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微專題10 立體幾何中的截面與動態
問題
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 多面體截面
例1 （多選題）正方體的棱長為6，， 分別是
棱，的中點，過，， 作正方體的截面，則( )
A.該截面是五邊形
B.三棱錐 外接球的球心在該截面上
C.該截面與底面夾角的正切值為
D.該截面將正方體分成兩部分，較小部分的體積為75
√
√
√
[解析] 對于A，如圖①所示，延長交的延長線于，
延長 交的延長線于，
連接交于，連接交于 ，連接，，
則五邊形為平面 截正方體所得的截面，故A正確.
對于B，如圖②所示，設的外心為，三棱錐
的外接球的球心為，連接，， ，
由題知,,,
在 中，,
所以，所以 外接圓的半徑為,
所以在 中，三棱錐 外接球的半徑
,
三棱錐 外接球的球心到,,C三點的距離都為.
在 中，,
所以，
所以 外接圓的半徑,
所以四面體 外接球的球心不在該截面上，故B錯誤.
對于C，以A為坐標原點，,, 所在直線分
別為,,軸建立如圖③所示的空間直角坐標系，
則 , ,，
所以, ，
設為平面的法向量，
則
取,得,，所以.
因為 平面 ，
所以為平面的一個法向量，
又 ,，
所以,,則 ,，
所以該截面與底面夾角的正切值為 ，故C正確.
對于D，如圖④所示，取的中點，連接,
因為 ，所以，
所以，
又 ，所以，所以，
同理，由 得，
由得 ，
所以 ，
，
，
，
,
所以該截面將正方體分成兩部分，
較小部分的體積為 ，故D正確.故選 .
【規律提煉】
多面體的截面方式共有三種，分別為橫截、豎截和斜截，解決多面
體截面問題的關鍵是通過截面方式得到正確的截面圖形.
自測題
在底面為等腰直角三角形的直三棱柱中， 為底面三
角形斜邊上一點，且，，為線段
上一動點，則平面 截三棱柱所得截面面積的最大值為_ ___.
[解析] 分如下三種情況：
如圖①，延長交于點，過點 作的垂線交于點，
連接，則四邊形 為所求截面；
如圖②，延長交于點，過點作的垂線交于點 ，
連接，則四邊形為所求截面；
如圖③，延長交 于點，連接，則三角形 為
所求截面.
顯然圖①②中的截面面積均大于或等于圖③中的截面面積，
故只需考慮圖①②中的情況，
易知圖①②中的情況相同，故只需考慮圖①.
在圖①中，易知，，
設，則 ， ，
所以所求截面面積
，
因為,均在 上單調遞增，
所以函數在 上單調遞增，
故，故截面面積的最大值為 .
微點2 動點、動線、動面
例2 （多選題）[2024·江西鷹潭一模] 如圖，直四棱柱
的所有棱長都為4，，點 在四邊形
及其內部運動，且滿足 ，則下列說法正確的是
( )
A.點的軌跡長度為
B.直線與平面 所成的角的大小為定值
C.點到平面的距離的最小值為
D.的最小值為
√
√
[解析] 直四棱柱 的所有棱長都
為4，則底面為菱形，
又 ，所以和都是等邊三角
形，連接 ，設與相交于點，則.
以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
過且垂直于底面的直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則, ,, ,,
，
因為點 在四邊形及其內部運動，
所以設，, ，
由 ，得
，
整理得 ，
所以點的軌跡為以 為圓心，2為半徑的半圓弧，
所以點的軌跡長度為 ，A選項錯誤.
易知平面的一個法向量為 ，
，
設直線與平面 所成的角為 ，
則 ，
又，所以，
所以直線 與平面所成的角的大小為定值， 選項正確.
, ，
設平面的法向量為 ，
則
令 ，得,，則，
所以點 到平面 的距離 ，
又，所以當 時，，
所以點到平面 的距離的最小值為 ，C選項正確.
, ，
所以 ，
其幾何意義為點到點 的距離的平方減12，
由，知點到點 的距離的最小值為，
所以 的最小值為，D選項錯誤.故選 .
【規律提煉】
1.在立體幾何中，某些點、線、面按照一定的規則運動，構成各式各
樣的軌跡.
2.探求空間軌跡與探求平面軌跡類似，應注意幾何條件，善于基本軌
跡轉化．對于較為復雜的軌跡，常常要分段考慮，注意特定情況下的
動點的位置，然后對任意情形加以分析判定，也可轉化為平面問題．
自測題
在正三棱柱中，，，為棱 的中
點，為棱上的動點，為線段上的動點，且 ，則
線段 長度的取值范圍為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如圖，連接，因為正三棱柱
中，為棱的中點，所以.
取 的中點，連接，則 平面.
以為原點， ，，所在直線分別為,, 軸
建立空間直角坐標系，
則，， ，，
因為是棱上的動點，所以設， 其中.
因為 ，所以 ，
令 ， ，
則， .
因為函數在上單調遞增，
所以當 時，，
即線段 長度的最小值為，
當時， ，
即線段長度的最大值為，
所以線段 長度的取值范圍為 .故選B.
微點3 折疊與展開之夾角、距離問題
例3 （多選題）如圖，在矩形中，,，， 分別
為，的中點，將沿直線翻折成,與， 不
重合，連接,，為的中點，連接， ，則在翻折過
程中，下列說法正確的是( )
A. 的長是定值
B.三棱錐外接球的表面積為
C.當 時，三棱錐的體積為
D.點到平面的最大距離為
√
√
√
[解析] 對于A,如圖，取的中點 ，連接
，，則，且 ，
又，且， ，且，
四邊形是平行四邊形， ，
而，故A正確.
對于B，如圖，取的中點 ，連接, ，
則，即點為三棱錐 的外接球的球心，
三棱錐 的外接球的表面積為 ，故B錯誤.
對于C，如圖，連接, ,設，連接 ，
在中，由正弦定理得 ，
即， ，即,
,分別為,的中點，
,，，
又為的中點， , ，
,
,，
又,， 平面，
平面, ，
又,，
又, 平面，
，故C正確.
對于D，設點D到平面 的距離為，
為的中點， 點到平面 的距離為
，是定值，
當平面 平面時，三棱錐 的體積最大，
由 ，
即，解得，
點 到平面的最大距離為，故D正確.故選 .
【規律提煉】
在動態變化過程中產生的體積最大、距離最大（小）、角的范圍等
問題，常用的解題思路是：
（1）直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的
量有相應最大、最小值.
（2）函數思想：通過建系或引入變量，把這類動態問題轉化為目標
函數，從而利用代數方法求目標函數的最值.
自測題
如圖，在中，,, ，過
的中點的動直線與線段交于點
（與不重合），將沿直線 向上翻折至
的位置，使得點在平面內的射影落在線段 上
（不在平面內），則直線與平面 所成角的正弦值
的最大值為______.
[解析] 在中，根據余弦定理得
，
根據正弦定理得 ，所以，
由知 ，則.
如圖，以點 為原點建立空間直角坐標系，則, ，
所以，設點，
因為點在平面內的射影 在軸上，所以,
由 ，可得
，
整理得 .
在翻折過程中有，過作于點 ，
連接,，則 ，
又,, 平面 ，所以 平面,
又 平面 ，所以，即 ，其中
.
因為動點在線段 上， 所以設 ，
則，且 .
由 ，得 ,
可得 ，
又因為，所以的取值范圍為 ，即 .
連接，則直線 與平面所成的角是 ，
又，
所以直線 與平面所成角的正弦值的最大值為 .
1.（多選題）[2021·新高考全國Ⅰ卷] 在正三棱柱 中，
，點滿足，其中 ，
，則( )
A.當時， 的周長為定值
B.當時，三棱錐 的體積為定值
C.當時，有且僅有一個點，使得
D.當時，有且僅有一個點，使得 平面
√
√
[解析] 當時，，
如圖①，點在棱 上，且 ，
的周長為 ，
該式含有變量 ，不是定值，選項A不正確.
當時， ，
如圖②，點在棱上，
因為， 平面 ，
平面，所以平面，
故點到平面 的距離為定值，
所以三棱錐的高為定值，
又 的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，
選項B正確.
當 時，，
如圖③，設，的中點分別為D， ，連
接，，，則點在線段 上.
當點與點D重合時， 平面，
此時；
當點 與點重合時， 平面，此時.
故滿足 的點不唯一，選項C不正確.
當時， ，
如圖④，設,的中點分別為,，連接，
則點在線段 上.
因為，，
所以只要 ，就有 平面，
反之，若 平面 ，則一定有，
因此只需找出滿足 的點
，
，
，
其中 ，
，，所以 ，
令，得，此時，即，
此時點 與點重合，
故有且只有一個點，使得 平面 ，選項D正確.故選 .
2.[2020·全國新高考Ⅰ卷] 已知直四棱柱 的棱長均為
2, .以為球心，為半徑的球面與側面 的交線
長為_ ____.
[解析] 如圖，取的中點，連接
四棱柱 是各棱長均為2的直四棱
柱，且 ， 平面 ，且
.
由球的截面圓的性質可得截面圓的半徑為.
在平面上作以為圓心， 為半徑的圓弧，與棱，的
交點分別為，，易得， 均為所在棱的中點.
連接,, ,, ，
球面與側面的交線長為 .
［備選理由］例1利用平面的性質考查球與柱體的交線，來確定截面
的位置與形狀；例2利用空間向量坐標來探究動點的軌跡問題；例3
以二面角為變量考查折疊過程中的位置關系、距離、空間角等.
例1 ［配例1使用］ [2024·江西宜春二模] 在正六棱柱
中，，為棱 的中點，
則以 為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因為球的半徑為2，所以球 不與側面
及側面相交，連接,, , ，如圖.
由題得， ，
所以，所以球與側面 交
于點，C，與側面交于點， .
在正六邊形中，易得 ，
因為 平面， 平面 ，所以，
又, 平面， 平面，
所以 平面，
取的中點，的中點 ，連接,，
則 平面 ，且，.
所以球與側面 的交線為以為直徑的半圓，
同理可得球 與側面的交線為以 為直徑的半圓.
由題易得，則球與上底面 及
下底面的交線均為個半徑為 的圓.
所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為
.故選D.
例2 ［配例2使用］ （多選題）[2024·江蘇蘇州八校三模] 如圖，在
空間直角坐標系中，正方體的棱長為2， 為
的中點，若正方體內的動點 滿足
則( )
A.點的軌跡長為
B.的最小值為
C.
D.三棱錐體積的最小值為
√
√
[解析] 對于A，連接， ，如圖①，
由可知，
點在以 為球心，1為半徑的球上，
又由可知，點在平面上，
所以點 的軌跡為球面與平面的交線，
即為以 為圓心，1為半徑的半圓，
如圖②，所以點的軌跡長為 ，故A錯誤.
對于B，當在 上的投影向量的模最小時，
的值最小，
由圖②知當點為弧 的中點時，
的值最小，為 ，
故B正確.
對于C，因為，，
,所以 平面，
又 平面，所以 ，故C正確.
對于D，因為 平面，所以點到平
面 的距離為，
則，
由圖②可知當點為弧 的中點時，
的面積最小，為 ，
所以，故D錯誤.
故選 .
例3 ［配例3使用］ （多選題）如圖，在矩形中， ，
，是的中點，將沿著直線翻折得到 .
記二面角的平面角為 ，當 的值在區間 范圍內
變化時，下列說法正確的有( )
A.存在 ，使得
B.存在 ，使得
C.當四棱錐的體積最大時，點到平面的距離為
D.若直線與所成的角為 ，則
√
√
√
[解析] 對于A，在矩形中， ，，
是的中點，所以, ，
故, 為等腰直角三角形，
故 ，所以 .
如圖，取的中點，的中點，連接,,，
則 ,，
故即為二面角 的平面角，即 ，
當時， 平面，
因為 平面 ，所以，
因為， 平面, 平
面，所以 平面，
因為 平面 ，所以，
故存在 ，使得 ，故A正確.
對于B，以為坐標原點，,所在直線分別為, 軸，建立如圖
所示的空間直角坐標系，則,, ，
當時， ，
此時 ，
，
故
，故不存在 ，使得
，故B錯誤.
對于C，當時， 平面 ，此時四棱錐的體積最大，此時，
設平面 的法向量為，
則
令 ，則，，故，
故點B到平面 的距離
，故C正確.
對于D，， ，
故, ，故D正確.故選 .

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