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微專題19 函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用
2025 高考第二輪專題 數(shù)學(xué)
微點(diǎn)1 函數(shù)圖象與函數(shù)解析式
例1（1）[2024·全國(guó)甲卷]函數(shù) 在區(qū)間
的圖象大致為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 顯然的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以 為偶函數(shù)，排除A,C.
因?yàn)?,易知,
,所以 ，排除D.
故選B.
（2）已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù) 的解析式
可能為( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由圖可知，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，
函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集，故排除B，C；
D選項(xiàng)中，當(dāng) 時(shí)， ，不符合
圖象，故排除D.
故選A.
【規(guī)律提煉】
函數(shù)圖象與函數(shù)解析式都是函數(shù)的表達(dá)方式，做這種類型的問(wèn)題要
從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)突破，同時(shí)也考慮從是否
過(guò)定點(diǎn)或判斷特殊函數(shù)值的正負(fù)突破.
自測(cè)題
1.函數(shù) 的大致圖象是( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)椋?，故排
除C，D；
當(dāng)時(shí)， ，排除A.故選B.
√
2.[2021·浙江卷]已知函數(shù), ,則圖象為如圖的
函數(shù)可能是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由題知，圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù).
因?yàn)闉榕己瘮?shù)， 為
奇函數(shù)，所以 ,
都是非奇非偶函數(shù)，排除A，B；
設(shè),則 ,
所以 ,與圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性
不符，排除C.故選D.
微點(diǎn)2 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
角度1 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性
例2（1）[2020 ·全國(guó)卷Ⅱ]若 ，則( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：設(shè),則在 上單調(diào)遞增.由題知
,即,得,則 ,所以
.
方法二：取， ，可排除選項(xiàng)B,C,D.故選A.
√
（2）[2024 · 新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)函數(shù) ,
（為常數(shù)）,當(dāng)時(shí)，曲線 與
恰有一個(gè)交點(diǎn)，則 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一：令 ，則
為偶函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，曲線與 恰有一個(gè)交點(diǎn)，
所以,得 .
√
方法二：令 ，得 ，即
設(shè) , ,
易知,都為偶函數(shù).
當(dāng) 時(shí)，,,故曲線
與無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng) 時(shí)，作出與的大致圖象，如圖
所示，因?yàn)榍€ 與恰有一個(gè)
交點(diǎn)，且,所以,則 .
自測(cè)題
1.[2024 · 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)在 上
單調(diào)遞增，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[解析] 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,且 ,
解得 ,故選B.
√
2.[2023 · 新課標(biāo)Ⅱ卷]若為偶函數(shù)，則 ( )
A. B.0 C. D.1
[解析] 方法一：由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?.
令，則，所以 為奇函數(shù).
令，由為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，
所以 ，故選B.
方法二：由題知函數(shù)為偶函數(shù)，則 ，故
，解得 ，故選B.
√
3.已知定義在上的函數(shù)滿足 ，且對(duì)任意
，都有 成立，則不等式
的解集為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 設(shè)，則 .
由，得 ，
所以為偶函數(shù).
因?yàn)閷?duì)任意 ，都有成立，
所以在 上單調(diào)遞增，
又為偶函數(shù)，所以在 上單調(diào)遞減.
由得 ，
又 ，所以原不等式等價(jià)于
，所以，解得 ，故原不等式的
解集為 .故選D.
角度2 函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性
例3（1）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意 ，都有
，當(dāng)時(shí)， 等于( )
A.2 B. C.0 D.
[解析] 對(duì)任意，都有， 函數(shù) 的圖
象關(guān)于直線對(duì)稱，，
又 是奇函數(shù)，，
， 是周期為4的周期函數(shù)，則
.
√
（2）[2024·江蘇南通三模]已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>為偶函數(shù)，為奇函數(shù).若，則 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
√
[解析] 由為偶函數(shù)，得，則 的圖
象關(guān)于直線對(duì)稱.
由 為奇函數(shù)，得，
即 ，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
由的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱得，
則 ，則，
兩式作差得，所以 為周期函數(shù)，且周期為4.
因?yàn)椋?，所以，
因?yàn)椋?，所以，
，則 ，所以
.
【規(guī)律提煉】
1.奇偶性的本質(zhì)是函數(shù)圖象具有相應(yīng)的對(duì)稱性，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原
點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)兩邊單調(diào)性不變；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)稱
軸兩邊單調(diào)性相反.
2.記住常見(jiàn)的二級(jí)結(jié)論（由對(duì)稱性得到周期）對(duì)提高解題速度很有幫
助，可類比三角函數(shù)的對(duì)稱性和周期的關(guān)系記憶.
自測(cè)題
1.[2024·紹興柯橋區(qū)三模]已知函數(shù) 為偶函數(shù)，若函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以 ，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
令 ，則，
所以函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以函數(shù) 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
又 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，所以，
所以 .故選C.
2.[2024·合肥三模]已知定義在上的偶函數(shù)滿足 且
，則 ( )
A.4049 B.2025 C.4048 D.2024
√
[解析] 由，令，得，令 ，得
，令，得，
又 ，所以 .
因?yàn)椋?br/>，所以 ，
則是周期函數(shù)且周期為4，則，
所以 .
3.（多選題）[2023· 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)的定義域?yàn)?,
，則( )
A. B.
C.是偶函數(shù) D.為 的極小值點(diǎn)
√
√
√
[解析] 方法一：對(duì)于A，令，得 ，
故A正確.
對(duì)于B，令，得，則 ，故B正確.
對(duì)于C，令 ，得，
則，令 ,則，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函數(shù)，故C正確.
對(duì)于D，不妨令，顯然 符合題設(shè)條件，
此時(shí)無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.故選 .
方法二：對(duì)于A，令 ，得 ，故A正確.
對(duì)于B，令，得，則 ，故B正確.
，
則，令 ,則，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函數(shù)，故C正確.
對(duì)于D，當(dāng) 時(shí)，兩邊同時(shí)除以 ，
得到，
設(shè) ， 則
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，
令，得，令 ，得，
故在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?為偶函數(shù)，所以在
上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
顯然，此時(shí)不是 的極小值點(diǎn)，
故D錯(cuò)誤.故選 .
1.[2021·全國(guó)乙卷]設(shè)函數(shù) ，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：,所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱.
因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱，所以需要將函數(shù) 的圖象
向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，故選B.
√
方法二：對(duì)于A， ,故
不是奇函數(shù)，故A不正確；
對(duì)于B, 是奇函數(shù)，故B正確；
同理，，顯然 ,
的圖象均不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此都不是奇函數(shù)，
故C，D不正確.故選B.
2.[2018· 全國(guó)卷Ⅲ]函數(shù) 的圖象大致為( )
A. B. C. D.
[解析] ，當(dāng) 時(shí)，函
數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.
又函數(shù) 為偶函數(shù)，故選D.
√
3.[2017· 全國(guó)卷Ⅲ]已知函數(shù) 有唯
一零點(diǎn)，則 ( )
A. B. C. D.1
[解析] ，
,，則直線為 圖象的對(duì)稱軸.
有唯一零點(diǎn)，的零點(diǎn)只能為 ，即
，解得 .
√
4.[2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷]若函數(shù)的定義域?yàn)?，且
,，則 ( )
A. B. C.0 D.1
√
[解析] 方法一：賦值加性質(zhì).
令,，可得，所以，
令 ，可得，即，
所以函數(shù) 為偶函數(shù).
令，得 ，
則，則 ，
，故，即 ，
所以函數(shù) 是周期函數(shù)，其周期為6.
因?yàn)?，
， ，
， ，
所以 ，
所以
故選A.
方法二：構(gòu)造特殊函數(shù).
令,，可得，所以 ，
由 ，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，設(shè) .
由,知,，得，取 ，
所以 ，則 ，
所以滿足題意，因此 的最小正周期 ，
又,，,,, ,
，所以 ，所以
.故選A.
5.（多選題）[2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷] 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)
的定義域均為，記.若, 均為偶函數(shù)，
則( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 方法一：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系.
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以 ，即
，所以的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，則
，故C正確.
對(duì)于，因?yàn)?為偶函數(shù)，所以，所
以的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱.
由①求導(dǎo)，得，即 ，
又，所以 ，所以，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，令 ，得,所以，
又的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，所以的周期，
所以 ，，故B正確，D錯(cuò)誤.
若函數(shù) 滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)
條件，所以無(wú)法確定 的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選 .
方法二：特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知的周期為2，且圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，可設(shè)
，則 （C為常數(shù)），顯然A，D錯(cuò)誤，
故選 .
方法三：因?yàn)椋?均為偶函數(shù)，所以
，即 ，，
所以， ，則，故C正確；
函數(shù)， 的圖象分別關(guān)于直線,對(duì)稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以 , ，
所以 ，
所以，所以 ，
，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù) 滿足題設(shè)條件，則函數(shù) （C為常數(shù)）也滿足
題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選 .
［備選理由］例1是函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，在判斷單調(diào)性
時(shí)，需要適當(dāng)構(gòu)造；例2涉及抽象函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的綜合.
例1 ［配例2使用］ [2024·廣西柳州三模] 設(shè)函數(shù)是定義在 上
的奇函數(shù)，且對(duì)于任意的，，都有 .若
函數(shù)，則不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，
是定義在 上的奇函數(shù)，即 ，
，為奇函數(shù).
對(duì)于任意的，，都有， 對(duì)于任意的 , ，
都有，當(dāng) 時(shí)，有
，即， ，單調(diào)遞增.
，，
，整理可得，，解得或 ，故選D.
例2 ［配例3使用］ （多選題）[2024·湖南邵陽(yáng)二模] 已知函數(shù)
在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)函數(shù)為.若 ,
為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 對(duì)于D，因?yàn)?，所以
，即，所以 是周期為4的周期函數(shù)，
又 ，
所以，故D正確；
對(duì)于A，由 為奇函數(shù)知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以
，由得 ，即
，所以，可得 ，故A 正確；
對(duì)于B，C，由得 是周期為4的周期函數(shù),
又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)
稱，則有，即 ，所以
，
令，得，故 ，
所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又 ，,所以 ，
故B錯(cuò)誤，C正確.故選 .

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