資源簡介

第八章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
第4課時 三角形的外角及外角和
本節課《三角形的外角及外角和》是華東師大版初中數學七年級下冊第八章第一節《與三角形有關的邊和角》第四課時的內容．本節課的內容是在學習了三角形的內角和基礎上進行探究的，前面已經初步了解了三角形外角的概念，本節課重點探究并掌握三角形的外角性質及外角和，學會用幾何方法證明三角形的外角和，并且學會應用三角形外角性質及外角和解決幾何問題．
學生已了解了三角形外角的概念，但三角形的外角究竟有什么樣的性質，外角和是怎樣的，都沒有進行深入的探究．到了本節課，學生已經具備了一定的幾何知識和邏輯推理能力，能夠利用三角形的內角和及簡單的幾何推理得到三角形的外角性質及外角和．然而，部分學生可能在幾何語言的表達和邏輯推理上存在困難，因此教學中需要注重引導和啟發，幫助學生逐步掌握幾何證明的方法．
1．理解三角形的外角的兩條性質以及三角形的內角和與外角和．
2．會利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”進行有關計算．
3．聯系三角形外角和內角的定義、鄰補角的性質，探索三角形的外角的兩條性質和三角形的外角和．
4．結合實踐與應用，充分感受三角形外角的性質，體會三角形的外角和它不相鄰兩個內角之間的關系轉化．
重點：理解三角形的外角的兩條性質以及三角形的內角和與外角和．
難點：應用三角形外角性質及外角和解決簡單的幾何問題．
復習回顧
問題1：如圖，△ABC中內角是什么，有什么關系？
答：每兩條邊所組成的角．三角形的內角和等于180°．
問題2：什么是外角呢？
答：三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角．
問題3：三角形的外角具有哪些性質呢？
設計意圖：回顧舊知，為接下來探究三角形的外角性質做鋪墊．
探究新知
活動一：三角形的外角性質
探究：以同桌為一個小組，請同學們拿出撕開的三角形，觀察三角形的內角與外角之間有什么聯系，看看哪個小組完成的最快，最先發現問題．
大家得出了什么結論呢？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
歸納：一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和兩個不相鄰的內角．
外角＋相鄰的內角＝180°
思考：外角∠CBD與其他兩個不相鄰的內角又有什么關系呢？
依據三角形的內角和等于180°，我們有
由上面兩個式子，可以推出
因而可以得到外角∠CBD與兩個不相鄰的內角之間的關系：
歸納：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
如圖，
試一試：判斷下列角的大小．
∠CBD______∠C，∠CBD______∠A
解：根據，可得，．
歸納：三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角．
設計意圖：通過動畫演示，感受三角形的內角與外角的關系，并進行推導證明，從而得到外角的兩個性質．
活動二：三角形的外角和
思考：(1)觀察圖形，形成了幾個外角？
師生活動：教師提出問題，學生觀察思考，再舉手回答問題．
答：（1）三角形有6個外角，每個頂點處有2個外角，它們是一對對頂角．
從與每個內角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和．
思考：（2）如何求三角形的外角和？
做一做：求三角形的外角和．
如圖，，，．
三式相加，可以得到
， ①
而②
將①與②相比較，你能得出什么結論？
答：
由此可知：三角形的外角和等于360°．
思考：還有其它的方法說明這一結論嗎？
如圖，試說明△ABC的外角和等于360°．
解：過點A作，
∴，（兩直線平行，同位角相等）．
又∵，
∴．
∴△ABC的外角和等于360°．
設計意圖：明確三角形外角和的概念，并引導學生推導三角形的外角和，培養學生自主學習的習慣，在邏輯推理中得出探究答案，提高幾何邏輯推導能力．
應用新知
經典例題
例 如圖，D是△ABC的邊BC上一點，，，．
（1）求∠B的度數；
（2）求∠C的度數．
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)．
又∵（已知），
∴（等量代換）．
（2）∵（三角形的內角和等于180°），
∴（等式的性質）．
又∵（已求），（已知），
∴（等量代換）．
設計意圖：通過例題的學習，明確解題的思路，規范學生的作答的書寫格式，培養學生的動手動腦能力，感受幾何的魅力．
課堂練習
1．一個三角形可以有兩個內角都是直角嗎？可以有兩個內角都是鈍角或銳角嗎？為什么？
解：一個三角形不可以有兩個內角都是直角，不可以有兩個內角都是鈍角，可以且一定有兩個內角都是銳角．
當一個三角形中有兩個直角或鈍角時，三個內角之和會大于180°，這與三角形的內角和等于 180°矛盾．
2．說出下列各圖中∠1的度數．
答：①90°，②95°，③85°．
3．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，．
（1）求∠EBC的度數；
（2）求∠A的度數．
對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當的內容（理由或數學式）．
解：(1)∵（已知），
∴．
∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∴（等量代換）．
(2)∵（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），
∴（等式的性質）．
∵（已知），∴（等量代換）．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解三角形的外角及外角和，培養學生的應用意識．
課堂檢測
限時訓練
如圖，∠CBD是△ABC的一個外角，若，，則_____．
答：36°．
2．如圖，說出圖形中∠1和∠2的度數．
答：40°，140°；110°，70°；50°，140°．
3．如圖，是一個五角星，求的度數．
解：∵，
，
，
∴．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對本節課所學內容的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．三角形的外角性質有哪些？
3．三角形的外角和是多少？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
你還有其他方法證明三角形外角和是360°嗎？與同學交流！
《三角形的外角及外角和》是初中幾何的核心內容之一，它不僅是探究多邊形內角和的基礎，更是培養學生邏輯推理能力和嚴謹數學思維的關鍵環節．課堂中通過小組合作、問題鏈引導，激發學生主動探究，逐步掌握性質的證明與應用．整體來看，學生通過實踐操作和思維碰撞，能夠較好地掌握外角和定理及其推導方法，并能在例題和變式練習中靈活運用，為以后的學習打下基礎．

展開更多......

收起↑