資源簡介

第八章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
第5課時 三角形的三邊關系
本節(jié)課《三角形的三邊關系》是華東師大版初中數(shù)學七年級下冊第八章第一節(jié)《與三角形有關的邊和角》第五課時的內(nèi)容．前面已經(jīng)學了兩點間線段最短及三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)，在此基礎上，本節(jié)課將探究三角形的三邊關系，首先通過做一做活動，讓學生學會作三角形，其次在給出的12條線段中，任意的選取三條嘗試作三角形，發(fā)現(xiàn)并不是所有的三條線段都能作出三角形，從而引出三角形的三邊應滿足的關系，最后通過用木條釘三角形和四邊形，探究得到三角形具有穩(wěn)定性．整個教學過程循序漸進，由淺入深．
學生已掌握了兩點間線段最短，以及前面幾課時剛從角的角度探究了三角形的性質(zhì)．到了本節(jié)課，自然而然，應該從邊的角度探究，此時學生已經(jīng)具備了一定的幾何知識和邏輯推理能力，能夠自己作三角形和寫出邊之間的不等量關系．然而，部分學生在判斷三角形三邊關系時，對“任意”兩字理解不到位，思考問題不夠全面，容易出現(xiàn)判斷錯誤的情況．
1．掌握和理解三角形三邊的關系．
2．通過作三角形的過程，體會三角形的三邊之間的不等量關系．
3．認識三角形的穩(wěn)定性，并能利用三角形的穩(wěn)定性解決一些實際問題．
4．通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動，發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理的表達能力．
重點：掌握和理解三角形三邊的關系，認識三角形的穩(wěn)定性．
難點：應用三角形的三邊關系解決簡單的幾何問題．
復習回顧
問題：還記得三角形定義是什么嗎？
答：由不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形．
追問：三角形的三邊有什么關系呢？
設計意圖：回顧舊知，為接下來探究三角形的三邊關系做鋪墊．
探究新知
活動一：三角形的三邊關系
做一做：作一個三角形，使它的三條邊長分別為4 cm、3 cm、2.5 cm．
師生活動：教師提出問題，學生動手嘗試．
答：
1．先作線段；
2．然后以點A為圓心、3 cm長為半徑作圓?。?br/>3．再以點B為圓心、2.5 cm長為半徑作圓弧，兩弧相交于點C；
4．連結AC、BC．
△ABC就是所要作的三角形．
注意：圓上任意一點到圓心的距離相等．
試一試：現(xiàn)有12條已知長度的線段：
任意選擇三條線段作三角形，使它的三條邊長分別為你所選擇的三條線段的長．
在作三角形的過程中，你可能會發(fā)現(xiàn)下列幾種情況：
如圖②和③，在三條線段中，如果兩條較短線段的和不大于第三條線段，那么這三條線段就不能組成一個三角形．
思考：滿足什么條件的三條線段可以組成一個三角形呢？
答：如圖①，在三條線段中，如果兩條較短線段的和大于第三條線段，那么這三條線段就能組成一個三角形．
歸納：三角形的三邊有如下關系：
三角形的任意兩邊之和大于第三邊．
這一結論的根本依據(jù)是關于線段的基本事實“兩點之間線段最短”．
如圖：
，，．
接著利用不等式的性質(zhì)1，可得：，，
也就是說：三角形的任意兩邊之差小于第三邊．
設計意圖：通過作三角形，發(fā)現(xiàn)并不是任意的三條線段都能作出三角形，需滿足一定得到條件，從而引導得到三角形的三邊關系，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力．
活動二：三角形的穩(wěn)定性
探究：用長度適當?shù)哪緱l，把它們分別做成三角形和四邊形框架，并拉動它們．你發(fā)現(xiàn)什么？
師生活動：教師動畫演示，學生觀察思考，再舉手回答問題．
答：三角形的大小和形狀是固定不變的，三角形具有穩(wěn)定性．四邊形的形狀會改變，四邊形不具有穩(wěn)定性．
只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了．
思考：在生活中，我們經(jīng)常會看到應用三角形穩(wěn)定性的例子．
你還能舉出一些其他的例子嗎？
設計意圖：通過探究活動，明確三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有，并引導學生從生活中舉出實例，發(fā)現(xiàn)數(shù)學與生活密切相關．
應用新知
經(jīng)典例題
例 判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？
（1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、10cm．
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
解：（1）不能，因為3 cm＋4 cm＜8 cm；
（2）能，因為 5 cm＋6 cm＞10 cm，
10 cm－5 cm＜6 cm．
小結：計算兩條較短的線段的和，若比最長的線段長，則可以組成三角形；若小于或等于，則不可以組成三角形．
設計意圖：通過例題的學習，明確解題的思路，規(guī)范學生的作答的書寫格式，培養(yǎng)學生的動手動腦能力．
課堂練習
1． 下列長度的各組線段能否組成一個三角形？
（1）15 cm、10 cm、7 cm；
（2）4 cm、5 cm、10 cm；
（3）3 cm、8 cm、5 cm；
（4）4 cm、5 cm、6 cm．
答：（1）（4）能組成三角形，（2）（3）不能組成三角形．
2．一木工有兩根長分別為40 cm和60 cm的木條，要另找一根木條，釘成一個三角木架．
問：第三根木條的長度應在什么范圍內(nèi)？
解：第三根木條的長度應小于兩根木條的長度和：（cm）
還應大于兩根木條的長度差：（cm）
即第三根木條的長度應大于20 cm且小于100 cm．
3．舉兩個三角形的穩(wěn)定性在實際生活中應用的例子．
答：
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解三角形的三邊關系及三角形的穩(wěn)定性，培養(yǎng)學生的應用意識．
課堂檢測
限時訓練
1．如圖，工人師傅砌門時，常用木條EF、EG固定門框ABCD，使其不變形，這種做法的根據(jù)是什么？
解：利用的是三角形的穩(wěn)定性．四邊形不具有穩(wěn)定性，通過增加木條構成新的三角形，達到穩(wěn)固的效果．
2．如果三角形的兩邊長分別是2和4，且第三邊是奇數(shù)，那么第三邊長為______．若第三邊為偶數(shù)，那么三角形的周長______．
答：3或5；10．
3．已知a，b，c分別是三角形三邊的長，化簡：_________．
答：
4．如圖，P是△ABC內(nèi)一點，連結BP并延長，交AC于點D，連結CP．
（1）試探究與2BD的大小關系；
（2）試探究與的大小關系．
解：（1）根據(jù)三角形的三邊關系，可得
，，
∴，
即．
（2）根據(jù)三角形的三邊關系，可得
，，
∴，
∴，
即．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對本節(jié)課所學內(nèi)容的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學到了什么？
2．三角形的三邊關系是怎樣的？
3．三角形具有穩(wěn)定性，四邊形呢？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識．
實踐作業(yè)
拿出三角板，量一量三邊的長度，并與同學交流你的發(fā)現(xiàn)．
通過讓學生動手畫三角形等活動，為他們提供了充足的自主探索空間，學生在操作中主動探究，逐步感悟并發(fā)現(xiàn)三角形三邊關系的特征．這種親身體驗有助于學生從直觀感知上升到理性認識，完成知識的建構．多次組織小組合作學習，學生分工明確，積極參與討論與交流,這不僅培養(yǎng)了學生的團隊協(xié)作能力和表達能力，還讓他們能從他人的觀點中獲得啟發(fā)，拓展思維．教學過程中，引發(fā)學生對三角形三邊關系的思考，讓學生體會到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，同時通過多層次的練習，從基礎應用到實際問題解決，再到拓展延伸，幫助學生鞏固知識，提升運用知識解決問題的能力．

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