資源簡介

(共22張PPT)
7.1.2 全概率公式
舊知回顧
(1)古典概型的概念及古典概型的概率公式；
(2)互斥事件概率的加法公式；
(3)條件概率公式及乘法公式；
情境引入
蒙提霍爾問題(三門問題)
· 三門問題 (Monty Hall problem)
· 三門問題出自美國的電視游戲節目“Let's Make a Deal". 參與者中堅持到最后的那一位會看見 三扇關閉的門，其中一扇門后面有一輛汽車，另 外兩扇門后面各藏有一只山羊.如果選中后面有 車的那扇門就可以贏得這輛汽車.
· 參與者最初可以選擇任何一扇門(不妨設選擇了 1號門),隨后主持人Monty Hall 打開剩下兩扇
門中的一扇(不妨設打開了3號門),露出其中
一只山羊.接著主持人Monty Hall問參與者：是 維持原來的選擇，還是換另外一扇仍然關閉的門
· 問題：是維持最初選擇的中獎概率高，還是改變 選擇的中獎概率高
2
1

3

2
1
2
思考1:假如你是ben, 你會怎樣選擇
思考2:如果改變選擇，中獎的概率是多少
思考3:如果不改變選擇，中獎的概率又是多少
問題引入
袋子中裝有a個紅球和b個藍球，這些球除顏色外完全相同。 每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.
Q1: 從袋子中任取一球，求取得紅球的概率
Q2: 從袋子中任取一球，求取得藍球的概率
Q3: 從袋子中任取一球，摸出的球不再放回，求第2次取得
紅球的概率是多少
Q4: 從袋子中任取一球，摸出的球不再放回， 求第2次取得 藍球的概率是多少
Q3: 從袋子中任取一球，摸出的球不再放回，求第2次取得
紅球的概率是多少
用 R;表示事件“第次摸到紅球”,B 表示事件“第i次摸到藍球”,
i=1,2.
用 R;表示事件“第i次摸到紅球”,B 表示事件“第次摸到藍球”,
i=1,2.
R
R R
B ---------R B
R B R2
B B
R P(R )
P(B )
B
p(R R)
P(B /R )
P(R2\B1)
P(B |B )
B
Q4: 從袋子中任取一球，摸出的球不再放回，求第2次取得
藍球的概率是多少
思考4:比較分析(3)和(4),并歸納出這兩個問題的共性
按照某種標準，將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，
再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率.
設A ,A ,…,An 是一組兩兩互斥的事件，A UA U….UA,=2,
且P(A;)>0,i=1,2,…,n, 則對任意的事件BSΩ, 求事件B 的概率P(B).
概念生成
概念生成
一般地，設A ,A ,…,An 是一組兩兩互斥的事件，
A UA U.….UA,=2, 且 P(A)>0,i=1,2,…,n, 則對任意的
稱上面的公式為全概率公式。
事件BC0, 有
Q
思考5:結合古典概型和Venn圖，嘗試證明全概率公式
Q
思考6:總結出全概率公式求解問題的一般思路
運用全概率公式求概率的解題步驟：
(1)用符號表示隨機事件：設A ,A ,…,A SΩ, 設事件B 要求：A ,A ,…,An 兩兩互斥，A UA U.….UA,=2,
且P(A;)>0,i=1,2,…,n,
(2)分別計算概率： p(A,)P(B|A)
(3)求概率：
例題講解
例1 某學校有A,B 兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇 一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為 0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8,計 算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.
例2 有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,
第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起. 已
知第1,2,3臺車床加工的零件數分別占總數的25%,30%,45% .
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
例2 有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%,
第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起. 已知 第1,2,3臺車床加工的零件數分別占總數的25%,30%,45% .
(2)如果取到的零件是次品，計算它是第i(i=1,2,3) 臺車床加工 的概率.
思考7: 在上面的例題解答中，概率P(A;),P(A;|B) 的實際意
義是什么 你能梳理出解決問題(2)過程中的關鍵等式嗎
P(A)是試驗之前就已知的概率，它是第詒車床加工的零件
所占的比例，稱為先驗概率.當已知抽到的零件是次品 (B
發 生 ) , P(A; |B) 是這件次品來自第詒車床加工的可能性
大小，通常稱為后驗概率.
關鍵等式
貝葉斯公式： 設A ,A ,…,An 是一組兩兩互斥的事件，
A UA U.….UA,=2, 且 P(A;)>0,i=1,2,…,n, 則對任意的 事件BE2,P(B)>0, 有
,i=1,2,...,n.
注意：貝葉斯公式一般適用于已知事件的結果，求某一種情況
發生的概率.
三門問題
思考8:三門問題中，主持人做了什么試驗 是隨機事件嗎
概率是多少 如何求其概率
A;表示事件“第i扇門后有汽車”,B;表示事件“主持人打開了
第i扇 門 ”
若第1扇門后有汽車，主持人只能打開2,3號門，則
若第2扇門后有汽車，主持人只能打開3號門，則
P(B A )=1
若第3扇門后有汽車，主持人只能打開2號門，則
P(B A )=0
P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B A)+P(A)P(B A)=2
根據貝葉斯公式，在3號門打開的條件下，1號門和2號門后
有汽車的概率分別為
因此，改選后中獎的概率更高
課堂小結
1.全概率公式中將樣本空間拆分成若干個兩兩互斥事件的作 用是什么
2.應用全概率公式的步驟是什么

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