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微專題23 零點問題
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 分段函數零點
例1 [2024·重慶八中聯考]已知函數
，且 ，若函數有且僅有一個零點，
則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 當時， ，又函數
有且僅有一個零點，所以 除0外
沒有其他零點，即函數與的圖象除了 處的交點
外，沒有其他交點.
若，畫出與 的圖象，
如圖①，因為，所以
與的圖象在 內有交
點，不合題意，舍去；
若，畫出與 的圖象，
如圖②，由得，
所以 的圖象在處的切線
的斜率，
要使與 的圖象在上
無交點，則，解得 ，結合圖象，可知與
的圖象除了 處的交點外，沒有其他交點，符合題意.
綜上，的取值范圍為 .故選A.
自測題
1.[2024·山東泰安三模] 已知函數 若曲
線與直線恰有2個公共點，則 的取值范圍是_______.
[解析] 當時， ，其在上單調遞減，
在 上單調遞增，且，則；
當 時，，，其在
上單調遞減，且.
作出的圖象，如圖，易知 的取
值范圍是 .
2.已知函數若存在實數 ，滿足
，則 的最大值是_________.
[解析] 作出的圖象，如圖，
存在實數，滿足
， ，
，由圖象可知，， .
設，其中，則 ，顯然
在上單調遞增，
， 當 時，，在
上單調遞增，在 上的最大值為 ，
的最大值為 .
微點2 零點個數問題
例2 [2024·湖南九校聯盟二模] 已知函數
，其圖象的對稱中心為 .
（1）求 的值；
解：因為函數的圖象關于點 中心對稱，所以
為奇函數，從而有，即
.
因為 ，
，
所以 解得所以 .
（2）判斷函數 的零點個數.
解：由（1）可知， ，
， .
①當時，，，所以在
上單調遞增，
因為， ，
所以函數 有且僅有一個零點；
②當時，，令，得 ，
所以， ，所以有兩個正根，
不妨設，則 ，所以函數在上單調遞增，在 上單調遞減，在 上單調遞增，
因為，，所以函數 有且僅有一個零點；
③當時，，令 ，解得
或，所以 有兩個零點；
④當時，，令，得 ，所以
，，所以 有一個正根和一個負
根，不妨設，所以函數在 上單調遞增，在
上單調遞減，在 上單調遞增，
因為，，所以函數
有且僅有三個零點.
綜上所述，當時，函數有三個零點；當時，函數
有兩個零點；當時，函數 有一個零點.
【規律提煉】
利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間
與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖
象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、
數形結合思想和分類討論思想的應用.
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題.
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等
價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
自測題
函數的圖象在 處的切線方程為
, .
（1）求 的值；
解：因為,所以 ，所
以，所以切線斜率為，即 ，
所以切線方程為 ,
又，所以切點坐標為 ，代入切線方程得
，解得 .
（2）求在 上零點的個數.
解：由（1）得, ，
令 ，則 .
當 時，恒成立，所以在 上
單調遞增，所以，
因此 在 上無零點.
當 時，恒成立，所以在
上單調遞增，
又, ，
所以在上存在唯一的零點 ，
當時,, 單調遞減,
當時, 單調遞增，
又,，，所以 在
上有且僅有1個零點.
綜上，在 上有且僅有1個零點.
微點3 與零點有關的求參或證明問題
例3 已知函數，其中 為自然對數的底數.
（1）討論 的單調性.
解：由題意得，，則 ，
由，解得 .
顯然，若，則當時，, 單調遞增，
當時，, 單調遞減；
若，則當時，,單調遞減，當 時，
, 單調遞增.
綜上，當時，在區間上單調遞增，在區間 上
單調遞減；
當時，在區間上單調遞減，在區間 上單調遞增.
（2）若方程有兩個不同的根, .
（?。┣?的取值范圍；
解：由，得 ，設，
由（1）得在區間 上單調遞增，在區間 上單調遞減，
又,，當時，，且當 時，
，所以當時，方程 有兩個不同的根，
即方程有兩個不同的根，故的取值范圍是 .
（ⅱ）證明： .
證明：不妨設，則，且 .
方法一：當時，，即 ；
當時， .
設, ,
則 ,
所以在區間 上單調遞增，
則，即 ，
所以 ,
又,所以,又,在區間 上單調遞減，
所以，即 ，
又，所以 ，
故，所以 ，
得證.
方法二：設 ， ，則
，所以在區間 上單調遞增，
又 ，所以 ，即 .
因為，所以 ，
又,,在區間上單調遞減，所以 ，即
，又，所以 ，得證.
【規律提煉】
1.函數零點的個數問題,要能轉化為函數圖象與軸的交點個數或者兩
個函數圖象的交點個數問題,數形結合解決問題.
2.對于零點存在問題,可利用放縮法或者分類討論恰當地找到一正一
負兩個函數值.
3.對于與零點有關的不等式證明問題,一般解法是構造函數,借助于函
數的單調性解決問題.
自測題
1.[2024·臨汾二模] 已知函數 .
（1）討論 的單調性；
②若，令，得，
當 時，, 單調遞減，
當時，, 單調遞增.
綜上所述，當時，在 上單調遞增；
當時，在上單調遞減，在 上單調遞增.
解：由題知的定義域為 ，
.
①若，則，在 上單調遞增；
（2）若有兩個零點，求 的取值范圍.
解：當時，在 上單調遞增，不可能有兩個零點，不符合
題意.
當時，在上單調遞減，在 上單調遞增，
因為有兩個零點，所以 ，
又，所以 .
令, ， 則，所以在 上單調遞減，
又 ，所以當時，，即 .
因為 ，
所以在 上有1個零點.
令，則，
由得，由 得 ，
所以函數在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 ，即.
當時，,故 ，
所以 ，
取 ，有 ，
所以在 上有1個零點.
綜上所述，當有兩個零點時，，即的取值范圍為 .
2.[2022·天津卷] 已知，，函數 ，
.
（1）求曲線在 處的切線方程；
解：由已知得,, ，故所求切
線方程為 .
（2）若曲線和 有公共點，
（ⅰ）當時，求 的取值范圍；
解：由已知得曲線和有公共點，即 有解.
當時，，，當時， 無解，
所以設，，則 有解，
易知 ，,，設 ,
則 ，故在 上單調遞增，
當時， ，當 時， ，
故存在，使得 ，即，可得 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 ，則問題轉化為 即可.
由 ，解得
，
又，所以當時， ，所
以，故實數的取值范圍是 .
（ⅱ）求證： .
證明：方法一：令曲線和 交點的橫坐標為
，則 ，
由柯西不等式（,,, ,當且僅
當 時,等號成立），
得 ，
即證 .
設，下證 ，
因為，所以在上單調遞減，在 上單
調遞增，故，即 .
再設,下證 ，
因為，所以在 上單調遞增，
故，得 .
所以 ，得證.
方法二：令曲線和交點的橫坐標為 ，則
，則由基本不等式得
，因此 ，
構造函數，，則 ，
當時，，單調遞減，當 時，
， 單調遞增，所以 ，
所以，即 ，得證.
1.[2023·天津卷] 若函數 有且僅有兩
個零點，則 的取值范圍為________________________.
[解析] 方法一：①當時， ,
則只有一個零點 ，不符合題意.
②當時，關于的不等式 恒成立，
此時 ,
當時，只有一個零點，不符合題意；
當 時，令,得,
故 有且僅有兩個零點，符合題意.
③當時，關于 的方程有兩個不等實根,,不妨設,
此時
即
令,得,,,,
其中 , ,,,
當 時， ,
,舍去,,故 有且
僅有兩個零點，1，符合題意；
當 時，,,舍
去, ,故有且僅有兩個零點,，符合題意.
綜上， 的取值范圍為 .
方法二：當 時，
,
令 ,得，.
又，所以對應 ， 對應.
當時，，令,得， .
又，所以對應，對應 .
特別地，當時，函數只有一個零點，為 ,不符合題意；
當時，函數只有一個零點，為,不符合題意；
當 時，函數有兩個零點，分別為和,符合題意.
綜上， 的取值范圍為 .
2.[2022·新高考全國Ⅰ卷] 已知函數和
有相同的最小值.
（1）求 ;
解：方法一：由題知， .
①當時，恒成立，所以在 上單調遞增，
則 沒有最小值，不符合題意.
②當時，令，得 ，令，得 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以在處取得最小值 ；
令，得 ，令，得 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以在處取得最小值 .
因為和 有相同的最小值，
所以，即 .
令 ，則 ，
所以在 上單調遞增，易知，所以 .
方法二：的定義域為 ，, .
若，則恒成立，則在上單調遞增， 無最小
值，不符合題意，故 .
令，得 ,
當時，，函數在 上單調遞減，
當時，，函數在 上單調遞增，
故 .
的定義域為 ，, ，
令，得 .
當時，，函數在 上單調遞減，
當時，，函數在 上單調遞增，
故 .
函數和 有相同的最小值，
,
，可化為 .
令， ，
則 ，
， 恒成立，在 上單調遞增，
又，， ．
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和 共有
三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.
證明：方法一：由（1）知，， ，
在上單調遞減，在 上單調遞增，
在上單調遞減，在 上單調遞增，且
.
①當時，因為，所以直線 與兩
條曲線和 沒有交點，不符合題意.
②當時，因為，所以直線 與兩
條曲線和 共有兩個交點，不符合題意.
③當時，首先證明直線與曲線 有兩個交點，
即證明 有兩個零點.
因為 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
又因為，， ，
所以在上有且只有一個零點，設為,在 上有且
只有一個零點，設為 .
然后證明直線與曲線 有兩個交點，
即證明 有兩個零點.
因為 ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
又因為， ， ，
所以在上有且只有一個零點，設為，在 上有且只
有一個零點，設為 .
接下來證明存在使得 ，
因為，所以 ，
若，則，即 ，
所以只需證明在 上有解,
即在 上有零點.
因為， ，
所以在上有零點，設為 ，令
，則，則存在直線 與兩條曲線
和 共有三個不同的交點.
最后證明 ，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列，
因為 ，
所以 ，
又因為在上單調遞減，， ，即
，所以 .同理 .
因為 ，所以 .
綜上，存在直線，其與兩條曲線和 共有三個
不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.
方法二：由（1）知，函數在 上單
調遞減，在 上單調遞增，
函數在上單調遞減，在 上單調遞增.
設 ，則
，當時， ，
函數在 上單調遞增，
， 當時， 恒成立，即
在 上恒成立，
當時， .
，函數在上單調遞增，，函數
在 上單調遞減， 函數的圖象與函數的圖象在 上
存在唯一的交點，設該交點為 ，
此時可作出函數和 的
大致圖象，如圖所示.
由圖可知，當直線與兩條曲線
和共有三個不同的交
點時，直線必經過點 ，
即
， ,即 .
令，得,解得 或
, 由，得 .
令 ，得,解得 或
，
由，得 ，
當直線與兩條曲線
和 共有三個不同的
交點時，從左到右的三個交點的
橫坐標依次為,, .
，即 ,,, 成等差數列，
存在直線,其與兩條曲線 和 共有三個不同的
交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
3.[2021·新高考全國Ⅱ卷] 已知函數 .
（1）討論函數 的單調性;
解： .
當時，令，得 ，
且當時，，單調遞減，當時， ,
單調遞增.
當時，令得， ,
且當時,,單調遞增，
當 時, , 單調遞減，
當時，, 單調遞增.
當時，,在 上單調遞增.
當時，令得， ，
且當時，， 單調遞增，
當時，, 單調遞減，
當時,, 單調遞增.
（2）從下面兩個條件中選一個，證明: 有一個零點.
①, ;
②, .
證明：若選①,則由（1）知在上單調遞增,在
上單調遞減,在 上單調遞增.
, ,
在 上有一個零點,
即在 上有一個零點.
， .
， , ,
, 當時，, 無零點.
綜上,在 上有一個零點.
若選②,則由（1）知在上單調遞增，在
上單調遞減,在 上單調遞增.
， ,
, ,，
， 當 時，， 無零點.
當時，單調遞增, ,
當 時， ，在 上有一個零點.
綜上,在 上有一個零點.
［備選理由］例1考查了討論參數的情況求零點，比較綜合，難度較
大；例2綜合考查了微點2和微點3，難度較大；例3考查將新定義轉
化為與切線、零點相關的問題.
（1）求 的最小值；
解：由題知，的定義域為, ，
則當時，,當時， ，
所以在區間上單調遞減，在區間 上單調遞增，
因此的最小值為 .
例1 ［配例2使用］ [2024·湖南長沙一中模擬] 已知函數
,, .
（2）設函數，討論 零點的個數.
解：，且，令 ，得
，令，則與 有相同
的零點，且 .
令，則，因為 ，所以
，所以在區間 上單調遞增，又
,，所以存在 ，使 ，
且當時，，即，
當 時，，即 ，
所以在區間上單調遞減，在區間 上單調遞增，
因此的最小值為 .
由，得，即 ，
令，則在區間 上單調遞增，
因為，所以，則 ，
所以，從而，即 ,
所以的最小值 .
所以當時， 沒有零點；當時， 有一個零點；
當時，因為 ，
當趨近于0時，趨近于 ，當趨近于 時， 趨近于
，所以 有兩個零點.
綜上，當時， 的零點個數為0；
當時， 的零點個數為1；
當時， 的零點個數為2.
例2 ［配例2、例3使用］ [2024·廣州二模] 已知函數
.
（1）討論 的零點個數；
解：因為 ，
當時，，此時 有一個零點；
當時，，所以不是函數 的零點.
令,得 ，
故只需討論的圖象與直線 的交點個數即可.
，
因為 ，所以在和上單調
遞減，在 上單調遞增，
當 時, ，當且時， ，
當且時， ，
所以 的大致圖象如圖所示，
故當時,的圖象與
直線 有1個交點，
當時，的圖象與
直線 有2個交點.
綜上，當時，函數有1個零點；
當時，函數 有2個零點.
（2）若存在兩個極值點，記為的極大值點，為 的
零點，證明： .
證明：函數,則 ，
當時，，所以函數 只有一個極值點，不滿足條件；
當時，，所以函數 無極值點；
當時，，令得，或，令 ，
得 ，
所以函數在上單調遞增，在 上單調遞減，在
上單調遞增，此時 ，
因為 ,
,，當 時， ，
所以函數在上無零點，在上有一個零點 ，
所以 ；
當時，，令，得或 ，
令，得 ，所以函數在上單調遞增，在 上單調遞減，在上單調遞增，此時 ，
因為,,當 時， ，
，
令，則 ，所以，即 ，
所以函數在上有一個零點，且 ，
所以.
綜上， .
例3 ［補充使用］ [2024·丹東二模] 設函數的定義域為 ，
若，曲線在處的切線與曲線有 個公共
點，則稱為函數的“度點”，切線為一條“ 度切線”.
（1）判斷點是否為函數 的“2度點”，說
明理由.
解：因為，所以， ，
，則曲線在點處的切線的方程為 ，
將切線的方程與聯立得 ，
記 ，
則 ，
所以當時，，當或時， ，
則在上單調遞增，在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以在處取得極大值 ，
在處取得極小值，
因為 ，所以 ，
又因為 ，所以在
上存在唯一零點，則點為函數 的“2度點”.
（2）設函數 .
①若直線是函數的一條“1度切線”，求 的值；
解：設直線與曲線相切于點 ，
因為，所以 ，
則 整理得 .
對于給定函數，我們定義它的導數為，定義它的導數
的導數為 .
設，
則 ， ，
所以在上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 ，所以在上單調遞增，
又，所以，所以 ，經檢驗符合題意.
②若，求函數 的“1度點”.
解：設點，曲線在點 處的切線方程為
，令 ，
因為曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點，所以 有唯
一零點，，且 ，
所以，令，則 ，
所以當時，， 單調遞減；
當時，， 單調遞增.
若，當時，，
當 時， ，所以在上單調遞增，
所以只有唯一零點 .
若，當時，單調遞增，且 ，
則當時，， .
當 時，
，
其中， ，
必存在，使得 ，
所以，故在內存在零點，即在 上至少
有兩個零點.
若，同理利用，可得在 上至少有兩個零點.
綜上所述，函數的“1度點”為 .

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