資源簡介

第八章 三角形
8.1 與三角形有關(guān)的邊和角
第2課時 三角形的中線、角平分線和高
本節(jié)課《三角形的中線、角平分線和高》是華東師大版初中數(shù)學七年級下冊第八章第一節(jié)《與三角形有關(guān)的邊和角》第二課時的內(nèi)容．本節(jié)課的學習內(nèi)容是三角形的中線、角平分線和高，并學習三角形的中線、角平分線和高在各類型三角形的特征，這是在學習了三角形的基本概念及分類的基礎(chǔ)上，對三角形的進一步認知，為后續(xù)學習三角形的性質(zhì)、多邊形等知識奠定基礎(chǔ)．
學生在上節(jié)課已經(jīng)接觸過三角形的概念及分類，已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，但對三角形的的認識還不夠多，需要進一步的探究和學習．同時，學生對新鮮事物充滿好奇，喜歡動手操作，但注意力容易分散，需要教師進行有效的引導和激勵．
1．掌握三角形的中線、角平分線和高線，并能在具體的三角形中畫出它們．
2．能應用三角形的中線、角平分線和高線的性質(zhì)解決簡單的數(shù)學問題．
3．經(jīng)歷畫圖、觀察、操作、描述等實踐過程，以此加深對知識的理解，感受數(shù)學語言的準確性．
4．通過教學活動，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望，使學生樂于探究、敢于探究．
重點：掌握三角形的中線、角平分線和高線．
難點：能在具體的三角形中對應的中線、角平分線和高線．
情境導入
觀察動畫，回答問題：
如圖，在△ABC中，點D是BC邊上的一個動點，連接AD，在點D的運動過程中，觀察點D或線段AD有沒有特殊的位置？你認為有哪些特殊位置？
師生活動：學生通過觀察動畫，思考并回答．
設(shè)計意圖：讓學生觀察后思考，發(fā)現(xiàn)在變化過程中出現(xiàn)的特殊的線段，為新課的學習做好準備．
探究新知
活動一：三角形的中線
思考：一塊三角形蛋糕，如何經(jīng)過一個頂點，將其分成面積相等的兩塊蛋糕？
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
答：將三角形蛋糕看成一個三角形，取三角形一邊的中點與對角連線，所分的兩個三角形面積相等，即把蛋糕分成了兩個面積相等的蛋糕．
三角形的中線：如圖所示，取△ABC邊AB的中點E，連結(jié)CE．
線段CE就是△ABC的一條中線．
符號語言：∵CE是△ABC的中線，∴．
提問：你能畫出幾條中線？
答：三角形有3條邊，所以可以畫3條中線
設(shè)計意圖：通過探究活動，提高學生的觀察能力，并引出三角形的中線的概念．發(fā)展學生的語言表述能力及用數(shù)學語言表達問題的能力．
【操作】
（1）在紙上畫出一個銳角三角形，并畫出它的三條中線．它們有怎樣的位置關(guān)系？與同伴進行交流．
（2）直角三角形和鈍角三角形的三條中線也有同樣的位置關(guān)系嗎？折一折，畫一畫，并與同伴進行交流．
引導學生動手畫一畫三種三角形的中線，并說出自己的想法．
預設(shè)：（1）銳角三角形的三條中線相交于三角形的內(nèi)部一點．
（2）直角、鈍角三角形的三條中線相交于三角形的內(nèi)部一點．
提問：說一說三角形的中線有啥特征呢？
歸納：（1）任何三角形有三條中線，并且都在三角形的內(nèi)部，交于一點；
（2）三角形的中線是一條線段．
設(shè)計意圖：讓學生動手、實驗，親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，并且在這個過程中學會與人合作，加深對三角形的中線的理解．
活動二：三角形的角平分線
問題：（1）任意畫一個角，并畫出這個角的角平分線，你能得出什么結(jié)論？
（2）在紙上畫一個三角形，你能畫出它的一個內(nèi)角的角平分線嗎？
答案：角的平分線是一條射線，
三角形的角平分線是一條線段．
三角形的角平分線：如圖所示，作△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線交對邊BC于點D．
線段AD就是△ABC的一條角平分線．
符號語言：∵AD是△ABC的角平分線，
∴
提問：你能畫出幾條角平分線？
答：三角形有3個內(nèi)角，所以可以畫3條角平分線
設(shè)計意圖：通過操作活動，提高學生的觀察能力，并引出三角形的角平分線的概念．發(fā)展學生的語言表述能力及用數(shù)學語言表達問題的能力．
【操作】
畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的角平分線．你發(fā)現(xiàn)了什么？
歸納：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點
設(shè)計意圖：讓學生動手、實驗，親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，并且在這個過程中學會與人合作，加深對三角形的角平分線的理解．
活動三：三角形的高
問題：你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎？
三角形的高：如圖所示，過頂點B作△ABC邊AC的垂線，垂足為點F．線段BF就是△ABC的一條高．
符號語言：∵BF是△ABC的高，
∴，()．
提問：你能畫出幾條高？
答：三角形有3條邊，所以可以畫3條高
設(shè)計意圖：通過回憶畫已知直線的垂線，引出三角形的高的概念．發(fā)展學生的語言表述能力及用數(shù)學語言表達問題的能力．
【操作】
畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的高．你發(fā)現(xiàn)了什么？
答：
歸納：
設(shè)計意圖：讓學生動手、實驗，親歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，并且在這個過程中學會與人合作，加深對三角形的高的理解．
應用新知
經(jīng)典例題
例 如圖，AD是△ABC的中線，，垂足是點F．
（1）AF是圖中哪幾個三角形的高？
（2）圖中哪兩個三角形的面積相等？請說明理由．
分析：（1）根據(jù)三角形高的定義直接判斷即可．
（2）由AD是△ABC的中線，則；再由△ABD與△ACD底邊相等，且高相同，得兩三角形的面積相等．
解：（1）AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC和△AFC的高．
（2）△ABD與△ACD的面積相等，理由如下：
因為，所以．
由三角形的面積公式可知，△ABD與△ACD的面積相等．
設(shè)計意圖：通過例題的解答，既檢測了學生對三角形高線和中線掌握程度，又讓學生感受到應用的樂趣！
課堂練習
1．以下說法錯誤的是（ ）
A．三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點
B．三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點
C．三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點
D．一個三角形的三條高、中線、角平分線分別交于同一個點
答：A．
2．如圖，△ABC是等腰三角形，．試畫出邊BC上的中線和高以及∠A的平分線，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？
答：如圖所示，等腰三角形底邊上的中線、高和頂角的平分線三條線重合，即三線合一．
3．在一個直角三角形中，畫出斜邊上的中線，先觀察一下圖形中有幾個等腰三角形，再用刻度尺驗證你的結(jié)論．
解：若該直角三角形是等腰直角三角形，
則圖形中有3個等腰三角形；
若該直角三角形不是等腰三角形，
則圖形中有2個等腰三角形．
設(shè)計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加深理解三角形的中線、角平分線和高．
課堂檢測
限時訓練
1．如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
答案：B．
2．三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（ ）
A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形
C．直角三角形 D．周長相等的三角形
答案：B．
3．如圖，在△ABC中，，，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù)．
解：∵AD是△ABC的角平分線，
∴
∵在△ABD中，
∴
設(shè)計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對三角形的中線、角平分線和高的理解．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學到了什么？
2．什么是三角形的中線、角平分線和高？
3．三角形的中線、角平分線和高的特征？
答：
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識．
實踐作業(yè)
任意的畫一個三角形，分別畫出這個三角形的高、中線和角平分線！
《三角形的中線、角平分線和高》是認識三角形的重要內(nèi)容之一，不僅是學生學習后續(xù)幾何知識的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學生空間想象能力和邏輯推理能力的重要環(huán)節(jié)．在本節(jié)課中，我把三角形中的線與實際生活緊密聯(lián)系起來，讓學生體會到數(shù)學從生活中來，又到生活中去，感受數(shù)學就在身邊，生活離不開數(shù)學．整堂課通過動手畫三角形的中線、角平分線和高，抽象出它們的特征．它不僅幫助學生認識三角形這一基本幾何圖形，并理解三角形的中線、角平分線和高的特征，也是后續(xù)學習更復雜幾何知識的基礎(chǔ)．因此，確保學生能夠準確理解三角形的中線、角平分線和高，對于培養(yǎng)他們的空間想象力和幾何思維至關(guān)重要．

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