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導數的幾何意義
復習引入
1.函數y=f(x)在x=x, 處的導數
設函數y=f(x), 當自變量x從x 變到x 時，函數值y從f(xo)變到f(x ),
< 平均變化率趨于一個固定的值，我們稱這個值為平均變化率的極限，記作
口 那么這個值就是函數y=f(x) 在點x 的瞬時變化率
, 也叫y=f(x) 在點x 的導數。
2.求函數y=f(x)在x=x, 處導數的步驟
(1)求函數的增量△y=f(x +△x)-f(x );
(2)求平均變化率
(3)取極限，得導
新課探究
探究1: 我們知道，導數f(xo)表示函數y=f(x) 在x=x 處
的瞬時變化率，反映了函數y=f(x) 在x=x 附近的變化情況.
平均變化率 瞬時變化率 .導數
平均變化率的幾何意義 導數f( xo)的幾何意義
那么導數f(x ) 的幾何意義是什么
結合直線斜率的定義可知：函數在點P
到點P 之間的平均變化率即為割線P P 的斜率.
平均變化率的幾何意義
平均變化率的幾何意義
設函數y=f(x) 的圖象如圖，點Po(xo,f(x )), 點P(xo+△x,f(xo+△x)),
則 f(x) 在 [xo,xo+△x] 上的平均變化率
它的幾何意義是表示
△y
△x
x +△x
y
f(x +△x)
f(xo)
o
Po
Xo
P /
X
瞬時變化率的幾何意義
示什么
觀察左圖，當點P 沿著曲線
y=f(x) 趨近于點 P 時，割線
P P 的變化趨勢是什么
割線P P無限趨近于一個 確定的位置。
新課講授
1.切線的定義
在曲線y=f(x) 上任取一點P(x,f(x))
當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x) 無限趨近于點P。(xo,f(xo) )時，割線P P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置 的直線P T 稱為曲線y=f(x) 在點P,處的切線.
思考1: 此處的切線定義與初中學過的圓的切線定義有什么
不同
此處的切線定義是以逼近的方式對切線作出的定義；
初中學過的圓的切線是從直線和圓的公共點個數的角度定義的.
思考2: 通過逼近方式對切線作出的定義，是否適用于圓
的切線呢
割線 P P 的斜率 k 切線P T 的斜率k。 0
函數y=f(x) 在x=x 處的導數f(x )
曲線y=f(x) 在點P (xo,f(xo)) 處切線的斜率k
2.導數的幾何意義
思考3: 導 數f(x ) 的幾何意義是什么
y=f(x) pl
T f(x +Ax)-f(x )
Ax 二
x x +Ax x
y
f(x +Ax)
f(x )
導 數f(x ) 的幾何意義
可 合
繼續觀察圖，可以發現點P 處的切線P T 比任何一條割線更貼近點P
附近的曲線.進一步地，利用信息技術根據將點Po附近的曲線不斷放大，可 以發現點P 附近的曲線越來越接近于直線.
因此，在點P 附近，曲線y=f(x) 可以用點P 處的切線P T 近似代替.
=f'(x )
即 kpr=tan α=f'(x )
曲線y=f(x) 在點M(x ,f(x ) 處的切線方程為
y-yo=f'(x )(x-xo)
探究2: 你能求出曲線y=f(x) 在點M (xo,f(xo)) 處的切線方
程是什么嗎
品 y2●2(xO1J2xoyO0.
解決切線問題的關鍵：利用導數的幾何意義求出切線的斜率 k =f'(x ).
典例精析
例 1 : 求曲線f(x)=x +1
(x)■x
在點P(1,2) 處的切線方程.
P(1,2)
求曲線在某點處的切線方程的步驟
求斜率 求 出 曲 線 在 點(x ,f(x ))處切線的斜率f'(xo)
寫方程 用 點 斜 式y-f(x )=f'(xo)(x-x )寫 出 切 線 方 程
變 形 將點斜式變為一般式
令△x趨于0,可知y=2x 在x=1 處的導數為f'(1)=6.
于是，函數y =2x 在點(1, f(1))即(1,2)處的切線斜率為6,
即該切線經過點(1,2), 且斜率為6.
因此，函數y =f(x)=2x 在x= 1處的切線方程為：
y-2=6(x-1), 即y=6x-4.
例2: 求函數y=f(x)=2x 在x=1 處的切線方程.
例3:曲線y=f(x)=x -1 在x=x, 處的切線與曲線
y=g(x)=1-x 在x=x,處的切線互相平行.
(1)求x,的值；(2)求曲線y=f(x) 在x=x,處的切線方程.
由題意得2x =-3x , 解得x =0 或
解析：(
例3: 曲線y =f(x)=x -1 在x=x, 處的切線與曲線
y=g(x)=1-x 在x=x, 處的切線互相平行.
(1)求x,的值；(2)求曲線y=f(x) 在x=x, 處的切線方程.
解析： (2)當x =0 時 ，f'(xo)=0, 又f(0)=-1, 故所求切線方程為y=-1;
故所求切線方程
當 時，
鞏固練習
1. 如圖，直線l是曲線y=f(x)在 x=4 處的切線，則f(4)=( )
B.3 C.4 D.5
解：根據導數的幾何意義知f(4) 是曲線y=f(x) 在x=4 處
的切線的斜率k, 注 意 到 , 所 以
(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
(B)f'(1)(C)0(D)f'(1)>f'(2)>0>f'(3)
2.函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是( A ).
3.如圖，函數y=f(x) 的圖象在點P 處的切線方程是y=-x+8 ,
則f(5)+f'(5)= 2 4y y=-x+8
P
A
解析：點P橫坐標為5,
故由在點P處切線為y=-x+8,
得f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3.
∴f(5)+f'(5)=2.
>
5
0
4.直 是函數 象的切線，則切點是
1或 - 1 ( - 2, - )或
齋
解得x=±2.
當x=-2 時， ,b=-1;
當x=2 時， ,b=1.
本課小結
1.切線的定義： 設Q為曲線C上不同于點P的一點，則直線PQ稱 為曲線的割線.隨著點Q 沿曲線C 向點P運動，當點Q 無限逼近點
P時，直線PQ 最終成為點P 處最逼近曲線的直線l, 這時直線l稱 為曲線在點P處的切線.
2.導數的幾何意義：
函數y=f(x) 在x 處的導數f'(x ), 是曲線y=f(x) 在點(xo,f(xo))
處的切線的斜率. 函數y=f(x)在x 處切線的斜率反映了導數的幾 何意義.

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