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微專題20 基本初等函數與函數模型
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 基本初等函數的圖象與性質
例1（1）[2024·江西南昌三模]若，， ，
則正數,, 的大小關系是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得為 與
的圖象的交點的橫坐標.
由，得為 與的
圖象的交點的橫坐標.
由 ，即，得為與 的圖象的交點的
橫坐標.
作出，，， 的圖象如圖所示，
由圖可知， .
（2）已知函數，則滿足 的
的取值范圍是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設，，則 ，
所以 為奇函數.
又，
所以 的圖象是由的圖象向右平移2個單位長度得到的，
所以 圖象的對稱中心為，所以.
因為在 上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，則在 上單調遞增.
因為 ，
所以，所以，解得 ，
故滿足的的取值范圍為 .故選B.
【規律提升】
比較大小的方法：（1）直接利用函數的單調性比較大小（或轉化到
同一單調區間比較大小）；
（2）數形結合，利用圖象來比較大小，如例；
（3）構造函數，利用單調性比較大小（多結合導數）.
自測題
1.[2024·武漢四月調研]記,, ，則
( )
A. B. C. D.
[解析] 因為，冪函數在 上單調
遞增，，所以，所以 .
因為對數函數在 上單調遞減，所以
，故 .故選D.
√
2.已知實數,滿足 ，則( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因為，所以，又 為
增函數，故.
對于A，因為 為減函數，所以，故A錯誤；
對于B，當, 時，，故B錯誤；
對于C， ，故C正確；
對于D，當,時，與 均為增函數，所以
, ，此時
，故D錯誤.故選C.
微點2 函數模型
例2（1）[2024·廣東梅州模擬] 某科創公司新開發了一種溶液產品，
但這種產品含有的雜質，按市場要求雜質含量不得超過 ，現
要對溶液進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少 ，要使產品達到
市場要求，對該溶液過濾的最少次數為___.
（參考數據：， ）
8
[解析] 設至少需要過濾次，可得，即 ，
兩邊取常用對數，可得，所以 ，
又因為*，所以 ，所以要使產品達到市場要求，對該溶液
過濾的最少次數為8.
（2）[2024·北京朝陽區二模]假設某飛行器在空中高速飛行時所受的
阻力滿足公式，其中 是空氣密度， 是該飛行器的迎
風面積，是該飛行器相對于空氣的速度， 是空氣阻力系數
（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢
程度的物理量為功率.當 ,不變，比原來提高 時，下
列說法正確的是( )
A.若不變，則比原來提高不超過
B.若不變，則比原來提高超過
C.為使不變，則比原來降低不超過
D.為使不變，則比原來降低超過
√
[解析] 由題意，,，所以， .
對于A，B,當 ,，C不變，比原來提高 時，提高后的功率
，所以
比原來提高，故A錯誤，B錯誤；
對于C，D,當 ,， 不變，比原來提高 時，提高后的空氣阻力
系數,因為 ,所以C比原來降低不超過
，故C正確，D錯誤.故選C.
【規律提煉】
解決有關實際應用的問題，常構造函數模型,通過解方程或者利用導數
研究函數的單調性來解決問題,關鍵是通過題目構造合適的函數模型.
自測題
2024年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球
探測兩大任務.目前，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃
穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，
則當空間站運行周期增加1倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是
（參考數據：， ）( )
A.1.587 B.1.442 C.0.587 D.0.442
√
[解析] 設空間站運行周期為，其圓軌道半徑為 ，由空間站運行周
期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，得 .
當空間站運行周期增加1倍時，設此時半徑為，則 ，
兩式相除得，即,
則 ，故 ，
故圓軌道半徑增加的倍數大約是 .
1.[2023· 新課標Ⅰ卷]設函數在區間單調遞減，則
的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因為在 上是增函數，所以根據復合函數的單調性可
得在上單調遞減，故 ，解得
，故選D.
√
2.[2021· 新高考全國Ⅱ卷]已知,, ,則下列判斷
正確的是( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
，故選C.
√
3.[2020·全國新高考Ⅰ卷]基本再生數與世代間隔 是新冠肺炎的流
行病學基本參數.基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間
隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可
以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間
（單位：天）的變化規律，指數增長率與， 近似滿足
.有學者基于已有數據估計出， .據此，在
新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為
( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
√
[解析] ,,, ，代入指數模型得
.
設初始時間為，到 時累計感染病例數增加1倍，則
，等號兩邊同時取自然對數得
，則 .
4.[2024·北京卷]生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，
其中, 分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度
指數越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數 沒有變
化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由2.1提高到 ，
則( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意得,，則 ，即
，所以 .故選D.
√
5.[2021·全國甲卷]青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可
借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五
分記錄法的數據和小數記錄法的數據滿足 .已知某同學
視力的五分記錄法的數據為 ，則其視力的小數記錄法的數據約為
( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
[解析] 依題意得，，則 ，所以
，故選C.
√
［備選理由］例1考查利用指數型函數與二次函數的性質解決不等式；
例2考查利用函數模型解決實際問題.
例1 ［配例1使用］ 已知函數 ，且
.若當時， 恒成立，則 的取值范圍為
__________.
[解析] 因為 ，所以，又因為，所以 ，得，所以.
當時， 恒成立，
等價于當時， 恒成立，
令,，則 ，原不等式等價于對 恒成立，則解得,
故的取值范圍為 .
例2 ［配例2使用］ （多選題）[2024·重慶模擬] 放射性物質在衰變
中產生的輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數量隨
時間的衰變公式，表示物質的初始數量， 是一個
具有時間量綱的數，研究放射性物質常用到半衰期，半衰期 指的是
放射性物質數量從初始數量到衰變成一半所需的時間，下表給出了
鈾的三種同位素 的取值.若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為
，， ，則( )
物質 的量綱單位 的值
鈾234 萬年 35.58
鈾235 億年 10.2
鈾238 億年 64.75
A. B.與 成正比例關系
C. D.
√
√
[解析] 對于A，由題意得，故 ，兩邊同時取對數
得，，則，故A錯誤；
對于B，由A可知，與 成正比例關系，故B正確；
對于C，由B可知，與 成正比例關系，
由于鈾234的 值小于鈾235的 值，故 ，故C錯誤；
對于D，， ，
故，故D正確.故選 .

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