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微專題17 圓錐曲線熱點問題（一）
求值計算類
2025 高考第二輪專題 數學
微點1 求值問題
例1 [2024· 新課標Ⅰ卷] 已知點和點 分別為橢圓
上的兩點.
（1）求 的離心率；
解：由題意得 解得
.
（2）若過點的直線交于另一點，且的面積為9，求直線
的方程.
解：方法一：易知直線的斜率，
則直線 的方程為，即 ，
，
由（1）知橢圓 的方程為，設點到直線的距離為，
則 ,解得 .
設過點且與直線平行的直線為,又與間的距離為，
點 在橢圓上，的方程為，
由 解得或 即或 .
當的坐標為時,,直線的方程為 ,即 ；
當的坐標為時,,直線的方程為 ,即 .
綜上，直線的方程為或 .
方法二：易知直線的斜率，
則直線 的方程為，即 ，
,
由(1)知橢圓 的方程為,設點到直線的距離為,
則 ,解得 .
設,其中 ,
則有 ，又，
或即 或 .
當的坐標為時,,直線的方程為 ,即 ；
當的坐標為時,,直線的方程為 ,, 即 .
綜上，直線的方程為或 .
方法三：易知直線的斜率，
則直線 的方程為，即 ，
，
由（1）知橢圓 的方程為，設點到直線的距離為，
則 ,解得 .
當直線的斜率不存在時，此時，
，符合題意，
此時，直線的方程為 ，即 ；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為 ，
由得，其中，即 ，
解得或，， ，
令，則 ，則 ，
則，解得，此時 ，
則得到此時，直線的方程為，即 .
綜上直線的方程為或 .
方法四：當的斜率不存在時，,,,
到 的距離，此時不滿足條件.
當 的斜率存在時，設，
令, ，由
消 可得 ，
，
且 ，即 ，
，
到直線的距離 ,，
或，直線 的方程為或 ,
即或 .
方法五：當的斜率不存在時，,,,
到 的距離，此時不滿足條件.
當直線 斜率存在時，設，設與軸的交點為，
令 ，則 ，由
得 ，
其中 ，
且，則, ，
則，
解得 或，則直線的方程為或，
即 或 .
【規律提煉】
求線段的長度、圖形的面積、點到直線的距離等問題是圓錐曲線的
常見問題，其解決問題的主要策略是通過設點或設線，將幾何問題
代數化，從而解決問題.
自測題
[2024·南昌二模] 已知橢圓經過點,
為橢圓的右頂點，為坐標原點，的面積為 .
（1）求橢圓 的標準方程;
解：因為的面積為 ，所以，解得 ，
又因為在橢圓 上，則，解得 ，
所以橢圓的標準方程為 .
（2）過點作直線與橢圓交于，，關于原點 的對稱
點為，若，求直線 的斜率.
解：連接，因為,為的中點，所以 ，
設,，易知直線的斜率不為0,
設直線 的方程為，由
消去，得 ，
則有, ，
因為，則有，則 ，
即 ，
即，
即，解得 ，所以直線的斜率為 .
微點2 定點、定值問題
例2-1 [2024·江西九江三模] 在平面直角坐標系 中，已知拋物線
的焦點為,是上第一象限內的動點.當直線
的傾斜角為時， .
（1）求 的方程；
解：由題意可知，拋物線的焦點為，準線為，
過點 作軸的垂線，垂足為，作準線的垂線，垂足為 ，
由拋物線定義可得，
因為直線的傾斜角為，所以 ，
可得，解得，所以的方程為 .
（2）已知點,,是上不同兩點，若四邊形 是平行四邊
形，證明：直線 過定點.
證明：設直線的方程為,,, ，
則消去整理得,
則 ,, .
因為四邊形 是平行四邊形,
所以 即 ，
代入中得，
整理得 ，
則直線 ，
所以直線過定點 .
例2-2 已知橢圓的右焦點為，在點
處的切線分別交直線和直線于, 兩點.
（1）求證：直線與 相切.
證明：由
整理得 ，又因為，
即，所以 ，即，
此方程有唯一解，即直線 與橢圓 相切.
（2）探究： 是否為定值？若是,求出該定值；若不是,請說明理由.
解：由（1）知，直線的方程為，即 ，
將和分別與上式聯立，由題意可得, ，
因為，所以 ，
，所以，即為定值 .
【規律提煉】
圓錐曲線的定點、定值問題是常考題型，考查知識間的聯系與綜合.
其主要涉及曲線上的動點和動直線，所以常用的方法是設動點或設
動直線，即引入參數來解決問題，或考慮到定點、定值必定對符合
要求的一些特殊情況成立，也可以由特殊到一般的方法來解決.
自測題
1.已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線 經過點
，且其漸近線的斜率為 .
（1）求 的方程;
解：由題可設雙曲線的方程為.
因為 經過點 ，所以 ，
解得，故的方程為 .
（2）若動直線與交于,兩點，且，證明： 為定值.
證明:設，，若直線的斜率存在，設 ，
由消去得 ，
，即 ，
所以, ，
因為，所以，即 ，
所以，整理得 .
設點到直線的距離為，
則由等面積法得 ，所以，
又 ，所以 .
若直線的斜率不存在，則直線的斜率為，
不妨設直線 的斜率為1，則，
將點的坐標代入方程，得 ，
所以, ，所以 .
綜上，為定值 .
2.已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在 軸上，且
橢圓過點 .
（1）求橢圓 的方程.
解：設橢圓的方程為 .
由題意得解得所以橢圓的方程為 .
（2）設為原點，不經過橢圓的頂點的直線與橢圓 交于兩點
，，直線與直線交于點，點 與
點 關于原點對稱.
（ⅰ）求點的坐標（用， 表示）；
解：由題可知,且.
設直線 的方程為,直線的方程為 .
由得 所以的坐標為 .
（ⅱ）若，，三點共線，求證：直線 過定點.
證明：由題可知，直線的斜率存在.設直線的方程為 ，
由得，
由于直線 與橢圓 交于不同的兩點，
所以 ，
則， .由題可知 .
因為，， 三點共線，所以 ，
化簡得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
化簡得 ，
即，解得或 .
當時，直線的方程為，
直線過點 ，不符合題意.
當時，直線的方程為，
直線 過點，其中 .
綜上，直線經過定點 .
微點3 最值范圍問題
例3 已知橢圓的中心在原點，左焦點為 ，其四個頂點的
連線圍成的四邊形面積為 .
（1）求橢圓 的標準方程；
解：根據題意可知橢圓的焦點在軸上，
設橢圓 的標準方程為 ，
橢圓四個頂點的連線圍成的四邊形是菱形，兩條對角線互相垂直，
且兩條對角線長分別為， ，則，即，
因為左焦點為 ，所以，可得 ，
由解得 故橢圓的標準方程為 .
（2）過橢圓的左焦點作斜率存在的兩直線， 分別交橢圓于
，，，，且，線段，的中點分別為， ，求
四邊形 面積的最小值.
解：因為直線，的斜率存在，且，
所以直線， 的斜率均存在且不為0，
因此設直線，的斜率分別為， ，
又，所以直線的方程為，
直線 的方程為，
設，，，的坐標分別為， ，， ，
由得 ，
，
因為， 是該方程的兩根，
所以由根與系數的關系可得
由弦長公式可得 ，
則 ，
同理可得， .
因為，分別是線段，的中點，且 ，
所以，，，
則 ，所以 ，
當且僅當，即 時，等號成立.
故四邊形面積的最小值為 .
【規律提煉】
求最值及范圍問題常用的兩種方法：
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖
形性質來解決；
（2）代數法：題中所給出的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以
建立目標函數，再求該函數的最值，求函數的最值常見的方法有基
本不等式法、單調性法、導數法和三角換元法等.
自測題
[2024·浙江五校模擬] 已知橢圓的左焦點為 ，
橢圓上的點到點距離的最大值和最小值分別為和 .
（1）求該橢圓的方程；
解：令,設是橢圓 上的點,
則, ,
則 ,
顯然當時,,當 時,,
則解得 所以橢圓的方程為 .
（2）對橢圓上不在上、下頂點的任意一點，其關于 軸的對稱點記
為，求 ；
解：記橢圓的右焦點為，由橢圓對稱性知， ，
所以 .
（3）過點作直線交橢圓于不同的兩點，，求 面積的
最大值.
解：顯然直線不垂直于軸，
設直線的方程為 ，, ，
由消去得 ，
，
則 , ，
，
因此，
令 ，所以，
當且僅當，即 時取到等號，
所以面積的最大值為 .
1.[2020·海南卷] 已知橢圓過點 ,點
為其左頂點，且的斜率為 .
（1）求 的方程；
解：由題意可知直線的方程為，即 .
當時，解得，所以 ，
由橢圓過點，可得 ，
解得，所以的方程為 .
（2）點為橢圓上任意一點，求 的面積的最大值.
解：設與直線平行的直線方程為 ，
由直線方程與橢圓方程，
可得 ，
化簡可得 ，
當直線與橢圓 相切時，
，解得 ，
與距離比較遠的直線方程為，
當為直線 與橢圓的切點時，的面積最大，
點到直線的距離 等于直線與直線之間的距離，
所以 ，易知,
所以 的面積的最大值為 .
2.[2022·新高考全國Ⅰ卷] 已知點 在雙曲線
上，直線交于，兩點，直線， 的
斜率之和為0.
（1）求 的斜率；
解：將點的坐標代入雙曲線的方程得，
可得 ，故雙曲線的方程為 .
由題知，直線的斜率存在，設直線的方程為 ，
，，聯立直線與雙曲線 的方程，
可得 ，
則，， .
由題知 ，
化簡得 ，
則 ，
可得 ，
因為直線不過點，所以，
所以，即直線 的斜率為 .
（2）若,求 的面積.
解：設直線的傾斜角為，
由 ，可得 ，由，
可得 ，即 ，
又，所以，，
代入直線 的方程，可得，則， .
因為， ，
由，可得 ，
所以
.
3.[2023· 新課標Ⅰ卷] 在直角坐標系中，點到軸的距離等于點
到點的距離，記動點的軌跡為 .
（1）求 的方程；
解：設,則 ，
兩邊同平方并化簡得，故的方程為 .
（2）已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形 的周長大
于 .
證明：方法一：設矩形的三個頂點為, ,
在上,且 ，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則, ,
令，同理令 ，
且由，得，則 .
設矩形周長為,由對稱性不妨設 ，
，
則，易知 ，
則令,,則 ,
令，解得，
當時，，此時 單調遞減，
當，，此時 單調遞增，
則，故,即.
當 時,,,且，即 時等號成立，矛盾，故 ,得證.
方法二：不妨設，，三點在上，且有 ， 設，
直線,的斜率分別為， ，由對稱性不妨設 .
由可得 ，
由根與系數的關系得，所以 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
令，設 ，
可得 ，
所以在上單調遞減，在上單調遞增,
所以在 上的最小值為 .
所以，分析可知， 取不到，所以矩形的周長為 ，故得證.
［備選理由］例1以圓為載體證明直線過定點，對計算能力要求較高；
例2考查點到直線的距離的最值問題.
例1 ［配例2使用］ [2024·福建泉州模擬] 已知橢圓
的離心率為，左、右焦點分別為， ，
焦距為2，點在橢圓 上.
（1）求橢圓 的標準方程；
解：設橢圓的半焦距為，由題意得可得
故橢圓的標準方程為 .
（2）設點，在橢圓上，直線， 均與圓
相切,證明：直線 過定點.
證明：因為點在橢圓上，所以 ，
可得，所以，易知直線和直線 的斜率均存在，
設直線的方程為，
直線 的方程為 ，
因為與圓相切，圓的圓心為,半徑為,所以 ，
即 ，即 ，
同理， ，
所以,是方程 的兩根，所以 .
設,，易知直線的斜率存在，
設直線 的方程為 ，將代入 ，
得 ，
所以①， ，
所以 ，
，
，
將①②③④代入⑤，化簡得 ，
可得 .
若，則直線 ，
此時直線過點 ，不合題意.
若，則直線 ，
此時直線恒過點 .
綜上，直線過定點 .
例2 ［配例3使用］ [2024·安徽合肥一模] 已知拋物線
的焦點為，過點的直線與交于, 兩點，
過,作的切線,交于點，且,與軸分別交于點, .
（1）求證： ；
證明：因為拋物線的焦點為，所以，
即 的方程為 ，設點,，
由題意可知直線 的斜率一定存在，設，
由得 ，所以,.
由，得,所以 ，
所以直線，即，
令 ，得，即 .
同理可得，直線，且 ，
所以 .
由得即 ，
所以，故 .
（2）設點是上異于,的一點，到直線,,的距離分別為 ,
,，求 的最小值.
解：設點，由（1）知直線 ，
即，因為 ，
所以 .
同理可得 ，
所以 .
又 ，
所以 ,當且僅當時，
等號成立，故當直線的斜率為0時， 取得最小值 .

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