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人教A 版高一數(shù)學(xué)必修二第二學(xué)期8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積
第八章 立體幾何初步
8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積
核心素養(yǎng)目標(biāo)
1.數(shù)學(xué)抽象：通過對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌握棱柱、棱錐、 棱臺(tái)的表面積和體積計(jì)算公式.
2.直觀想象：借助直觀圖形，想象棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征， 理解表面積和體積公式的推導(dǎo)過程，建立空間觀念。
3.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)逐步培養(yǎng)我們的類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力。
4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行 計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.
教學(xué)目標(biāo)
教學(xué)重點(diǎn)：通過對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的研究，掌握?qǐng)A柱、 圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式 .
教學(xué)難點(diǎn)：能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決
有關(guān)實(shí)際問題
初中我們通過 長方體和正方 體的展開圖從 而得到了它們 的表面積公式。
追問：能否將立體圖形平面化的思路來探究任何多面體的表面積呢
多面體的表面積就是圍成多面體的各個(gè)面的面積的和.
問題1: 在初中我們已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，是如何得到長方
體和正方體的表面積公式的
Part Two
求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、
梯形的面積問題，而計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面 面 積 之 和。
追問：棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是 什么 如何計(jì)算它們的表面積
棱柱
棱柱的側(cè)面圖是平行四邊形， 底面是全等的多邊形
棱錐的側(cè)面圖是多個(gè)三角形， 底面是多邊形
棱臺(tái)的側(cè)面是若干個(gè)梯形， 底面是兩個(gè)相似的多邊形。
Part Two
知識(shí)梳理
棱錐
求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、
梯形的面積問題，而計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面 面 積 之 和。
追問：棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的展開圖是 什么 如何計(jì)算它們的表面積
棱柱
棱柱的側(cè)面圖是平行四邊形， 底面是全等的多邊形
棱錐的側(cè)面圖是多個(gè)三角形， 底面是多邊形
棱臺(tái)的側(cè)面是若干個(gè)梯形， 底面是兩個(gè)相似的多邊形。
Part Two
知識(shí)梳理
棱錐
問 題 2: 我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)長方體的體積公式V=Sh, 其中S是長方體的底
面積，h 是長方體的高.那么公式是否適用于一般的棱柱呢
活動(dòng)： 取一摞書放在桌面上， 并改變它們的位置，觀察改變前后的體積是
理 冪勢(shì)既同，則積不容異。
高度、書中每頁紙面積和順序不變
祖 暄 原
Part Three
否發(fā)生變化
一般地，如果棱柱的底面積是S, 高是h, 那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱 = Sh
(h是指兩底面之間的距離)
由祖暄原理： 等底面積等高的兩個(gè)任意柱體體積相等
可以得到棱柱的體積公式
S底
S底
S底
S底
到地面的距離)那么該棱錐的體積：
為什么圓錐是同底等高圓柱的三分之一 除度量之外還能怎么 解釋
由祖暄原理： 等底面積等高的任意兩個(gè)錐體體積也相等
可以得到棱錐的體積公式
一般地，如果棱錐的底面面積為S, 高 為h, (h 指棱錐頂點(diǎn)
由祖暄原理可得：如果一個(gè)棱柱和一個(gè)棱錐
的底面積相等，高也相等，那么,棱柱的體積
是棱錐的體積的3倍.即： V棱錐
探究：如下圖可以將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，那么這 三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系 它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系
棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離， 即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面 作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.
課本8.6節(jié)例6 (P154)
PO'=h,00'=h
練習(xí)：棱臺(tái)上下底面面積分別是2,4,高是3,求棱臺(tái)的積
我們知道棱臺(tái)是由棱錐截成的，從這個(gè)角度看，我們?cè)撊绾斡?jì)算棱臺(tái)的體積
呢
棱錐
V棱柱 = Sh
V 棱錐 =3Sh
從棱柱、棱錐、棱臺(tái)的形狀可以得出
棱柱 棱臺(tái)
上下底面全等
觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積公式為什么體積公式形式類似，但又不完全 相同 是什么導(dǎo)致了這樣的結(jié)果
當(dāng)S'=S
當(dāng)S'=0
上底退縮為點(diǎn)
時(shí)
時(shí)
V 棱臺(tái)
棱柱、棱錐、棱臺(tái)
棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積
一般棱柱的體積公式也 是V=Sh , 其 中S為底面 面積，h為高(即兩底面 之間的距離，即從一底面 上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面 作垂線，這點(diǎn)與垂足(垂 線與底面的交點(diǎn))之間的
距 離 。
正方體、長方體，以及正 棱柱的體積公式可以統(tǒng)一 為：
V=Sh(S 為底面面積，h 為高)
柱 體
S
(其中S為底面面積，h 為高)
它是同底同高的棱柱的體積的
棱錐的體積公式也是
棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離。
正棱椎的體積公式是
錐 體
S
h
B
A
根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積 由于棱臺(tái)是由棱錐截成的，因此可以利 用兩個(gè)錐體的體積差.得到棱臺(tái)的體積 公式(過程略).
棱臺(tái)的高是指兩底面之間的距離， 即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂 線，這點(diǎn)與垂足之間的距離。
D
S
C
A'
h
B
S Q
BY
1
]
錐 體
A
C'
P
思考：柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系 你
能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎
S、S 分別為上、下底 面面積， h 為臺(tái)體高
S為底面面積， h為錐體高
S為底面面積，
h為柱體高
正四棱臺(tái)的大致圖形如圖所示，其中A B =10 cm,AB=20 cm,
取A B 的中點(diǎn)E ,AB 的中點(diǎn)E 則E E 為側(cè)面底邊上的高.
設(shè)0 ,0分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO E 為直角梯形.
, ∴EE =13cm.
在直角梯形EOO E 中 ，
反思感悟： 注意棱錐棱臺(tái)的高、斜高、側(cè)棱長之間的轉(zhuǎn)換.
例 正四棱臺(tái)兩底面邊長分別為20 cm 和10 cm,
側(cè)棱長為10 cm. 求 表 面 積
∴O O=√ 13 -(10-5) =12(cm).
故該正四棱臺(tái)的體積為
··
回歸情景：已知該埃及金子塔模型的側(cè)棱長為4,底面ABCD 為正方形
且邊長為2/2,求該模型的表面積和體積。
解 ： 由題意可得 S △PAB △PAD=S△PBC=SAPCD
D C A
2√2 B° =4S△PAB+S口ABCD=4×2 22)=87+8
+
=
錐
：
4
表
4
S
×
該模型的表面積
∵S△PAB=2×2√2
∴該模型的體積：
底
小 結(jié)
表面積
棱柱、棱錐、棱臺(tái)
體 積·
各面面積之和
V=Sh
v=ssh
v=s(s'+SS+S)h
多面體 圖形 表面積
體積
棱柱 底面積+側(cè)面積
S=S×h
棱錐
棱臺(tái)
課堂小結(jié)

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