資源簡介

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導數的概念
復習引入
平均變化率的定義
對一般的函數y=f(x) 來說，當自變量x從x 變為x 時，函
< 數值從f(x ) 變為f(x ), 它的平均變化率為
瞬時變化率
對于一般的函數y=f(x) , 在自變量x從x 變到x 的過程中，若
設△x=x -xo,△y=f(x )-f(xo) , 則該函數的平均變化率為
, 如果當△x趨于0時，平均變化率趨
于某個值，那么這個值就是f(x)在點x 的瞬時變化率.
復 習 引 入
求函數平均變化率的三個步驟：
第一步，求自變量的增量△x=x -x ;
第二步，求函數值的增量△y=f(x )-f(x );
第三步，求平均變化
求函數f(x) 在點x =x 處的瞬時變化率的步驟：
(1)求△y=f(x +△x)-f(x );
(2)計算 并化簡，直到當△x=0 時有意義為止；
(3)將△x=0 代入化簡后的即得瞬時變化率.
函數值y關于x的平均變化率入
這個值為平均變化率的極限， 記 或 那么這個值就是
函數y=f(x) 在點x 的瞬時變化率 導 數 就 是 瞬 時 變 化 率
在數學中，稱瞬時變化率為函數y =f(x )在點x 處的導數，
通常用符號f'(xo) 表示，
新課講授極限與導數
設函數y=f(x), 當自變量x從x 變到x 時，函數值y從f(xo)變到f(x ),
當x 趨于x , 即△x趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值，我們稱
注意：
(1)函數應在x 的附近有定義，否則導數不存在；
(2)導數是一個局部概念，它只與函數y=f(x) 在x=x 處及 其附近的函數值有關，與△x無關；
(3)導數的實質是一個極限值.
(4)若函數y=f(x), 則f'(x )=ylx=x。=f(x) |x=x
典例精析
例1. (1)f(x)= x 在x=1 處的導數為( B )
A.2x B.2 C.2+△x D.1
(2)求函數f(x)=x 在x=2 處的導數.
解：△y= (2+△x) -2
=12
歸納總結
求導數的一般步驟
①求函數的改變量△y=f(xo+△x )-f(x );
②求平均變化
③取極限，得導數
例2.求函數f(x)= √x 在x=1 處的導數。
解：
例3: 一條水管中流過的水量y(單位：m ) 與時間x(單位：s)的 函
數關系為f(x)=3x. 求函數y=f(x) 在 x=2 處的導數f'(2),
并解釋它的實際意義.
解：當x從2變到2+△x時，函數值從3×2變到3(2+△x), 函數值y關于x 的平均變化率
當x趨于2,即△x趨于0時，平均變化率總是3,所以f'(2)=3(m /s).
導數f'(2) 表示當x=2s 時水量的瞬時變化率，即水流的瞬時速度，也
就是說，如果水管中的水保持以x=2s 時的瞬時速度流動的話，每經過
1s, 水管中流過的水量為3m .
例4.設f(x)=x -8x, 求：
(1)
解：(1)
②
③
④
■
③
=-8
=4
②
④
鞏固練習
1.求函數 x=2 處的導數.
解：∵
∴f'(2)=-1
2.若 f'(x )=a, 則 的值為( B )
A.-2a B.2a C.a D.-a
解 析 ：
本課小結
極限與導數
在數學中，稱瞬時變化率為函數y=f(x )在點x 處的導數，
通常用符號f'(xo) 表示，
求導數的一般步驟
①求函數的改變量△y=f(xo+△x )-f(xo);
②求平均變化
③取極限，得導數

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