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第 6 章
平面向量及其應用
6.4.3.2 正弦定理
高一數學必修第二冊(人教A版2019)
學習目標
● 1.能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系.
● 2.掌握正弦定理，用向量的方法推導正弦定理.
● 3.能利用正弦定理解三角形；
● 4.三角形解的個數的判斷 .
探索新知
思考1: 在上節課中，若已知兩邊及一角或三邊，可以利用余弦定理解三角形。
那么,若已知三角形兩角及一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢
在初中，我們得到了三角形中等邊對等角的結論，實際上，三角形中還有大
邊對大角，小邊對小角的邊角關系。
從量化的角度看，可以將這個邊、角關系轉化為：在△ABC 中，設A 的對邊
為a,B 的對邊為b, 求A,B,a,b, 之間的定量關系.從而可以解決“在△ABC中，
已A,B,a, 求b” 的問題.
思考2:向量的數量積中出現的是角的余弦，而我們需要的是角的正弦，如何實現轉化
由誘導公 知，我們可以通過構造角之間的互余關系，
把邊與角的余弦關系轉化為正弦關系.
猜想它們之間的聯系.
根據銳角三角函數，在Rt△ABC 中，有：
, 則 ：
又因為sin C=sin 90°= 1, 所以
探究：通過對直角三角形的研究，觀察它的角和三邊之間的關系，
如圖，在銳角△ABC 中，過點A 作與AC 垂直的單位向量j,
則了與AB的夾角 ,j 與CB 的 夾角
因為AC+CB=AB, 所以了 ·(AC+CB)=j·AB.
由分配律，得：了 ·AC+j ·CB=j ·AB,
思考3:對于銳角、鈍角三角形以上結論是否成立
同理，過點C作與CB 垂直的單位向量m, 可
也即asin C=csin A.所以
因此，
由分配率，得：j.AC+j.CB=j.AB
即 j.
也 即a s inC=cs in A,所 以
當△ABC 是鈍角三角形時，不妨設A 為鈍角(如圖).
過點A作與AC垂直的單位向量j,
則j 與AB 的夾角為 ,j 與CB 的夾角 ●
因為AC+CB=AB, 所以j.(AC+CB)=j·AB,
業
asinB=bsinA
即：
同 理 ， 即：
asinB=bsinA
即：
業
思考4:還有其他的方法證明上述關系式的成立嗎
鈍角三角形
銳角三角形
同 理 ，
即：
業
【問題】利用正弦定理可以解決三角形的哪類問題
【問題】正弦定理有幾個等式，每個等式中有幾個元素
利用正弦定理，我們可以解已知“兩角和一邊”和 “兩邊和其中一邊的對角”的三角形.
學習新知
正弦定理
正弦定理中有三個等式，每個等式中有四個元素(兩角及其對邊) .
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：
邊角互相轉化
應 用 新 知
例7.在△ABC中，已知B=30°,A=15°,c=3+√3, 解這個三角形.
解：由三角形內角和定理，得：
C=180°-(A+B)=180°-(15°+30°)=120° .
由正弦定理，得：
例8.在△ABC中，已知B=30°,b=√2,c=2, 解這個三角形.
解：由正弦定理，得：
因 為c>b,B=30°, 所以30 °于是C=45°, 或C=135° . A
為什么角C有兩個值
b=√2
C
c=2
30°
C
b=√2
B
① 當C=45° 時 ，A=105° .
② 當C=135° 時 ，A=15°
此時，
此時，
思考4: 在前面的例題中我們可以發現，有一些三角形有兩個解，有一些有兩
個解，為什么會出現這一情況
由三角函數的性質可知，
在區間(0,π)內，余弦函數單調遞減，所以利用余弦定理求角，只有一解；
正弦函數在區間 內單調遞增，在區間 內單調遞減，所以利用正弦定
理求角，可能有兩解。
【分析】由 ,可求出角B,則C=180°-(A+B), 從
【探究】在△ABC 中，已知a,b,A, 討論三角形解的情況.
如果a≥b, 那么只有一解. A
如果a(1)若a>bsin A,則有兩解.
(2)若a=bsinA, 則只有一解.
C
b a=bsinA
A B
(3)若aC
aB
a
A
B
B
2.當 A為銳角時，
b
A<
a
B
C
b
C
a
b
A為銳角 A為鈍角 或直角 圖形 C b a A B b A C a B C b a A B C b A
a
關系式 ab a≤b 解的個數 無解 一解 兩解 一解 一解 無解
結 論 ：
已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理解三角形，可能有兩解、 一解或無解.在△ABC
中，已知a,b 和 A 時，解的情況如下：
全品P229
變式 (1) [2024 ·浙江四校高一月考]在△ ABC 中，內角A,B,C 的對邊
分別為a,b,c, 分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是( )
A.a =4,b=5,c=6 Ba =√3,b=2,A=45°
C.a =10,A=45°,B=70° D.a=3,b=2,A=60°
(2)在△ ABC中，內角A,B,C 所對的邊分別為a,b,c, 若
b=2,A=30°, 且該三角形有唯一解，則a的取值范圍為{1}U [2,+0].
(1)由正弦定理，得
因 為c( 2 ) 在 △ABC 中，已知b=2,A=45°,C=75°, 求 c.
練習(第48頁)
2 . (1)在△ABC 中，已知a=2,
(2)B=180°-A-C=60° .
,A=120°, 求 b 和 C;
由正弦定理，
3.在△ABC中，已知 ,b= √3, 求a,c
因為 ,所以 于
2

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