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第 6 章
平面向量及其應(yīng)用
6.4.3.1 余弦定理
高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)(人教A 版2019)
引入新知
一個(gè)三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積
等，它們之間存在著確定的關(guān)系。
例如，在初中，我們得到過(guò)勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.
對(duì)于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過(guò)三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS,SAS,ASA , AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明，給定三角形的三個(gè)角、三條邊這六個(gè)元 素中的某些元素，這個(gè)三角形就是唯一確定的。
那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系
下面我們利用向量方法來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.
探究新知
我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 (SAS).
這說(shuō)明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.
也就是說(shuō)，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來(lái)表示.
那么,表示的公式是什么呢
探究：如右圖，在△ABC 中，三個(gè)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,
怎樣用a,b 和C 表示c
因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇呴L(zhǎng)和它們的夾角，所以我們
考慮用向量的數(shù)量積來(lái)探究
①把幾何元素用向量表示：
設(shè) CB=a,CA=b,AB= 亡，那么C=a-b
②進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算：
cl =c·c=a-b)·a-b)
=a·a+b·b-2a·b 同 理 得 ： b =a +c -2|a||c|cos =a +b -2|a|·|b|cosc c =α +b -2|a||b|cos
C
③向量式化成幾何式：
c =a +b -2abcos
A
C
B
B;
C.
b
a
C
學(xué)習(xí)新知
余弦定理
三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去
這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍.即
【問(wèn)題】利用余弦定理可以解決三角形的哪類問(wèn)題
利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.
a =b +c -2
b =a +c -2
c =a +b -2
cos
cos
cos
A;
B; C.
b
a
a
|| ||
||
c
c b
思考1:你能用其它方法證明余弦定理嗎 坐標(biāo)法
在AABC 中，內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c, 如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB 所
在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(c,0),C(b cosA,b sinA)
由兩點(diǎn)間距離公式得：
BC =(bcos A-c) +(bsin
=b cos2A-2bc
=b +c2-2bc cosA
即 a =b+c -2bccos A
同理可證 b =a +c -2accos
A-0)
cosA+c +b sin A
B,c =a +b -2abcos
C(b cosA,b sinA)
b 兒
C B (c,0)
X
yA
0(A)
C
AD=bsin(π-C)=bsinC
CD=bcos(π-C)=-bcosC BD=a-bcosC
c =AD +BD
=(bsinC) +(a-bcosC)+0
=a +b -2abcos C
AD=bsinC
CD=bcosC
BD=a-bcosC
c =AD +BD
=(bsinC) +(a-bcosC) i
=a +b -2abcos C
C
b
C a
C
a B
A
b/
D
Ai
D
A
b
c-
幾何法
C
a
c =a +b
B
B
怎樣確定呢
a =b +c -2bccos A >
b =a +c -2accos B
c =a +b -2abcos C
余弦定理及其推論把用"SAS" 和 “SSS”判定三角形全等的方 法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫(huà).
思考2:余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系.應(yīng)
用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問(wèn)題，
從余弦定理及其推論可以看出，
三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定 性結(jié)論變成了可定量計(jì)算的公式!
形的三邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系.你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎
當(dāng)C=90° 時(shí) ，cosC=0, 則
勾股定理
由此可見(jiàn)，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C 和它們的對(duì)邊a,b,c 叫做三角形的元素.
已知三角形中的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.
思考3:勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理指出了三角
思考4: 當(dāng)角C為直角時(shí)，有c =a +b , 當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)
系是什么 鈍角呢
2+
g(x)=cos(x)
c 為鈍角 一
C 為直角
作 2
2n
π
應(yīng)用新知
例5.在△ABC 中，已知b=60 cm,c=34 cm,A=41°,解這個(gè)三角形
(角度精確到1°,邊長(zhǎng)精確到1 cm).
解：由余弦定理，得：
a =b +c -2|b||c|cos A=60 +34 -2×60×34×cos 41°≈1676.78,
利用計(jì)算器，可得B≈106°.
所以C=180°-(A+B)≈180°-(41°+106°)=33° .
所以a≈41(cm).
由余弦定理的推論，得：
例6.在△ABC 中 ，a=7,b=8, 銳角C滿， 求B(精確到1°).
解：因?yàn)? , 且C為銳角，
由余弦定理，得：
所以C=3.
利用計(jì)算器，可得B≈98° .
典例分析
探究點(diǎn)一已知兩邊和一個(gè)角解三角形
例 1 (1) 在△ ABC中，內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c. 若
C=3A+3B,b=2,a=√2, 則c=( )
A.√2 C.√7 D.√2+1
變式(1) △ ABC 的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知
C=120°,a,b 是方程x -3x+2=0 的兩個(gè)根，則c的值為( )
A.√3 B.7 C.3
(2) (多選題)已知△ ABC 的內(nèi)角A,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,
C, ,a=m,b=4, 若滿足條件的△ ABC 有兩個(gè)，則m 的值
可以是( )
A.2√2 v2 √3 D.4
探究點(diǎn)二已知三邊解三角形
例2(1) 在△ ABC中，內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c, 若
, 求cos B.
解：因?yàn)? , 所 以 , 所 以
則由余弦定理得
變式(1) 已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)為2,3,x, 則x的取值范圍是( )
A.(1,5) B.(1,√5) √5, √ 13) D.(√ 13,5)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角 的余弦值，值為正，角為銳角，值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，
結(jié)果唯一.
(2)若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接 代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.
探究點(diǎn)三利用余弦定理判斷三角形的形狀
變式(1)在△ABC中，若AB·BC+AB =0, 則△ ABC一定是( )
A.等邊三角形 B. 直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中 ，(a+b+c)(a+b-c)=3ab 且2cos Asin B=sin C,
則△ ABC 是 等邊三角形
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑
(1) 化邊的關(guān)系：將條件中的角的關(guān)系，利用余弦定理化為邊的關(guān) 系，再進(jìn)行判斷.
(2) 化角的關(guān)系：將條件中邊的關(guān)系，通過(guò)余弦定理或三角恒等變 換變形，得到角與角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解向量法證明余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程.
2.掌握余弦定理及其推論，并能用其解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題 .
3.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.

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