資源簡介

第八章 三角形
8.1 與三角形有關的邊和角
第3課時 三角形的內角和
本節課《三角形的內角和》是華東師大版初中數學七年級下冊第八章第一節《與三角形有關的邊和角》第三課時的內容．本節課的學習內容是通過復習小學時學習的三角形內角和簡拼方法，理解并掌握三角形的內角和，學會用幾何方法證明三角形內角和及直角三角形的銳角的關系，并且學會應用三角形內角和解決復雜幾何問題．這是在初步認識三角形和研究了平行線基礎上進行的，是進一步研究三角形的外角的性質，進一步認識三角形、多邊形等圖形的特征的基礎．
學生在小學階段已經通過測量和拼接的方法初步驗證了三角形的內角和為180°，但缺乏嚴格的幾何證明．到了七年級下冊，學生已經具備了一定的幾何知識和邏輯推理能力，能夠理解平行線的性質和簡單的幾何證明．然而，部分學生可能在幾何語言的表達和邏輯推理上存在困難，因此教學中需要注重引導和啟發，幫助學生逐步掌握幾何證明的方法．
1．能理解三角形的內角和是180°及直角三角形兩個銳角的關系．
2．在探究三角形內角和的過程中，通過對三角形內角和及其推論進行推導證明，培養學生的幾何直觀能力．
3．學會應用三角形內角和定理解決簡單的幾何問題，感受數學語言的簡潔美，培養邏輯推理能力，并能將學到的知識應用到生活中去，提高應用意識．
4．經歷各式各樣的生活情境，體會幾何與生活的緊密聯系，培養學生空間想象和解決實際問題的能力．
重點：理解并掌握三角形內角和等于180°及直角三角形兩個銳角的關系．
難點：應用三角形內角和定理及直角三角形的性質解決簡單的幾何問題．
情境導入
我們曾撕下三角形的兩個內角，將它們與第三個內角拼在一起，發現三個內角恰好拼成一個平角．
還有折疊的方法:
得出結論：三角形的內角和等于180°．
思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗證三角形的內角和為180°呢？
設計意圖：回顧小學以簡拼和折疊的方法得到三角形的內角和，為下面的探究問題的出現做好鋪墊埋下伏筆．
探究新知
活動一：證明三角形的內角和是180°
思考：我們學過哪些與180°有關的角？
答：1平角＝180°．
通過撕拼的過程，能不能發現一些證明的思路呢？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
如圖，已知△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三個內角，證明．
證明：如圖，延長BC至點E，以點C為頂點，在BE的上側作，
則（同位角相等，兩直線平行），
∵，
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∵，
∴（等量代換）．
追問：你還有其他方法嗎？
證明：過點A作直線l，使．
∵ ，
∴，（兩直線平行，內錯角相等），
∵（平角定義），
∴（等量代換）．
思考：通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發？你能用其他方法證明此定理嗎？
小結：借助平行線的“移角”功能，將三個角轉化成一個平角．
歸納：三角形內角和定理
三角形的內角和等于180°．
幾何語言：
在△ABC中，
°．
設計意圖：通過幾何推導，進一步鞏固三角形內角和是180°的理解，提高推導證明能力，為后面探究三角形外角的性質做準備．
活動二：直角三角形的性質
思考：如圖，在直角三角形ABC中，，∠A與∠B有什么關系？
師生活動：教師提出問題，學生動手測量，再舉手回答問題．
答：∠A與∠B互余，理由如下：
由三角形的內角和等于180°，得
．
又∵，
∴．
即∠A與∠B互余．
歸納：直角三角形的兩個銳角互余．
幾何語言：如圖，在直角△ABC中，
∵，
∴．
注意：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．
設計意圖：培養學生自主學習的習慣，在邏輯推理中得出探究答案，提高幾何邏輯推導能力．
應用新知
經典例題
例1 如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，，．求∠BAC的度數．
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
解：在Rt△ABD中，
∵（直角三角形的兩個銳角互余），
∴（等式性質）．
又∵（已知），
∴（等量代換）．
在△ABC中，
∵(三角形的內角和等于180°)，
∴（等式性質）．
又∵（已求），（已知），
∴（等量代換）．
活動三：直角三角形的判定
思考：我們已經知道，直角三角形的兩個銳角互余．反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？
答：是直角三角形．理由如下：
由三角形的內角和等于180°，得
．
又∵，
∴．
即△ABC是直角三角形．
歸納：有兩個角互余的三角形是直角三角形．
幾何語言：如圖，在△ABC中，
∵，
∴△ABC是直角三角形
例2 在△ABC中，，則此三角形是（ ）．
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．等腰三角形
解：，所以，
根據，所以，解得
所以，，
所以，此三角形是直角三角形．故選B．
師生活動：學生回答，教師點評，全班交流．
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，讓學生加深對三角形內角和的證明方法的認識．激發學生的求知欲望，感受幾何的魅力．
課堂練習
如圖，，則_____．
答：280°．
2．在△ABC中，，．求∠A、∠B和∠C的度數．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
3．在△ABC中，，．求△ABC的各內角的度數．
解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
如圖，在Rt△ABC中，，D、E 分別是邊CB、AB 延長線上的點，． 試說明△BDE是直角三角形．
解：∵，∴．
在△BDE中，∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴△BDE 是直角三角形．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解三角形的內角和及直角三角形中兩銳角的關系．
課堂檢測
限時訓練
1．在一個三角形中，有兩個內角度數分別是25°和55°，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形
B．鈍角三角形
C．直角三角形
D．無法確定
答：B．
2．在△ABC中，，求∠A、∠B、∠C的度數．
解：設，則、
因為三角形內角和等于180°，所以：
，解得，
，
答：∠A為45°，∠B為45°，∠C為90°．
3．將一副普通的直角三角尺ADE和ABC如圖放置，點D恰好落在BC邊上，三角尺中，較長的邊，則∠FAD的度數是（ ）．
A．30° B．25° C．10° D．15°
解：因為，，所以，
由題意得，，所以，
由題意得，，，
所以．故選D．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對本節課所學內容的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．三角形的內角和是多少？
3．如何推導得到三角形內角和？
4．直角三角形兩個銳角的關系如何？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
你還有其他方法證明三角形內角和是180°嗎？跟小伙伴們分享吧！
《三角形的內角和》是初中幾何的核心內容之一，它不僅是探究多邊形內角和的基礎，更是培養學生邏輯推理能力和嚴謹數學思維的關鍵環節．本節課通過“猜想—驗證—應用”的主線展開，將數學知識與生活實際緊密結合．教學中，充分利用學生動手測量（如撕拼法、量角器驗證）等直觀手段，幫助學生從具體操作中抽象出數學結論，深化對“三角形內角和為180°”的理解．課堂中通過小組合作、問題鏈引導，激發學生主動探究，逐步掌握定理的證明與應用．整體來看，學生通過實踐操作和思維碰撞，能夠較好地掌握內角和定理及其推導方法，并能在例題和變式練習中靈活運用，為以后的學習打下基礎．

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