資源簡介

(共25張PPT)
2.6.1函數的單調性
北師大版(2019)選擇性必修第二冊
第二章導數及其應用
學習目標
理解導數與函數的單調性的關系.
掌握利用導數判斷函數單調性的方法.
會用導數求函數的單調區間.
同學們，我們之前簡單學習了函數的單調性， 一起回顧一下.
一般地，設函數f(x) 的定義域為I, 如果對于定義域I 內某個
區間 D 上的任意兩個自變量的值x ,x ,
當x 增函數；
當x f(x ), 那么就說f(x)在區間D 上是
減函數；
如果函數y=f(x) 在區間D 上是增函數或減函數，那么就說函數
y=f(x) 在這一區間具有單調性.區間D 叫做函數的單調區間.
知 識 回 顧
在數學中，稱函數y=f(x) 在點xo 的瞬時變化率為該函數在點x。處的導數，通常用符
號f'(xo) 表示，記作
L
個y
A
P
X x
個V
P
A
可 X x
知識回顧
導數的概念
……
問題提出
我們知道，對于函數y=f(x) 來說，導數f'(x)刻畫的是函數y=f(x)
在點x 的瞬時變化率，函數的單調性描述的是函數值y 隨自變量x 取值 的增加而增加，或函數值y 隨自變量x 取值的增加而減少.
兩者都在刻畫函數的變化，那么,導數與函數的單調性之間有何關系
呢
解： (1) f'(x)=1;(2)f'(x)=2;(3)f'(x)=-3 函數(1)(2)的導數都是正的，在定義域(-0,+0)內 函數值都是隨x 的增加而增加的； 函數(3)的導數是負的，在定義域(-o,+o) 內函數 值是隨x 的增加而減少的. y ,y=2x+5 y=x 0 y=-3x+4
X
實例分析
1.計算下面幾個一次函數的導數，并討論它們的單調性.
(1)y=f(x)=x (2)y=f(x)=2x+5 (3)y=f(x)=-3x+4
(1) (2) (3) (4)
對于函數(1)和(3),相應的定義域內的每一個x 都滿足f'(x)>0
函數y=f(x) 在其定義域內是增函數；
對于函數(2)和(4),相應的定義域內的每一個x 都滿足f'(x)<0,
函數y=f(x) 在其定義域內是減函數.
2.計算下列指數函數、對數函數的導數，并討論它們的單調性.
(1)y=f(x)=2×
(3)y=f(x)=log x (4)
解：(1)f'(x)=2×In2;
實例分析
(2)
(3)
解：f'(x)=2x;
當自變量 x∈(0,+o) 時 ，f'(x)=2x>0 在區間(0,+)內單調遞增；
, 函數 f(x)=x
當自變量 x∈(-,0) 時 ，f'(x)=2x<0 在區間(-o,0) 內單調遞減.
, 函數 f(x)=x
實例分析
3.計算冪函數 y=f(x)=x 的導數，并討論單調性.
(1)若在某個區間內，函數y=f(x) 的導數f'(x)>0 , 則在這個區間內 , 函 數y=f(x) 單調遞增；
(2)若在某個區間內，函數y=f(x) 的導數f'(x)<0 ,則在這個區間內 , 函 數y=f(x) 單調遞減.
注意：若在某個區間內，f'(x)≥0 且只在有限個點為0,則在這個區間內，
函數 y=f(x) 單調遞增；若在某個區間內，f'(x)≤0 , 且只在有限個點為0, 則在這個區間內，函數y=f(x) 單調遞減.
抽象概括
導數的符號與函數的單調性之間具有如下的關系：
解：f'(x)=6x -6x-36=6(x+2)(x-3)
設f'(x)>0, 則 6(x+2)(x-3)>0, 即 x<-2 或 x>3.
故當x∈(-0,-2) 或 x∈(3,+0) 時 ，f'(x)>0, 因此，在這兩個區間上，函
數 f(x)均單調遞增；
當x∈(-2,3) 時 ，f'(x)<0, 因此，在這個區間上，函數f(x)單調遞減.
例1討論函數f(x)=2x -3x -36x+16
的單調性.
例題分析
函數的單調性決定了函數圖像的大致形狀.
因此，當確定了函數的單調性后，再通過描出一
些特殊的點，如(-2,60),(3,-65)等，就可以畫 出函數的大致圖像.右圖即為 f(x)=2x -3x -
36x+16 的大致圖像.
思 考 交 流
你能畫出 f(x)=2x -3x -36x+16 的大致圖像嗎
判斷函數y=f(x) 的單調性的步驟：
(1)確定函數的定義域；
(2)求出導數f'(x)的零點；
(3)用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f'(x) 在各區間上的正負，由此得出函數y=f(x) 在定義域內的單調性.
抽象概括
抽象概括
知識剖析
(1)定義域優先原則：函數的單調區間必須在函數的定義域內，因此， 在利用導數討論函數的單調性時，必須結合函數的定義域.
(2)注意“臨界點”和“間斷點”:對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等 于零的點外，還要注意“間斷點”.
如分段函數 中 x=0 就是間斷點.
(3)區間的端點可以屬于單調區間，也可以不屬于單調區間， 一般情況 下，可將單調區間取為開區間.
(4)為了簡便，有時可以省去列表這一步驟，直接解不等式f'(x)>0 得到 函數的單調遞增區間，解不等式f'(x)<0 得到函數的單調遞減區間.
抽象概括
知識剖析
當 堂 檢 測
解 析 ：由題意，得函數f(x)的定義域為(0,+0), 由f'x)<0及x>0,得
故函數f(x)的單調遞減區間是
當堂檢測
1.函數 的單調遞減區間是 (
A. B. D.[0,1]
2.已 知 函 數y=xf'(x) 的圖象如圖所示(其中f'(x) 是函數f(x) 的導函數),則下面四個圖象中， y=f(x)
的圖象大致是( )
B..
當 堂 檢 測
C.
A.
D.
解析： 由題中函數y=xf'(x) 的圖象，可得
當x<-1 時 ，xf'(x)<0, 則 f'(x)>0,f(x) 單調遞增；
當 - 10, 則 f'(x)<0,f(x) 單調遞減；
當 0當x>1 時 ，xf'(x)>0, 則 f'(x)>0,f(x) 單調遞增.
綜上， f(x) 單調遞增區間為(-,-1),(1,+0),單調遞減區間為(-1,1).故選 C.
當堂檢測
解析：
因為函數 在R 上為單調函數，所以f'(x)不存在變號零點，
即ax -2ax+1=0 在 R 上有一個根或0個根.當a=0 時，滿足題意；
當a≠0 時，需滿足(-2a) -4a,,0, 即 0當堂檢測
3.若函數 在R 上為單調函數，則實數a 的取值范圍是(D
A.(1,+0) B.[-1,0] C.[0,1] D.[0,1]
A. B. c D. 解 析 ：因為函數f(x)=m+x -xlnx為“1階比增函數”, 在(0,+o)上為增函數令 …0在(0,+0)上恒成立，所以m,,x -x在 xe(0,+o)上恒成立，由于當x∈(0,+o)時，
所以
當堂檢測
4.已知函數f(x)的定義域為(0,+0),若 在(0,+o)上為增函數，則稱f(x)為“k
階比增函數".若函數f(x)=m+x -xlnx 為“1階比增函數”,則實數m 的取值范圍是 (
所以函數
, 得
由 f'(x)>0, 得x>e, 故 f(x)在區間(e,+0)上是增函數， 又 于是 即 b(e,+0),a,b,c 的大小關系為b 當堂檢測
5.已知函數
則該函數的單調遞增區間為
解析：(1) f'(x)=(2x+2)e -(x +2x)e =-(x -2)e .
令 f'(x)>0, 得- √2令 f'(x)<0, 得x<- √2 或x> √2,
故函數f(x)的單調遞減區間為[-,- √2],[ √2,+o), 單調遞增區間為[- √2, √2].
當堂檢測
6.求下列函數的單調區間.
(1)f(x)=(x +2x)e*;(2)
(3)f(x)=e*+ax-1(a 為常數).
解析：(2)
即 ), 即 故函數f(x)的單調遞增區間為 (keZ), 單調遞減區間為
當堂檢測
6.求下列函數的單調區間.
(1)f(x)=(x +2x)e*;(2)
令f'(x)>0,得
令f'(x)<0,得
(3)f(x)=e*+ax-1(a 為常數).
(keZ).
,
解析：(3) f'(x)=e*+a, 當a..0 時 ，f'(x)>0 恒成立，所以f(x)在 R 上單調遞增.
當 a<0 時，令f'(x)>0, 得x>In(-a), 令 f'(x)<0, 得 x所 以f(x) 在(ln(-a),+0) 上單調遞增，在(-○0,In(-a)] 上單調遞減.
綜上，當a….0 時 ，f(x) 在 R 上單調遞增；當a<0 時 ，f(x) 在[ln(-a),+00] 上單調遞增， 在(-○,ln(-a)) 上單調遞減.
當堂檢測
6.求下列函數的單調區間.
(1)f(x)=(x +2x)e*;(2)
(3)f(x)=e*+ax-1(a 為常數) .
利用導數研究含參函 數f(x) 的單調區間的一般步驟
(1) 確定函數f(x) 的定義域；
(2) 求導數f'(x);
(3) 分析參數對區間端點、最高次項的系數的影響，以及不等式解集的端 點與定義域的關系，恰當確定參數的不同范圍，并進行分類討論；
(4) 在不同的參數范圍內，解不等式f'(x)>0 和 f'(x)<0, 確定函數f(x) 的單調區間.
方法總結

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