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微專題26 切線放縮與構造
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 指數、對數切線不等式的直接應用
例1 若,, ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 由得 ，所以
，所以，
由 得，所以.
綜上， .
√
【規律提煉】
切線放縮證明不等式的原理：或.
回歸本源，還是得從指數函數和對數函數互為反函數入手，借助公
切線進行輔助，數形結合建立函數更直觀.
自測題
已知，， ，則( )
A. B. C. D.
[解析] 因為 ,
，
所以,
又，所以 .
√
微點2 指數切線不等式同構變形的應用
例2 已知函數，若 恒成立，則實
數 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 等價于，
令 ，則，所以 是增函數，
所以等價于 ，所以
，所以，所以實數的取值范圍為 .
√
【規律提煉】
對于指、對、冪函數同時出現的復雜不等式問題，一般借助指數恒
等式或對數恒等式進行指對互化，然后再考慮用同構思想方法將不
等式兩邊轉化成形式一樣的式子，再構造函數利用函數單調性來研究.
說明：過原點與函數的圖象相切的直線的斜率為.
自測題
1.已知函數，當時，，則實數
的取值范圍為________.
[解析] 由可得，兩邊同時取以 為底的對數
可得，即在 上恒成立，
令，則只需 即可.
又 ，
因為，當且僅當 時等號成立，所以
，當且僅當 時等號成立，所以
，當 有解時等號成立，
令，則 ，即在上
單調遞增，由, ，可得存在，
使得，所以，即 ，所以實數的取值范圍
為 .
2.[2024·煙臺二模] 已知函數, .
（1）討論 的單調性；
解：由題可知，，且在 上單調
遞增.
當時，恒成立，此時在 上單調
遞減；
當時，令，得 ，
所以當時，，此時 單調遞減 ，
當時，，此時 單調遞增；
當時，在上恒成立，此時 單調遞增.
綜上，當時，在 上單調遞減；
當時，在上單調遞減，在 上單調遞增；
當時，在 上單調遞增.
（2）若恒成立，求實數 的取值范圍.
解：因為，所以 ，
又，所以，即 ，
故當時， 恒成立.
令， ，則 ，
當時，， 單調遞增，
當時，， 單調遞減，
所以，從而 .
將兩邊同時取以 為底的對數可得
，
整理可得 .
令，則，且在 上
單調遞增，
因為且 ，
所以在 上恒成立，
所以 恒成立，
令， ，則 ，
當時，, 單調遞增，
當時，， 單調遞減，
所以 ，所以 ，
又因為，所以 .
微點3 指數、對數切線不等式變式的應用
例3 已知函數，若不等式 在
上恒成立，則實數 的取值范圍是________.
[解析] 即 ，即
，設 ，則
，故函數 在定義域上單調遞增，
又，故當時，， ，
即，
而， ，即 .
【規律提煉】
常見的不等式放縮有，，，
等，在求參數取值范圍或證明不等式時，常常使用以上
不等式進行適當變形進行求解.
自測題
1.關于的不等式在 上有解，則實
數 的取值范圍是________.
[解析] 由題設知.又由題設可得在 上
有解，故在上有解,
又 ，，當且僅當 時等號成立，所以
，當且僅當 時等號成立，
所以函數的最小值為0，故，解得 .
綜上可知,實數的取值范圍是 .
2.設函數 .
（1）若是的極值點，求的值，并討論 的單調性；
解：由題意得，由是 的極值點，得
，所以，于是 ，定義域為
, .
易知函數在 上單調遞增，
又，因此當時，，當 時，
，所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以是的極小值點，符合題意，故，在
上單調遞減，在 上單調遞增.
（2）當時，求證： .
證明：當，時， ，
則 .
方法一：只需證明當時， .
當時，函數在 上單調遞增.
又, ，
故在上有唯一實根，且 .
當時，，當時， ，從而
當時， 取得極小值，即最小值.
由得，則 ，故
.
方法二： ，
得證.
1.[2023·新課標Ⅰ卷] 已知函數 .
（1）討論 的單調性；
解：由題知的定義域為 ，且 .
當時，恒成立，故在 上是減函數；
當時，令，得 ，令，得 ，
故在上單調遞減，在 上單調遞增.
綜上，當時，在 上是減函數；
當時，在上單調遞減，在 上單調
遞增.
（2）證明：當時， .
證明：方法一：因為，當且僅當 時，等號成立，
又因為 ,
當且僅當，即 時，等號成立，
所以要證 ，即證 ，即證 .
令,則 ,
令,得 ,令，得 ,
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以,
則 恒成立，所以當時， .
方法二：當時，由（1）得 ,
要證 ,只需證 ,
即證，易證 ,
所以只需證明，即證 .
因為恒成立，所以 成立，
故得證.
2.[2021·全國乙卷] 設函數，已知 是函數
的極值點．
（1）求 ；
解：令，則 ，
由題知，所以 .
當時，，則在 上單調遞減.
可知當時，，當時， ，
則在上單調遞增，在 上單調遞減.
所以是函數的極值點，則 符合題意.
（2）設函數，證明： ．
證明：方法一：由（1）知， ，定義域
為 .
令,，因為,所以
在區間上單調遞增，在區間 上單調遞減，
所以,即（當且僅當 時取等號）.
故當且時，且， ,
即 ，所以 .
當時，,所以 ,
即，所以 .
當時，，同理可證得 .
綜合得，當且時， .
方法二：由，得 ，由，得 .
當時，， ；
當時，， .
故要證，只需證 ，即證
.
令且，則 ，即證
.
設， ，則
，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，故
.
因為且，所以 .原命題得證.
［備選理由］例1考查切線放縮與基本不等式，考查角度較為新穎；
例2是導數與數列相結合的題目，并且用到了放縮，綜合性比較強，
難度較大.
例1 ［配例2使用］證明：當時, .
證明：要證，只需證 .
由切線不等式 ，可知
，當且僅當
,即時等號成立，所以 .
例2 ［配例3使用］ [2023·天津卷] 已知函數 .
（1）求曲線在 處切線的斜率；
解：，則 ，所以
曲線在處切線的斜率是 .
（2）當時，證明： ;
證明：當時，,
所以不等式 等價于 .
令 ，
則 ，
所以在上單調遞增，從而 ,即 .
綜上所述，當時， .
（3）證明：， .
證明：方法一：設 ,
則 .
①由（2）知， .
所以,所以是遞減數列，故 ,
即不等式的右邊成立.
②下面證明不等式的左邊.
我們先來證明當時，有 ，只需
證時， .
令， .則
.
所以當時，,即在 上單調遞減，
所以當時，，則 ,故
得證.
所以當 時， .
由于,因此當時， .
又，所以 .
綜合,, 成立.
方法二：設,注意到,要證 ,
只需證 為遞減數列.
,
由于,所以 ,即
,則為遞減數列.
要證,只需證與 的差小于 ，下面先證，.
設， ，
則 ，所以
在上單調遞減，
所以 ，故， .
所以由, ，得
.
又,所以當 時， ，
故，又，所以 .
綜上,, .

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