點(diǎn)到平面 的距離 .
自測(cè)題
[2024·永州二模] 如圖所示，在四棱錐中， ,
,，平面 平面，點(diǎn)為 的中點(diǎn).
（1）證明： ；
證明：因?yàn)椋?，所以 ，
因?yàn)槠矫?平面，平面 平面
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面，所以 .
（2）若,與平面 所成角的正弦值
為，求四棱錐 的體積.
解：取,的中點(diǎn)分別為，，連接, ，則
，
因?yàn)?，所以 ，
又 平面，所以 平面 .
因?yàn)?所以 ，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以,,所在直線分別為
軸、軸、 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則, ,
, ，
故，
易知平面 的一個(gè)法向量為 ，
由與平面所成角的正弦值為 ，
可得, ，可得 .
設(shè)平面的法向量為 ，
因?yàn)? ，
所以即
令 ，則 ，又，
所以點(diǎn)到平面 的距離 ，
所以四棱錐 的體積 .
微點(diǎn)3 探索性問題
例4 如圖①，在平面四邊形中，， ，垂足為
，，將沿翻折到 的位置，使
得平面 平面，得到四棱錐 ，如圖②所示.
①
②
（1）設(shè)平面與平面的交線為，證明： .
①
②
證明：由題意可知 .
因?yàn)槠矫?平面，平面 平面，
平面，所以 平面 .
因?yàn)槠矫?平面，所以 平面，則 .
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)（點(diǎn) 不與端點(diǎn)重合），使得二面角
的余弦值為？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說
明理由.
①
②
解：假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn).
由題可知 .
因?yàn)椋矫?平面，
平面 平面， 平面，
所以 平面，
又 平面，所以 .
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，， 所在直線分別為，， 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，， ， ，
所以， .
設(shè)，則 ，
從而 ，故 .
設(shè)平面的法向量為 ，
則
令 ，得 .
易知平面的一個(gè)法向量為 ，
則,
，
即，
整理得 ，解得或（舍去）.
故在棱上存在一點(diǎn) 滿足題意，此時(shí) .
自測(cè)題
如圖，正四棱臺(tái)中，, 分
別為,的中點(diǎn)， ，側(cè)面
與底面所成的角為 .
（1）求證：平面 .
證明：連接，，由, 分別為, 的
中點(diǎn)，得，
又 平面， 平面，所以平面 .
在正四棱臺(tái)中，且 ，
則四邊形為平行四邊形，故，
又 平面， 平面，所以平面 ，
又，且 平面， 平面 ，
所以平面平面，
又 平面，所以 平面 .
（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面 所成角的正
弦值為？若存在，求出 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：取正方形的中心 ，正方形
的中心，連接，則 平面，
連接，因?yàn)槠矫?為正方形，
所以，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為,, 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由，側(cè)面與底面所成的角為 ，
得，
則， , .
假設(shè)在棱上存在點(diǎn) 滿足題意，
則 ， ，
設(shè) ，
則 ， ，
易知平面 的一個(gè)法向量為，
由（1）知平面 平面，
所以平面 的一個(gè)法向量為 .
因?yàn)橹本€與平面 所成角的正弦值為，
所以 , ，
整理得，
解得 或（舍），故 ，
故棱上存在點(diǎn)，使得直線 與平面所成角的正弦值為 ，
此時(shí) 的長為1.
1.[2023·全國甲卷] 如圖，在三棱柱中， 平面
， ，，到平面 的距離為1.
（1）證明： ；
證明： 平面， 平面
，，
又，, 平面，
, 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
如圖，過作，交于 ，
又平面 平面， 平面，
平面 .
.
在中，, .
設(shè)，則，
, , 均為直角三角形，
，， ，
，解得 ，
，
又， .
（2）已知與的距離為2，求 與平面
所成角的正弦值.
解：方法一：連接， ，
，， ，
.
取的中點(diǎn),連接，則 .
直線與的距離為2， ，
又且， ，
，.
以 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，， ，
，，， ，
，， .
設(shè)平面的法向量為 ，
則即
令 ，則，，
故平面 的一個(gè)法向量為 .
設(shè)與平面所成的角為 ，
則, .
方法二：連接，如圖.
, ,，
， .
過作，交于，
則為 的中點(diǎn).
直線與的距離為2， .
，， .
在中， .
延長至，使，連接 ，
由,知四邊形 為
平行四邊形，
， 平面，
又 平面，,
連接，在 中，, ，
.
在中， ，
，
.
又易知到平面 的距離為1，
與平面 所成角的正弦值為 .
2.[2024·新課標(biāo)Ⅱ卷] 如圖，平面四邊形
中，,,, ,
,點(diǎn)，滿足 ,
，將沿對(duì)折至 ，使得
.
（1）證明： ;
證明：在中， ，
， ，
， .
，，得， ，
又,, 平面， 平面 ，
又 平面， .
（2）求平面與平面 所成的二面角的正弦值.
解：連接， ，
， ,,得 .
又, ，
, .
又，,, 平面，
平面 ，，
即，， 兩兩垂直.
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為 ,
, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,, ,
，,
由為 的中點(diǎn), 得，
得, ,
, .
設(shè)平面的法向量為 ,
則
令,則 .
設(shè)平面的法向量為 ，
則
令,則 .
設(shè)平面與平面所成的二面角為 ，
, ，
.
［備選理由］ 例1考查線線垂直的證明和平面與平面夾角的余弦值
的計(jì)算；例2考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離；例3考查
線面垂直的證明，考查探索性問題.
（1）求證： ；
例1 ［配例1使用］ [2024·安徽A10聯(lián)盟4月聯(lián)考]
如圖，在三棱柱 中，
， ，
，，為棱的中點(diǎn)，
為棱上靠近 的三等分點(diǎn).
證明：因?yàn)? ，所以
，
又，所以 ，
故側(cè)面為矩形，故 ，
又，，, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
連接，因?yàn)椋?，
所以 為等邊三角形，所以 .
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以 .
因?yàn)椋? 平面 ，所以
平面 ，
因?yàn)?平面，所以 .
（2）求平面與平面 夾角的余弦值.
解：由（1）知， 平面，
又 平面 ，所以平面 平面 .
以為原點(diǎn)，，所在直線分別為， 軸，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線，
以該直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)，則，，，
， ，
設(shè)，由 ，
得，
解得,, ，故 ,
所以， .
由（1）知 平面，
所以平面 的一個(gè)法向量為 .
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得 .
記平面與平面的夾角為 ，
則, ，
所以平面與平面夾角的余弦值為 .
例2 ［配例2使用］ [2024·上海崇明區(qū)二模] 如圖，在三棱錐
中，，，為 的
中點(diǎn).
（1）證明： 平面 ；
證明：因?yàn)椋瑸?的中點(diǎn)，
所以，且 .
連接 ，因?yàn)椋?br/>所以 為等腰直角三角形，
所以，.
由，知 .
因?yàn)椋? 平面，所以 平面 .
（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面 的距離.
解：方法一：如圖，作，垂足為 .
由（1）知 平面，
因?yàn)?平面 ，所以 ，
因?yàn)椋?平面 ，
所以 平面，故的長即為點(diǎn)到平面 的距離.
由題可知， ， ，
所以，，
所以點(diǎn) 到平面的距離為 .
方法二：設(shè)到平面的距離為.
由（1）知為 到平面的距離，且， ，
在中，,, ，
所以由余弦定理得.
由 ，即 ，
則 ，
即點(diǎn)到平面的距離為 .
方法三：如圖，以 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，， ，
所以，， .
設(shè)平面的法向量為，
則 即
令，則，
所以點(diǎn)到平面 的距離為 .
例3 ［配例3使用］ [2024·湖南雅禮中學(xué)模擬] 如圖，在三棱錐
中，平面 平面，為等邊三角形，， 分
別為，的中點(diǎn)，，， .
（1）求證： 平面 .
證明：為等邊三角形，為 的中點(diǎn)， ，
又，，， 平面 ， 平面，
又 平面， .
取的中點(diǎn)，連接 ，為等邊三角形， .
平面 平面，平面
平面， 平面， 平面 ，
平面， ，
又與相交，， 平面， 平面 .
（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為 ？
若存在，求出 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：由（1）知，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，
所在直線分別為軸、軸，以過且與 平行的直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則， .
設(shè)，則 ， ，
設(shè)平面的法向量為 ，
則
取 ，得， ， .
易知平面的一個(gè)法向量為，
令 , ，解得，此時(shí) ，
在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面 的夾角為，且 .

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