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微專題15 直線與圓
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 圓的方程
例1（1）[2022·全國甲卷] 設點在直線上，點
和均在上，則 的方程為______________________.
[解析] 方法一（三點共圓）
點在直線上， 設點為，
又點 和均在上， 點 到這兩點的距離相等，
，
即，解得，
， 的半徑，
的方程為 .
方法二（圓的幾何性質） 由題可得，
以和 為端點的線段的垂直平分線方程為，
易知為直線與直線 的交點，
由得，
則 的半徑,
的方程為 .
（2）[2024·浙江紹興二模]過點作圓的切線，
為切點，，則 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 根據題意，設圓的圓心為 ，
則， ，
令 ，， ，
則，其中 ，
所以的最大值為 .
√
【規律提煉】
除了要掌握圓的標準方程和一般方程外，還要掌握：
圓的參數方程 為參數，圓心為，半徑為，
以,為直徑兩端點的圓的方程為
.
自測題
1.[2024·河北滄州二模]若點在圓
（為常數）外，則實數 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意知，故 ，
由，即或 ，
所以實數的取值范圍為 .
√
2.在平面直角坐標系中，圓經過點和點，與 軸正
半軸相交于點.若在第一象限內的圓弧上存在點 ，使
，則圓 的標準方程為_______________________.
[解析] 根據題意作圖如圖所示，顯然 ，
所以 ，
又，所以 ，
因為，所以為圓的直徑，
設 ，由，得 ，
所以，即，
又 ，所以的中點為，
所以圓 的標準方程為 .
微點2 直線與圓的綜合
例2（1）若函數 有兩個零點，則實數
的取值范圍是_______.
[解析] 令 ，
得 ，所以
，即 表示單位圓位于軸上
及其上方部分， 表示過點且斜率為的直線，
由 有兩個零點，得半圓與
直線有兩個交點，易知 ，
當直線與半圓相切時，，解得；
當直線過點 時，則有，解得.
綜上， .
（2）（多選題）[2024·湖南衡陽二模] 已知圓, 是直
線上一動點，過點作直線,分別與圓 相切于
點, ，則( )
A.圓上恰有一個點到的距離為
B.直線恒過點
C.的最小值是
D.四邊形面積的最小值為
√
√
√
[解析] 易知圓C的圓心為，半徑.
對于A，圓心 到直線的距離，
所以圓C上的點到直線 距離的最小值為,
圓C上的點到直線 距離的最大值為，
所以圓C上恰有兩個點到的距離為 ，故A錯誤；
對于B，設,,,可得 ,
,, ，
由 ,
整理可得,同理可得 ,
所以A,B兩點在直線上,
即直線的方程為 ,即 ,
令解得所以直線 恒過定點,故B正確；
對于C,由直線恒過定點 ,知當點與圓心的連線垂直
于時,的值最小,點 與圓心之間的距離為,
所以 ,故C正確；
對于D,四邊形的面積為 ,
因為,所以當取得最小值時,
的值最小,易知,所以 ,
故四邊形面積的最小值為,故D正確.故選 .
自測題
1.已知直線 ,圓
，則下列說法正確的是( )
A.過定點 B.與 一定相交
C.若平分的周長，則 D.被 截得的最短弦的長度為4
√
[解析] 對于選項A，由 ，
得，由解得
所以直線過定點，故A錯誤；
對于選項B,因為直線過定點 ，且，
所以定點在圓內，即直線 與C一定相交，故B正確；
對于選項C，若直線平分C的周長，則直線 過圓心，
所以，可得 ，故C錯誤；
對于選項D，當定點 為弦的中點時，此時弦長最短，
此時圓心到弦所在直線的距離 ，
則最短弦長為 ，故D錯誤.故選B.
2.過拋物線上的一點作圓 的切線，切
點為，，則 可能的取值是( )
A.1 B.4 C. D.5
[解析] 設，則，圓C的圓心為，半徑 ，
由,切圓C于點A,B，得, ，
則
，
當且僅當時取等號，所以的最小值為 ,故選D.
√
微點3 圓與圓的綜合問題
例3（1）[2024·山東濟南二模]已知圓,, ，
若圓上有且僅有一點，使，則正實數 的取值為( )
A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5
[解析] 由題意可知,圓的圓心為,半徑 ,且,
因為,可知點的軌跡是以線段的中點 為圓心,
為半徑的圓,又因為點在圓 上,
所以圓C與圓有且僅有一個公共點,則或 ,
即或,解得或 .
√
（2）（多選題）已知圓 ，圓
，則下列選項正確的是( )
A.直線的方程為
B.圓和圓 共有4條公切線
C.若，分別是圓和圓上的動點，則 的最大值為10
D.經過點，的所有圓中面積最小的圓的面積為
√
√
√
[解析] 由題意得,圓 的方程化為標準方程為,
所以圓的圓心為,半徑 ,
圓的方程化為標準方程為,
所以圓 的圓心為,半徑.
對于A,直線的方程為 ,即 ,所以A正確；
對于B,因為, ,
所以,所以圓與圓 外切,
所以兩圓的公切線共有3條,所以B錯誤；
對于C，因為，
所以 的最大值為，所以C正確；
對于D，當 為所求圓的直徑時，
該圓在經過點， 的所有圓中面積最小，
此時圓的面積為 ，所以D正確.故選 .
【規律提煉】
1.線圓、圓圓的位置關系一般多結合圖形判斷，不用代數法；
2.利用圓的性質，通過構造直角三角形求弦長和切線長；
3.利用垂直關系或定義確定動點的軌跡（圓）.
自測題
1.（多選題）[2024·浙江溫州二模] 已知圓 與圓
相交于,兩點.若 ，則
實數 的值可以是( )
A.10 B.2 C. D.
√
√
[解析] 由題意可得,弦 所在的直線方程為
,即 ,
因為圓的圓心為,
圓 的圓心為,
設圓心與圓心到直線 的距離分別為,,
因為,所以 ,所以,
又,,即 ,化簡可得,
即,解得 或.故選 .
2.如圖①，在世界名畫《星月夜》中，梵高用夸張的手法，生動地描
繪了充滿運動和變化的星空.如圖②，假設月亮可看作半徑為1的圓
的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設圓的圓心在點與弧
中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧 上存在四點滿足過這四
點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓 上的
點的最短距離的取值范圍為_______
[解析] 如圖,設弧的中點為,弧 所對的圓心角
為,圓的半徑,在弧 上取兩點,,
則,分別過點,作圓 的切線,并交直線于點.
當過點,的切線剛好是圓與圓 的外公切線時,劣弧上一定還存在點,,使過點, 的切線為兩圓的內公切線,
則圓的圓心只能在線段上,且不包括端點,過點 分別向,作垂線,垂足為, ,則即為圓的半徑,設線段 交圓于點,則弧上的點與圓上的點的最短距離即為線段 的長度.
在 中，
，
則
，
即弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為 .
1.[2023·全國甲卷]已知雙曲線 的離心率為
，的一條漸近線與圓交于， 兩點，則
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，可得 ，
所以雙曲線C的漸近線方程為，
易知圓 與漸近線沒有交點，
故圓與漸近線 交于A，B兩點，
圓心到漸近線的距離 ，
又圓的半徑 ，
所以 .故選D.
2.[2023·新課標Ⅰ卷] 過點與圓 相切的兩
條直線的夾角為 ，則 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 方法一：由可得 ，
可得圓心坐標為，半徑.
又點到圓心 的距離，所以， ，故 .
√
方法二：由題可知,圓的圓心為 ,半徑,過點作圓C的切線,切點為A,B,連接,, ,
可得,則 ,
因為,且 ,
所以 ,
即解得 ,
所以為鈍角,則,
且 為銳角,所以 .
方法三：圓的圓心為 ，半徑 ，
若切線斜率不存在，則切線方程為，
則圓心到切線的距離 ，不合題意；
若切線斜率存在，設切線方程為 ，即，
則 ，整理得，且，
設兩切線斜率分別為 ,，則, ，
可得 ，
所以，即 ，可得，
則 ，且，
則，解得 .
3.[2023· 新課標Ⅱ卷] 已知直線 與
交于，兩點，寫出滿足“的面積為 ”
的 的一個值_____________________________.
2,,,（填一個即可）
[解析] 如圖,因為直線 過定點
且點在圓 上,所以不妨記,,
設 ,則,即 ,
可得或,又,所以可取2, ,, .
4.[2022·新高考全國Ⅰ卷] 寫出與圓 和
都相切的一條直線的方程_______________
__________________________________.
（或或）
[解析] 方法一：如圖,由圖易知為公切線 的方程.
設切點,則由可知,
,所以 ,又,
所以過點的公切線的斜率為,
所以過點 的公切線的方程為,即.
由 可得,設公切線的方程為 ,
即,由,解得,
所以公切線 的方程為 .
方法二：顯然公切線的斜率不為0,設公切線的方程為,
則,,故 ①，,
所以或 ,
再結合①可得或或 所以公切線有三條,
其方程分別為,,
（填一個即可）.
方法三：由題可知,圓 的圓心為,半徑,
圓 的圓心為,半徑 ,
兩圓的圓心距為 ,所以兩圓外切,如圖所示,
連接,當切線為時,因為,所以,
設直線 的方程為 ,
到的距離,解得,
所以切線的方程為，即 ；
當切線為時，設直線方程為 ，其中，，
由題意得 解得
所以切線的方程為 ，
即；
當切線為 時，易知切線方程為 .
5.[2022·新高考全國Ⅱ卷] 設點，,直線 關于直線
的對稱直線為，已知與圓 有公共
點，則 的取值范圍為______.
[解析] 由題意知直線過點.
點關于直線 的對稱點為,
所以直線的方程為 ,即.
由題意知，圓心到直線 的距離,
整理得,解得 ，故的取值范圍為 .
［備選理由］例1考查圓的方程，以及直線與圓相交所得弦長問題；
例2考查直線與圓的綜合；例3通過轉化思想，得出動點的軌跡為圓，
從而利用圓的幾何性質求最值.
例1 ［配例1、例2使用］ [2024·浙江麗水、湖州、衢州二模] 已知
圓，若對于任意的 ，
存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則 _______.
[解析] 圓，
則 ，解得，
所以圓的方程為 ，
即，
由題設，令，可得 ，
令，可得 ，顯然兩圓相交，
則兩圓方程作差可得，
由解得或
所以直線與圓相交所得的弦長為，
所以 ，則 .
例2 ［配例2使用］ [2024·重慶二模] 已知圓,是圓
外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為,，若 ，
則 ( )
A. B.3 C. D.
√
[解析] 由圓，可得圓心為，半徑 ，
設 ,，
則, , ，
，
，即 ，
即，即,
, ， .故選C.
例3 ［配例3使用］ [2024·云南昆明模擬] 已知線段 是圓
的一條動弦，且，若點 為直線
上的任意一點，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中點，連接，，，
因為 是圓的一條動弦，且，
所以，故 的軌跡是圓心為原點，半徑為1的圓，
又 ，因此原問題轉化為求的最小值.
因為點為直線 上的任意一點，
所以原點到直線的距離即為 的最小值，
所以 ，所以 ，
所以 .

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