資源簡介

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2.6.3函數的最值
北師大版(2019)選擇性必修第二冊
第二章導數及其應用
的聯系與區別
類比二次函數的極值與最值的關系，體會三次函數的極值與
最值的關系，并理解單峰函數的極值與最值的關系
學習目標
通過函數的圖像感受極大值與最大值、極小值與最小值之間
○ 知識回顧
極值的概念：
如圖(1),在包含xo 的一個區間(a,b) 上，函數y=f(x) 在 任何不為xo 的一點處的函數值都小于xo 處的函數值，稱點x 為函數 y=f(x) 的極大值點，其函數值f(xo) 為函數的極大值.
如圖(2),在包含xo 的一個區間(a,b) 上，函數y=f(x) 在
任何不為xo 的一點處的函數值都大于xo 處的函數值，稱點x 為函數 y=f(x) 的極小值點，其函數值f(xo) 為函數的極小值.
極大值點與極小值點統稱為極值點.極大值與極小值統稱為極值.
知識回顧 極值的判定： 個 y y=f(x) f'(x)<0
在極大值點附近
f'(x)<0
f'(x)>0
設 xo 是 f(x) 的一個極值點，并求出
了f(x)的導數f'(xo), 則f'(x )=0.
反之不一定成立.
f'(x )=0 是函數取得極值的必要不
充分條件.
例如，對于f(x)=x , 雖然f'(0)=0,
但是x= 0 不是極值點.
0 a x1 x2 b x
在極小值點附近
左正右負為極大值
左負右正為極小值
名稱 定義
幾何意義
最大值 一般地，對于函數y=f(x),其定義域為D,若 存在實數M,對所有的x∈D,都有f(x)≤M, 且存在x ∈D,使得f(x )=M,則稱M為函數 y=f(x)的最大值.
函數的最大值對應圖象最高點
的縱坐標
最小值 一般地，對于函數y=f(x),其定義域為D,若 存在實數m,對所有的x∈D,都有f(x)≥m, 且存在x ∈D,使得f(x )=M,則稱m為函數 y=f(x)的最小值
函數的最小值對應圖象最低點
的縱坐標
知識回顧
最大值與最小值：
(1) (2) (3) 如圖可以看出，最大值在導數的零點取得，或者在區間的端點取得. 函數y=f(x) 在區間[a,b] 上的最小值點 x。指的是： 函數f(x) 在這個區間上 所有點處的函數值都超過f(xo) .
函數y=f(x) 在區間[ , b]上 的最大值點 x。指的是： 函數 f(x) 在這個區間
上所有點處的函數值都不超 過f (x ) .如下圖
函數的最大值和最小值統稱為最值.
新知探究
函數y=f(x) 的在區間 [a,b] 的圖象，你能找出它的極值、最值嗎
極大值：f(x ) 、f(x ) 、f(x )
極小值：f(x ) 、f(x ) 、f(x )
最 大 值 ：f(a)
最小值：f(x )
○ 新知探究
函數極值與最值有什么關系
聯系：只要把函數y=f(x) 的所有極值連同端點的函數值進行比較，就可以求出函
數的最大值和最小值.
區別： 1.函數的最大值、最小值是比較整個定義域上的函數值得出的，函數的極大值、
極小值是比較極值點附近的函數值得出的，即極值是函數的局部性質，最值是函 數的整體性質.
2.函數的極值可以有多個，但函數在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個.
3.函數的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值，而最大值一定大 于最小值(常值函數除外).
4.極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得；有最值未必有極值；極值 有可能成為最值，最值只要不在端點處取得必定是極值.
新知探究
y=f(x)
b x
D
y=f(x)
b x
○ 新知探究
為什么給定函數的區間必須是閉區間
因為不能保證f(x)在開區間上有最大值和最小值(最值可能在區間端點處取得)
在開區間內的連續函數不一定有最大值與最小值.
b x
y=f(x)
y^
o a
y
d a
y
y=f(x)
b x O a
O a
y
解：f'(x)=3x -4x
解方程f'(x)=0 得 x =0 和
計算函數f(x) 在導數零點x =0 和 區間端點x =-2 和 x =2 處的值：
f(0)=5, ,f(-2)=-11,f(2)=5
比較這4個數的大小，可知：
函數 f(x) 在區間[-2,2]上的最大值是5,最小值是-11.
例題分析
例4求函數f(x)=x -2x +5 在區間[-2,2]上的最值.
求函數f(x) 在區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：
① 求函數 f(x) 在 (a,b) 內 的極值；
② 求函數f(x) 在區間端點處的函數值f (a),f(b);
③ 將函數 f(x)在各極值與f(a),f(b) 比較，其中最大的 一
個是最大值， 最小的一個是最小值.
○ 新知探究
解：函數 f(x) 的定義域為R, 由f(-)=-f(x) 知，函數f(x) 為奇函數且經過原點，
函數圖象關于原點對稱.
在x>0 時 ，f(x)>0, 函數f(x) 的圖象恒在x 軸上方；在x<0 時 ，f(x)<0, 函
數的圖象恒x 在軸下方.
令f'(x)=0, 解方程，得x =±1.
令f'(x)>0, 解 得 - 1令 f'(x)<0, 解得x>1 或x<-1, 因此，(1,+o),(-0,-1) 為函數的單調遞減區間.
于是列表.
例題分析
例5研究函數
的性質，并畫出它的大致圖象.
X (-o,-1) -1 (-1,1) 1
(1,+0)
f'(x) 一 0 + 0
一
y=f(x) 極小值 極大值
x=1 為函數 f(x) 的極大值點，也是最大值點，其對應的最大值是
由以上分析，可以得到函數f(x) 的大致圖象如圖.
例題分析
例5研究函數
因此，x=-1 為函數 f(x) 的極小值點，也是最小值點，其對應的最小值
1
-5-4 -3-2 -1
-1
的性質，并畫出它的大致圖象.
1 2 3 4 5 6 x
畫函數f(x) 的大致圖象的步驟：
(1)求出函數f(x) 的定義域；
(2)求導數f'(x) 及函數 f'(x) 的零點；
(3)用零點將 f(x)的定義域為若干個區間，列表給出f'(x)在各個區間上 的正負，并得出f(x) 單調性與極值；
(4)確定f(x) 圖象所經過的一些特殊點，以及圖象在正負無窮處的變化 趨 勢 ；
(5)畫出f(x)的大致圖象.
抽象概括
當 堂 檢 測
當堂檢測
1.設f(x)是區間[a,b]上的連續函數，且在(a,b)內可導，則(
A.f(x)的極值點一定是最值點
B.f(x)的最值點一定是極值點
C.f(x)在區間[a,b]上可能沒有極值點
D.f(x)在區間[a,b]上可能沒有最值點
解析： 根據函數的極值與最值的概念，知f(x)在閉區間上的極值點不一定是最值點， f(x) 的
最值點不一定是極值點，可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以 A, B,D 錯誤.若函數 f(x) 在區間[a,b] 上單調，則函數f(x) 在區間[a,b] 上沒有極值點，所以C 正
確.故選C.
解析：由f'(x)的圖象，可知當a0,當c(a,c)上單調遞增，在(c,e)上單調遞減，所以在x=c處f(x)取得極大值，也是最大值，故C正 確，B,D錯誤.因為a當堂檢測
2.已知函數y=f(x),x∈[a,e] 的導函數y=f'(x) 的圖象如圖所示，則下列結論正確的是( C
A.f(c)C.x=c 時 ，f(x) 取得最大值 D.x=d 時 ，f(x)取得最小值
解析：:當x,0時，f'(x)=6x +6x,易知函數f(x)在[-○0,0]上的最大值點是
x=-1,且f(-1)=2,故只需在x∈[0,2]上，f(x)=ex的最大值不大于2,即
e,2,等價于ax≤ln2,等價于 ,令 易知g(x)在[0,2]上單
調遞減，則 ,所以
當堂檢測
3.若函數 在[-2,2]上的最大值為2,則實數a 的取值范圍是 (
C.[-0,0]
B
口
解析：令f'(x)=x +2x=x(x+2)=0, 得x=-2 或 x=0, 所以f(x) 在(-o,-2),(0,+0) 上單調遞增，在(-2,0)上單調遞減， 故 f(x) 在x=0 處取得極小值 , 在x=-2 處取得極大值 得x=-3 或 x=0, 令 得x=-2 或 x=1,
令
當堂檢測
4.若函數 在區間(a,a+3) 內既存在最大值也存在最小值，則實數a 的取值范 圍是( )
A.(-3,-2) B.(-3,-1) C.(-2,-1) D.(-2,0)
解析：作出f(x)的大致圖象如圖所示，由題意知函數f(x) 在區間(a,a+3)內的最大值、最小值只能分別在x=-2和 x=0處取得.結合函數f(x)的圖象可得 解得 - 3當堂檢測
4.若函數 在區間(a,a+3) 內既存在最大值也存在最小值，則實數a 的取值范
圍是(A)
A.(-3,-2) B.(-3,-1) C.(-2,-1) D.(-2,0)
解析：構建F(x)=g(x)-f(x)=kx-1-Inx,則問題等價于F(x)..0恒成立，可得F(x)的定義域為
(0,+o),且 .當k,,0時，kx-1<0,可得F'(x)<0恒成立，則F(x)在(0,+o)上
單調遞減，且F(1)=k-1<0,不符合題意；當k>0時，令F'(x)<0,解得 令F'(x)>0,
解得 可得F(x)在 上單調遞減， 在 上單調遞增，則F(x)龐 0 , 解
得k..1.綜上，實數k的取值范圍為(1,+0).故選C.
當堂檢測
5.已知函數f(x)=Inx,g(x)=kx-1,
A.(-o,1) B.(0,1)
恒成立，則實數 k 的取值范圍為( )
D.(1,3)
若g(x)≥f(x)
C.(1,+0)
.
解 析 ：(1)易知f'(x)=3x +2ax+b.
因為f(x)在 與x=1處取得極值，
所以 ,f(0)=3+2a+b=0,所以
(也可以由
當堂檢測
6.已知函數f(x)=x +ax +bx+c 在 與x=1 處都取得極值.
( 1 ) 求a,b 的值；
(2)若對任意x∈[-1,2],不等式f(x)解析：(2)由(1),知 ,f'(x)=3x -x-2=(3x+2)(x-
),
當x∈[-1,2]時，f'(x),f(x)隨x的變化情況如表所示： X 1 [1,2] f'(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 ↗
當堂檢測
6.已知函數f(x)=x +ax +bx+c 在 與x=1 處都取得極值.
(1)求a,b 的值；
(2)若對任意x∈[-1,2], 不 等 式f(x)上單調遞增，在 上單調遞減，在[1,2]上單調遞增，所以當
為極大值，又f(2)=2+c,則f(2)=2+c為f(x)在[-1,2]上的最大
值，要使f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2,
所以實數c的取值范圍為(-0,-1)U(2,+0).
當堂檢測
6.已知函數f(x)=x +ax +bx+c 在 與x=1 處都取得極值.
(1)求a,b 的值；
(2)若對任意x∈[-1,2], 不 等 式f(x)解析：所以f(x)在
時 ，

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