資源簡介

(共72張PPT)
微專題16 圓錐曲線的定義與性質(zhì)
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點1 圓錐曲線的定義及應(yīng)用
例1（1）設(shè)是橢圓的一個焦點，過橢圓 中心的直線
交橢圓于，兩點，則 的周長的最小值為( )
A.12 B.14 C.16 D.18
[解析] 由橢圓的對稱性可知， 兩點關(guān)于原點對稱，
設(shè)橢圓的另一個焦點為，則四邊形 為平行四邊形，
由橢圓定義可知，
又 ，，所以，
又 過原點，所以，
所以的周長的最小值為 .故選C.
√
（2）已知圓，直線，圓與圓 外
切，且圓與直線相切，則點 的軌跡方程為__________.
[解析] 由題意得，圓，設(shè)圓的半徑為 ，
則點到直線與點到點的距離相等，都是，
故點 的軌跡是以為焦點，以直線 為準(zhǔn)線的拋物線，
故可得點的軌跡方程為 .
（3）[2024·遼寧實驗中學(xué)模擬] 設(shè)為坐標(biāo)原點，, 為雙曲線
的兩個焦點，點在上，，則
_____.
[解析] 因為①， ，
所以在 中，由余弦定理得
，
即 ，
聯(lián)立①②，解得,.
因為 ，所以
.
自測題
1.[2024·山西太原三模]已知點,分別是橢圓 的左、右焦點，
是上一點，的內(nèi)切圓的圓心為，則橢圓 的標(biāo)
準(zhǔn)方程是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依題意，設(shè)橢圓C的方程為，
由 在C上，得，
顯然的內(nèi)切圓與直線 相切，則該圓半徑為1，
而 ，又，
于是，則 ，因此，
解得, ，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .故選B.
2.[2024·河南鄭州三模] 已知雙曲線 的離
心率為,,分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與坐標(biāo)原點 重
合），點在雙曲線上且， 的面積為6，則
該雙曲線的實軸長為_____．
[解析] 由,可得 ,故雙曲線
的漸近線方程為,不妨設(shè), ,
因為,所以點為的中點,則 ,
將其代入中,整理得,
又 , ,且,
所以 的面積為,即,
解得 ,故雙曲線的實軸長為 .
3.[2024·晉城三模] 已知為拋物線 的焦點，點
在拋物線上，直線與拋物線的另一個交點為，則
___.
2
[解析] 由題意可得，解得，則 ，
所以直線與軸垂直，可得，故 .
微點2 離心率及其范圍
例2（1）[2024·深圳二模]是橢圓 上一
點，，是的兩個焦點，，點在 的平分線
上，為原點，，且，則 的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)，，延長交 于點A，
由題意知，為的中點，故A為的中點，
又 ，所以，則，
又，所以 是等腰直角三角形，
故有即即
代入得，即 ，
又，所以，所以，所以 .
（2）[2024·浙江五校聯(lián)考]已知雙曲線 上存
在關(guān)于原點中心對稱的兩點，，以及雙曲線上的另一點 ，使得
為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由題意可知雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)點 ，則可取，則
整理得 ，解得，即，
可得，則 ，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是 .故選A.
【規(guī)律提煉】
圓錐曲線的離心率主要包括求離心率的值或范圍，是高考常考的內(nèi)
容，主要方法是根據(jù)題意和圖形的幾何特征找到,,的齊次恒等式
或不等式.
自測題
1.[2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷] 設(shè)雙曲線 的左、右
焦點分別為,,過作平行于軸的直線交于， 兩點，若
,,則 的離心率為__.
[解析] 方法一：,,又 ,
, , ,
,, .
方法二：由題可知,,三點的橫坐標(biāo)相等，
設(shè) 在第一象限，將代入得，
即, ，故，，
又 ，得，
解得，代入 得，故,
即，所以離心率 .
2.在橢圓 的4個頂點和2個焦點中，若存在不共線的三點恰為某個正
方形的兩個頂點和中心，則橢圓 的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根據(jù)題意，只需要這三個點構(gòu)成等腰直角三角形，所以這三個
點只可能是短軸的兩個端點和一個焦點或兩個焦點和短軸的一個端點，
可設(shè)橢圓C的長半軸長為,短半軸長為 ,半焦距為 ,
因為短軸的兩個端點和一個焦點或兩個焦點和短軸的
一個端點構(gòu)成等腰直角三角形均可得 ，
所以，
即橢圓C的離心率為 ，故選C.
3.已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若
上存在點使得成立，則 的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 設(shè)，則由，可得 ，
即，由雙曲線方程可得 ，
則，
則關(guān)于 的一元二次不等式有解，
所以，即 ，所以，
即，解得 （舍去）或 .
微點3 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
例3（1）[2023· 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知橢圓 的左、右焦點
分別為，，直線與交于，兩點，若 的面積
是面積的2倍，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由題可知,，
的面積是面積的2倍，
則點到直線的距離是點 到直線距離的2倍，
故 ，化簡可得，
即 ，解得或，
又直線 與C不相交，所以 .故選C.
方法二：不妨設(shè)直線與軸的交點為 ，
因為的面積是面積的2倍，所以點到直線
的距離是點到直線距離的2倍，則.
若 在線段上，則，所以，即；
若 在線段的延長線上，則，所以，
即 ，此時直線 與橢圓相離.故選C.
（2）（多選題）[2024·河北滄州二模] 已知 為拋物線
的焦點，直線過且與交于,兩點， 為坐標(biāo)
原點，為上一點，且 ，則( )
A.過點且與拋物線 僅有一個公共點的直線有3條
B.當(dāng)?shù)拿娣e為時，
C. 為鈍角三角形
D.的最小值為
√
√
√
[解析] 因為,所以,解得 ,
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
對于A,因為,當(dāng) 時,,
故點 在拋物線的外部,
所以與C僅有一個公共點的直線有3條,故A正確；
對于B,由拋物線C的方程可知,焦點,設(shè)的方程為,, ,由消去,整理得 ,
所以,,,
又 ,所以,解得 ,
則, ,
則 ,故B錯誤；
對于C,由選項B可知, ,
所以,所以 ,
故為鈍角,所以 為鈍角三角形,故C正確；
對于D,由選項B可知 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng),
即, 時等號成立,故D正確.故選 .
【規(guī)律提煉】
1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的小題常考利用定義求弦長、中點弦、
離心率等問題；
2.直線和雙曲線的位置關(guān)系要借助于和漸近線的斜率進(jìn)行比較，數(shù)形
結(jié)合；
3.記住一些常見的二級結(jié)論（如焦點三角形面積、中點弦、拋物線的
焦點弦等）.
自測題
1.[2024·永州二模]已知拋物線的焦點為，過點
且斜率為的直線交于,兩點，點在的準(zhǔn)線上， .若
的面積為32，則 ( )
A. B.2 C. D.4
√
[解析] 由題意,拋物線的焦點為,準(zhǔn)線方程為 ,
因為直線的斜率為,故直線的方程為 ,
由得 ,,
設(shè), ,則, ,
由拋物線定義可知,.
由點在C的準(zhǔn)線上,可設(shè)點 ,由,
可得,所以 ,所以 ,
所以,解得 .故選B.
2.[2022·新高考全國Ⅱ卷] 已知直線與橢圓 在第一象限交
于，兩點，與軸、軸分別相交于， 兩點，且
，，則直線 的方程為__________________.
[解析] 方法一：設(shè)的中點為,因為,
所以點 也是的中點.
設(shè)為坐標(biāo)原點,連接,所以 .
設(shè),,則, ，
兩式作差,整理得,即.
設(shè)直線 的方程為,
則,,所以 ,所以,
所以,即,所以 .
又,所以,所以,
所以直線 的方程為,即 .
方法二：設(shè)線段的中點為,則直線的斜率 .
因為的中點為,,所以為 的中點,
所以,,所以直線的斜率為,
所以 ,可得,又,
得 ,所以,,可得,,
所以直線 的方程為 .
微點4 圓與圓錐曲線的綜合問題
例4 （多選題）[2024· 新課標(biāo)Ⅱ卷] 拋物線的準(zhǔn)線為，
為上動點，過作的一條切線， 為切點，
過作的垂線，垂足為 ，則( )
A.與 相切
B.當(dāng)，，三點共線時，
C.當(dāng)時，
D.滿足的點 有且僅有2個
√
√
√
[解析] 對于A,點到準(zhǔn)線 的距離為1,
圓A的半徑為1,故與相切,選項A正確.
對于B,當(dāng) ,A,B三點共線時,,,,
則 ,選項B正確.
對于C,當(dāng)時,,得,當(dāng)點的坐標(biāo)為時,
,,不滿足；
當(dāng)點 的坐標(biāo)為時,,,
不滿足 ,選項C不正確.
對于D,方法一：設(shè)拋物線的焦點為,則,連接 ,,
由拋物線的定義可得,
則滿足 的點在線段的垂直平分線上,
易知線段 的垂直平分線的方程為,
由得 ,
因為,
所以滿足的點 有且僅有2個,選項D正確.
方法二：設(shè),由,可得 ,
又,又 ,根據(jù)兩點間的距離公式,
可得,整理得 ,
,則關(guān)于 的方程有兩個解,
即存在兩個滿足條件的點,選項D正確.故選 .
自測題
1.已知橢圓的左、右焦點分別為, ，過
向圓引切線交橢圓于點, 為坐標(biāo)原點，若
，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)切點為，連接，由已知得 ，
，，，
又是 的中點，圓的半徑為，
，，
，即 ，得，
.故選 C.
2.已知雙曲線的左、右焦點分別為, ，
以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，圓與
軸負(fù)半軸的交點為，若直線與軸的交點平分線段 ，則雙
曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為 ，
所以直線的方程為.由得.
又 在雙曲線上，所以 ，
所以，
又，所以 ，可得 .故選B.
3.[2024·浙江金麗衢十二校二聯(lián)]已知拋物線的焦點為 ，
以為圓心的圓交于，兩點，交的準(zhǔn)線于， 兩點，若四
邊形是矩形，則圓 的方程為( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由題可得，拋物線的焦點為，
所以圓 的圓心坐標(biāo)為，
因為四邊形是矩形，所以為直徑， 為直徑，
又為圓的圓心,所以點 為該矩形對角線的交點，
所以點到直線的距離與點到直線的距離相等，
易知點 到直線的距離，所以直線的方程為，
將 代入，可得，不妨令，
則圓 的半徑，
所以圓 的方程為 .故選D.
1.[2024·全國甲卷]已知雙曲線的兩個焦點分別為, ,點
在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為( )
A.4 B.3 C.2 D.
[解析] 記雙曲線的上、下焦點分別為， ，
點，因為,所以 .
又
,所以,則離心率 ,故選C.
√
2.（多選題）[2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷] 造型 可以看作圖中的
曲線的一部分.已知過坐標(biāo)原點，且 上的點滿足橫坐
標(biāo)大于，到點的距離與到定直線 的
距離之積為4，則( )
A.
B.點在 上
C. 在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1
D.當(dāng)點在上時，
√
√
√
[解析] 對于A,依題知曲線C的軌跡方程為
點 在曲線C上,,又, ,故A正確.
對于B,曲線C的方程為,
令,得 , 或 ,故B正確.
對于C,由,得 ,
,當(dāng)時，,
在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值大于1,故C錯誤.
對于D,,即 ,故D正確.故選 .
3.[2021·新高考全國Ⅰ卷] 已知 為坐標(biāo)原點，拋物線
的焦點為，為上一點，與軸垂直，為
軸上一點，且.若，則 的準(zhǔn)線方程為________.
[解析] 不妨設(shè)在第一象限，則，，
故 ，因此直線的方程為，
令，得 ，因此，解得，
所以 的準(zhǔn)線方程為 .
4.[2022·新課標(biāo)Ⅰ卷] 已知雙曲線 的左、
右焦點分別為，.點在上，點在軸上， ，
，則 的離心率為_ ___.
[解析] 方法一（坐標(biāo)法）依題可設(shè),, ，
由，可得，所以 ,
又，所以由可得，即 .
因為點在上，所以，即 ，
即，解得或（舍去），所以 .
方法二（幾何法）由可得，設(shè) ,
，由對稱性可得，易知點 在雙曲線的右支上，
根據(jù)雙曲線的定義可得.
又， ,所以，
所以 ，即，
可得，所以, .
在中，由余弦定理可得 ，
即，得 .
5.[2022·新高考全國Ⅰ卷] 已知橢圓, 的上
頂點為，兩個焦點為,,離心率為.過且垂直于的直線與
交于，兩點，，則 的周長是____.
13
[解析] 不妨設(shè),分別為橢圓的左、右焦點，
在第一象限，如圖，連接,, .
因為橢圓的離心率,所以,則 ,
所以,可知 為等邊三角形,
所以直線為的中垂線,則的周長等于 的周長，
由橢圓的定義知 的周長為.
易知直線的方程為 ,由
消去 ,整理得 ,
設(shè),,則 , ,
由,可得 ,
所以 .
［備選理由］例1考查求雙曲線的離心率和漸近線；例2考查直線與
圓錐曲線的綜合，涉及角平分線的性質(zhì)；例3考查橢圓的離心率；例
4根據(jù)焦點三角形的邊長關(guān)系，利用余弦定理即可求解；例5、例6考
查圓錐曲線與三角形性質(zhì)或者三角恒等變換或基本不等式等其他知
識相結(jié)合，作為補(bǔ)充使用.
例1 ［配例1、例2使用］ 已知雙曲線 的
左、右焦點分別為，，的三個頂點都在上，且直線
過原點，直線，斜率的乘積為3，則雙曲線 的離心率為___，
雙曲線 的漸近線方程為__________.
2
[解析] 根據(jù)題意可設(shè)，，
因為 的三個頂點都在上，且直線過原點，
所以 ，所以， ，
則.
因為的三個頂點都在 上，所以，，
由可得 ，所以，所以 ，
故雙曲線的離心率為 ，
雙曲線的漸近線方程為 .
例2 ［配例3使用］ [2024·安徽三模] 已知拋物線 與直線
交于，兩點，點在線段上，且 ，
若點在直線上，則 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 已知直線,設(shè)直線, 的方程分別為
,,記點到直線的距離為 ,
因為，所以點到直線的距離也為 ,
則由點到直線的距離公式可得, ,
整理得, ,
故,是關(guān)于的方程 的兩個根,
故.
設(shè)，，則，故 .
由 消去整理得 ，
所以，即 ，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，則，
故，解得 ，滿足題意，故選A.
例3 ［配例2使用］ [2024·江西鷹潭一模] 已知橢圓
的左焦點為，過點作傾斜角為 的
直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若
（為坐標(biāo)原點），則橢圓 的離心率為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依題意,橢圓的左焦點為, ,
過作軸,垂足為,由 ,
得,,則 .
設(shè),,則有, ,,
由, ,兩式相減得 ,
則有 ,
所以 .故選B.
例4 ［配例2使用］ [2024·浙江溫州三模] 已知, 分別是橢圓
的左、右焦點，上兩點, 滿足
，，則橢圓 的離心率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可知，設(shè) ，
則，,,.
在 中，由余弦定理可得
，化簡可得，
即，故 或（舍去），
又 ,
所以 ，
化簡可得，即，
故 ，所以 .故選D.
例5 ［補(bǔ)充使用］ [2024·溫州三模] 過拋物線
的焦點的直線交拋物線于,兩點，點，沿 軸將坐標(biāo)系翻
折成直二面角，當(dāng)三棱錐的體積最大時， __.
[解析] 因為直線過焦點 ，且與拋物線交于兩個不同的點，
所以設(shè)其方程為，由
消去 得，所以，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，三棱錐 的體積最大.
例6 ［補(bǔ)充使用］ [2024·深圳二模] 已知中， ，
雙曲線以，為焦點，且經(jīng)過點，則 的兩條漸近線的夾角為__；
的取值范圍為_ ________.
[解析] 設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為.
設(shè) 的內(nèi)心為，過點向,,作垂線，垂足分別為,, ,
則，設(shè) .
根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，,,，
又因為雙曲線以， 為焦點，且經(jīng)過點，所以 ，
即 .
因為，所以，所以，
所以點 在雙曲線的左支上，所以,
又 ，所以，，
所以 ,，所以，即，
所以 ，所以一條漸近線的傾斜角為，故兩條漸近線的夾角為 .
因為 ，
所以，
而 ，所以 .

展開更多......

收起↑