資源簡介

(共47張PPT)
7.4.2 超幾何分布
學習目標
1. 理解超幾何分布的概念及特征，能夠判斷隨機變量是否服從超幾 何分布. (數學抽象)
2. 會利用公式求服從超幾何分布的隨機變量的概率和均值. (數學運 算)
3. 能用超幾何分布的概率模型解決實際問題. (數據分析、數學運算)
復習回顧
二項分布：
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A 發生的概率為p
(0P(X=k)=Ch×pk×(1-p)"-k,(k=0,1,2,….,n).
如果隨機變量X 的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X 服從二項分布，
記作X~B(n,p).
二項分布的均值與方差： 二點分布是特殊的二項分布
若X~B(n,p), 則有
E(X)= np ,D(X)= np(1-p).
新知探究
問 題 1 在含有5名男生的100名學生中，任選3人.
(1)求其中恰有1名男生的概率表達式.
(2)求其中恰有2名男生的概率表達式.
新知探究
問題2 已知100件產品中有4件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨 機抽取3件.設抽取的3件產品中次品數為X, 求隨機變量X的分布列.
解：由題意可知，X可能的取值為0,1,2,3
采用有放回抽樣
每次抽到次品的概率為0.04, 且各次抽樣的結果相互獨立，此時 X 服從二項分布，即X~B(3,0.04).
則X的分布列是：
P(X=k)=Cs·0.04k·0.923-k
(k=0,1,2,3) (k=0,1,2,3)
X 0 1 2
3
P
C4C6
C00
采用不放回抽樣
各次抽取的結果不獨立，故X
不服從二項分布.則X的分布列是：
概念生成
超幾何分布：
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽 取n件(不放回),用X 表示抽取的n件產品中的次品數，則X 的分布列為：
N—總體中的個體總數
n— 樣本容量
M— 總體中的特殊個體總數(如次品總數)
k— 樣本中的特殊個體數(如次品數)
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max {0,n-(N-M},r= min {n,M}. 如果
隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
提醒： 正確理 解其條件以及 參數N,M,n,k 的意義
k=m,m+1,m+2,……,r. 記為X~H(N,n,M).
其 中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-(N-M)},r=min{n,M}.
追 問 1 怎么去理解m=max{0,n-(N-M} 的取值
當N=10,M=4 時，N-M=6,n=3.
k的第一個值是m=max{0,3-6}=0,r=3;
當N=10,M=4 時，N-M=6,n=8.
k的第一個值是m=max{0,8-6}=2,r=4.
k=m,m+1,m+2, ….. …,r.
概念理解
超幾何分布：
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m= max{0,n-(N-M},r= min{n,M}.
追問2怎樣判斷一個變量是否服從超幾何分布
①總體中含有兩類不同的個體；
② 不 放 回地抽取；
③隨機變量是從總體中抽取的n個個體中某一類個體的數量.
概念理解
超幾何分布：
k=m,m+1,m+2,…..…,r.
【微提醒】
(1)在超幾何分布的模型中，“任取n 件”應理解為“不放回地一次 取一件，連續取n件” .
(2)超幾何分布的特點：
①不放回抽樣；
②考察對象分兩類；
③實質是古典概型.
[典例講評]1. 下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是6的骰子的個數記為X, 求X 的分布列；X
(2)有一批種子的發芽率為70%,任取10顆種子做發芽實驗，把實驗中發芽的種 子的個數記為X, 求X的分布列； × 樣本沒有分類，,是重復試驗問題.
(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個數
樣本都分為兩類，隨機變量X 表示抽取n件樣本某類樣
記為X, 求X的分布列；√
本被抽取的件數，是超幾何分布.
(4)某班級有男生25人，女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動，班長必 須參加，其中女生人數記為X, 求X的分布列；√
(5)現有100臺平板電腦未經檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板 電腦的個數記為X, 求X 的分布列. × 沒有給出不合格產品數，
無法計算X的分布列
反思領悟 判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的方法
(1)總體是否可分為兩類明確的對象.
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數.
[學以致用] 1 . (1)(多選)下列隨機事件中的隨機變量X 不服從超幾何分
布的是( )
A . 將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數X
B. 從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，選
出女生的人數為X B是超幾何分布
C . 某射手的命中率為0.8,現對目標射擊1次，記命中目標的次數為X D . 盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X 是首次 摸出黑球時的總次數
探究2 超幾何分布的均值
探究問題3 從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動.
(1)如何求所選3人中恰有1名男生的概率；
(2)求所選3人中男生人數X的分布列和均值.
X 0 1 2
3
P
(2)X的可能取值為0,1,2,3,
所以X的分布列為
新知探究：超幾何分布的均值
問題3 服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么
設隨機變量X 服從超幾何分布，則X 可以解釋為從包含M 件次品
的N 件產品中，不放回地隨機抽取n 件產品中的次品數.
令 則 p 是 N 件產品的次品率，而 是抽取的n 件產 品的次品率.
我們猜想 ,即E(X)onp
新知探究：二項分布的均值
下面對均值進行證明. 我們猜想 ,E(X)■np 證明：令m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
求與超幾何分布有關的 均值問題，可利用均值
公式，也可以直接利用
求 解 。
當m>0 時 ，
若隨機變量X服從超幾何分布，則有E(X)■np
當m=0時，類似可以證明結論依然成立.
由隨機變量的定義：
[典例講評] 2 . (1)某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2名
代表，至少有1名女生當選的概率為( )
A . B.
C. D.
由題意可得所求概率為
(2)一個盒子裝有大小相同的10個黑球、12個紅球、4個白球，從中
任取2個，其中白球的個數記為X, 下列概率等 的是( )
A.P(OC.P(X=1) D.P(X=2)
表示選1個白球或者一個白球都沒有取得的情形，即PX≤1)
反思領悟
(1)解答此類問題的關鍵是先分析隨機變量是否滿足超幾何分布.
(2)注意公式中M,N,n 的含義.
[典例講評]3.在一次招聘中，主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機
抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題. 甲能正確完成其中的4道題，且每 道題完成與否互不影響.規定至少正確完成其中2道題便可過關.記所抽取 的3道題中，甲答對的題數為X, 求X 的分布列.
由題意得，X的可能取值為1,2,3,
X 1 2
3
P 一 5 以 一 5
一 5
故X 的分布列為
1
1
第一步
驗證隨機變量服從超幾何分布，并確
定參數 N,M,n 的 值
第二步
根據超幾何分布的概率計算公式計
算隨機變量取每 一 個值時的概率
第三步
用表格的形式列出分布列
反思領悟求超幾何分布的分布列的步驟
隨機變量X 為取出的3個球的得分之和.
① 9 求m 的值；
②當m=3 時，求X 的分布列.
①當3個球都是白球時，X=6, 所以
所以m=1.
[學以致用] 1(2)箱中裝有4個白球和m 個黑球.規定取出一個白球得2分，取出
一個黑球得1分，現從箱中任取3個球，假設每個球被取出的可能性都相等.記
X 3 4 5
6
P 12 18
4
② X 的 可 能 取 值 為 3 , 4 , 5 , 6.
35 35 35
所以X 的分布列為
[典例講評] 4 .某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學.在這
10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學 等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學， 到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A,
所以選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為
(2)設X 為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X 的分布列及均值
(2)依據條件，隨機變量X服從超幾何分布，其中N =10,M=4,n=3, 且隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,
X 0 1 2
3
P 1 2 3 10
1
30
所以X的分布列為
6
1
反思領悟 求超幾何分布均值的步驟
(1)驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N,M,n 的值 .
(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的 概率 .
(3)利用均值公式求解.
[學以致用] 2 . (1)袋中有3個白球、1個紅球，從中任取2個球，取
得1個白球得0分，取得1個紅球得2分，則所得分數X 的均值為( ) A.0 X的可能取值為0,2,
B. 1
C.2
D.4
故X的均值為
(2)某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8道試題中隨機挑選4
道進行作答，至少答對3道才能通過初試.在這8道試題中甲能答對6 道，記甲答對試題的個數為X, 則甲通過自主招生初試的概率為
11
14 ,E(X)= 3 ___
甲能通過自主招生初試的概率為P(X=3)+P(X=4)
由于X 的可能取值為2,3,4,
故
超幾何分布
二項分布
試驗類型 不放回抽樣
放回抽樣
試驗種數 有兩種物品
有兩種結果
總體容量 有 限個
無限個
隨機變量取值的概率 利 用 古典概型 計算
利用獨立重復試驗計算
聯系 (1)對于同一模型，兩個分布的均值相同，但超幾何分布的 方差較小，隨機變量的取值更集中于均值附近 ( 2)對于不放回摸球，當N充分大，且n遠遠小于N時，各次 抽樣結果彼此影響很小，此時超幾何分布近似二項分布； 從方差角度看，由 ,兩個分布的方差也近似相等。
問題4: 二項分布、超幾何分布有什么區別和聯系
所以隨機變量X 的分布列為
法二：
由題意知，
故E(X)=0×3+1×7+2×5=3 所 以
PX=2)=CC=
X 0 1
2
P
(1)不放回抽樣時，抽取次品數X 的均值；
(1)法一：X 的可能取值為0,1,2 . |
所以隨機變量X 服從超幾何分布，
n=3,M=2,N=10,
[典例講評] 5.在10件產品中有2件次品，連續抽3次，每次抽1件.求：
反思領悟 不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，
求均值時都可利用公式代入計算.
(2)放回抽樣時，抽取次品數Y的均值與方差.
(2)由題意知，抽取1次取到次品的概率為
隨機變量Y服從二項分布
所以
[學以致用] 3 .已知一個袋子中裝有大小形狀完全相同的3個白球和2個黑球.
(1)若從袋中一次任取3個球，若取到的3個球中有X 個黑球，求X的分布列及均值；
(2)若從袋中每次隨機取出一個球，記下顏色后將球放回袋中，重復此過程，直 至他連續2次取到黑球才停止，設他在第Y次取球后停止取球，求P(Y=5).
(1)X可能的取值為0,1,2, (2)當Y=5 時 ，
第四、五次取到的是黑球，
X 0 1
2
P 315
第三次取到的是白球，前兩次不能
都取到黑球，則所求概率
其 中k=0,1,2, 則X的分布列為
X的 均
應用遷移
1. (多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有( )
A . 在10件產品中有3件次品， 一件一件地不放回地任意取出4件，
記取到的次品數為X
B . 從3臺甲型電腦和2臺乙型電腦中任取2臺，記X 表示所取的2
臺電腦中甲型電腦的臺數
C. 一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅 燈的個數為隨機變量X C 中顯然不能看作一個不放回抽樣問題
D. 從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數 記為X
題號
1
2
3
4
2.一批產品共10件，次品率為20%,從中任取2件，則恰好取到1
件次品的概率為( )
B
D.
由題意知，10件產品中有2件次品，故所求概率為
題號
1
2
4
因為從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數
為X=4, 即舊球增加一個，所以取出的三個球中必有一個新球，
兩個舊球，所以
3. 一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3
個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數X 是一個隨機變量， 其分布列為P(X), 則P(X=4) 的值為( )
題號
1
2
3
4
B.
4. 盒子里有5個球，其中有3個白球、2個黑球，從中任取兩球，
設取出白球的個數為，則E(G=
由題意知隨機變量ξ服從超幾何分布，則
題號
1
2
3
4
教用 ·課堂小結
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1. 在產品抽樣檢驗中，若抽到的次品數服從超幾何分布，則抽樣有 何特點
[提示] 抽樣方法為不放回抽樣.
教用 ·課堂小結
2. 超幾何分布的均值公式： E(X)=np, 與二項分布的均值公式一
樣嗎
[提示] 不 一樣 .在二項分布中， n 為伯努利試驗重復的次數， p 為
成功概率；在超幾何分布中， n 是抽取的產品件數， p 是N件產品的 次品率.
THANKS
課時分層作業(十八) 超幾何分布
一、選擇題
1. 在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X 表示任選10個村莊
中交通不方便的村莊的個數，則X 服從超幾何分布，其參數為( )
A . N=15,M=7,n=10 B.N=15,M=10,n=7
C.N=22,M=10,n=7 D.N=22,M=7,n=10
根據超幾何分布概率模型得N=15,M=7, n=10.
2. 在100張獎券中，有4張能中獎，從這100張獎券中任取2張，則2張都能
中獎的概率是( )
A. B.
D.
記X為2張中的中獎數，則
3. ( 多 選)在 一 個袋中裝有大小相同的4個黑球，6個白球，現從中任取3個小
球，設取出的3個小球中白球的個數為X, 則下列結論正確的是( )
A. 隨機變量X 服從超幾何分布
B. 隨機變量X 服從二項分布
d
P
隨機變量X 服從超幾何分布，且N=10,M=6,n=3, 故 A 正 確 ，B 錯誤；
故C 正 確 ； 故D正 確 . 故 選ACD.
4.已知10名學生中有a名女生，若從這10名學生中抽取2名作為學生代表，恰好抽
取1名女生的概率之 則a的值為( )
A.2 B.6
C.8 D.2 或8
V
由題意， 解得a=2 或a=8.
5. 盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現從盒中隨機地抽取4個，則
概率是 的事件為( )
A. 恰有1個是壞的 B.4 個全是好的
g. 恰有2個是好的 D. 至多有2個是壞的
令X=k 表示“取出的螺絲釘恰有k個是好的”,則
所以 故選C.
二、填空題
6. 袋中有3個紅球、7個白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無
放回地任取5個，取出幾個紅球就得幾分，則平均得 1.5 分 .
用X 表示所得分數，則X 也是取得的紅球數，X 服從超幾何分布，
且N=10,M=3,n=5,
于是
7. 某12人的興趣小組中，有5名“三好學生”,現從中任意選6人參加競賽，
用X表示這6人中“三好學生”的人數，則當X取_2 或 3 時，對應的概率為
由題意可知，X 服從超幾何分布，
所以X=2 或3.
所 以
,
8.生產方提供一批產品，共50箱，其中有2箱不合格產品.采購方接收該批產品
的準則如下：從該批產品中任取5箱進行檢測，若至多有1箱不合格產品，便接收
243
該批產品.則該批產品被接收的概率為 245 . (結果用最簡分數表示)
設進行檢測的5箱產品中不合格產品有X 箱，則X 服從超幾何分布，
∴該批產品被接收的概率為
三、解答題
9.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量ξ表 示所選3人中女生的人數.
(1)求ξ的分布列；(2)求“所選3人中女生人數ξ≤1”的概率.
(1)ξ可能取的值為0,1,2,服從超幾何分布，
乙 Y ∠ 厶 八 大 T 、 L
ξ 0 1
2
P 115 315
(2)由(1)知，“所選3人中女生人數ξ≤1”的概率為
所以，

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