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(共29張PPT)
第八章立體幾何初步
8.4.1平面
課本第124頁~127頁
教學目標
01 借助實物了解平面的概念，理解平面的特點和基本性質(重點)
02 了解3個基本事實和3個推論；(重點)
03 運會用符號表示圖形中點、直線、平面之間的位置關系；(重點)
04 能運用平面基本性質證明與判斷共線、共面、共點問題. (重點、難點)
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學科素養
了解平面的概念，理解平面的特點和基本性質
能運用平面基本性質證明與判斷共線、共面、共點問題
了解3個基本事實和3個推論
數學抽象
邏輯推理
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前面我們學習了基本幾何體，學習了它們的結構特征、平面表示、
面積和體積的計算.在學習棱柱、棱錐、棱臺等多面體的過程中，我 們知道頂點、棱、平面多邊形等是構成這些多面體的基本元素，這些 元素之間的相互關系，反映了這些多面體的結構特征.實際上，立體 圖形都是由點、直線、平面等基本元素組成的，要研究立體圖形的結 構特征，就要研究這些基本元素之間的位置關系，我們先從認識點、
直線、平面這些基本元素開始.
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立體圖形都是由點、直線、平面等基本元素組
成的，要研究立體圖形的結構特征，就要研究 這些基本元素之間的位置關系，我們先從認識 點、直線、平面這些基本元素開始.
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S
上底面
D' C' 側面
A' 入 B
D C
A B 頂點
S 頂點
側面
側棱
D
底面 ·
B
E
面
棱
A D
C
B
頂點
F
E D
C
A B
C'
A ' B
頂點二 -F
下底面
側 棱
底 面
側面
E' D'
F'
C
現實事物抽象得到的
點A 直線l 不加定義的幾何概念
對于本節要學習的“平面”,可以從生活中哪些物體抽象得到呢 平面有什么特點和性質呢
12分鐘時間閱讀教材P124--127, 完成導綱一、二部分并找到以下問題答案：
(1)生活中哪些物體給你以平面的感覺 平面有什么特點 如何表示平面
(2)點、直線、平面之間有哪些基本位置關系 如何用數學符號表示
(3)平面的性質(3個基本事實及推論)是什么
6分鐘時間討論導綱一、二部分自己未解決的問題
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們以平面的直觀感覺.幾何里所說的“平面(plane)” 就是從這樣的
一些物體中抽象出來的.
“平 面”與點和直線一樣， 都是現實事物抽象得到 的，是不加定義的幾何 概念
(1)生活中哪些物體給你以平面的感覺 平面有什么特點 如何表示平面
生活中有一些物體：如課桌面、黑板面、平靜的水面等都給我
平面的描述與特征
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絕對的直
沒有粗細之分
平面的特征
不能度量長度
無限延伸
絕對的平
不計厚薄
不計大小
無限延展
直線的特征
類比
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我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面.如平面α
也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英
文字母表示，如圖也可以表示為平面ABCD, 平面AC或平面BD
我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
D-
A a
C
B
平面的表示
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在畫兩個平面相交時，一定要畫出交線，如果其中一個平面的一部分
被另一個平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出 的圖形立體感更強一些，如圖.
兩相交平面的畫法
α α
A A
β B
B
β
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【練習】判斷下列各題的說法正確與否 1.一個平面長4米，寬2米；
(X)
2.平面上一條直線可以把這個平面分成兩部分；
( √)
3.10個平面疊在一起要比一個平面厚；
(×)
4.菱形的面積可以等于4cm ;
( √)
5.一個平面可以把空間分成兩部分.
( √)
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直線上有無數個點，平面內有無數個點，直線、平面都可以看出是點的
集合.接下來我們通過元素與集合、集合與集合之間的關系，分別用文字語 言、符號語音、圖形語言來描述，點A, 直線l,m、 平面α的位置關系.
文字語言
A 在1上
A在1外
A 在α內
A在α外
符號語言
AEl
A∈l
AEα
AEα
圖形語言
A
A .
點、直線、平面之間的位置關系
A
α
α
L
L
A.
2
3
4
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—
點、直線、平面之間的位置關系
文字語言 符號語言
5 l,m平行 l//m
6 l,m 相交于A ln m=A
7 l在α內 lcα
8 l不在α內 ldα
9 α平行β a//β
10 a,β 相交于直線l aNβ=l
圖形語言
T
m
m
α
l
α
α
β
β
α
l
l
α
A
L
l
基本 事實 基 本 事 實 1 基 本 事 實 2 基 本 事 實 3 文字 語言 過不在一條直線上的 三點，有且只有一個 平面 如果一條直線上的兩個 點在一個平面內，那么 這條直線在這個平面內 如果兩個不重合的平面有一個 公共點，那么它們有且只有一 條過該點的公共直線 圖形 語言 ●B a A° C 符號 語言 CfAB→有且只有一 個平面α,A∈α, β∈ α,C∈a A∈l,B∈l,且A∈ B∈α→lcα α, P∈α,且P∈ β→ α 且P∈l
∩β=l,
實是人們經過長期觀察 也是我們進一步研究立 與實踐總結出來的，是幾何 體圖形的基礎。
這三個基本事
推理的基本依據，
平面的基本性質
點 評
平面的基本性質 基本事實1 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. “不共線三點確定一個平面” a A●
●B
●C
符號表示為CfAB → 有且只有一個平面α, A∈a,B∈a,C∈a.
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基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個
平面內.
符號表示為 A∈l,B∈l, 且A∈α,B∈α → lca.
如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，
那么直尺的整個邊緣就落在了桌面上. A
刻畫 a
直線的“直” 平面的“平”
直線的“無限延伸” 刻畫 平面的“無限延展”
平面的的基本性質
藻
B
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點評
符號表示為 P∈a, 且P∈β= a∩β=l, 且P∈1.
如果兩個平面有一個公
共點，那么這兩個平面一定
相交于過這個公共點的一條
直線.兩個平面相交成一條
直線的事實，可以讓我們進
一步認識了平面的“平”和
“無限延展”.
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條 過該點的公共直線.
平面的的基本性質
基本 事實 基 本 事 實 1 基 本 事 實 2
基 本 事 實 3
文字 語言 過不在一條直線上的 三點，有且只有一個 平面 如果一條直線上的兩個 點在一個平面內，那么 這條直線在這個平面內
如果兩個不重合的平面有一個
公共點，那么它們有且只有一 條過該點的公共直線
圖形 語言
●B a A° C 符號 語言 CfAB→有且只有一 個平面α,A∈α, B∈α,C∈α A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α→lcα
P∈α,且P∈ β→ α∩β=l, 且P∈l
作用 ①確定一個平面的依據 ①判斷直線是否在面內 ②判定點是否在面內
①判定兩平面相交
②判斷點是否在直線上
平面的基本性質
a
推論二 經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論三 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
b
C
a
利用基本事實1和2再結合“兩點確定一條直線”,可得到下面三個關于確定
一個平面的推論：
推論一 經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面./ A.
B a C
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基本 事實 基 本 事 實 1 基 本 事 實 2
基 本 事 實 3
文字 語言 過不在一條直線上的 三點，有且只有一個 平面 如果一條直線上的兩個 點在一個平面內，那么 這條直線在這個平面內
如果兩個不重合的平面有一個
公共點，那么它們有且只有一 條過該點的公共直線
圖形 語言
●B a A° C 符號 語言 CfAB→有且只有一 個平面α,A∈α, B∈α,C∈α A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α→lcα
P∈α,且P∈ β→ α∩β=l, 且P∈l
作用 ①確定一個平面的依據 ①判斷直線是否在面內
①判定兩平面相交
②判定點線共面 ②判定點是否在面內
②判斷點是否在直線上
平面的基本性質
下列命題正確的是( )
A. 經過三點確定一個平面； B. 經過一條直線和一個點確定一個平面；
C. 兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面； D. 四邊形確定一個平面 .
【解析】A, 當三點共線時不能確定一個平面，故A錯誤；
B, 點在直線上時不能確定一個平面，故B錯誤；
C, 由右圖可知， C正確： (詳解見下頁) l A l l
D, 空間四邊形不能確定一個平面，故D錯誤； a
綜上知選C
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1.判斷正誤. (在題后括號內打“ √ ”或“×”)
(1)一條直線和一個點可以確定一個平面. (
(2)四邊形是平面圖形. (
(3)兩條相交直線可以確定一個平面.(y)
(4)4個平面重疊起來要比一個平面厚.
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2. 下列結論中不正確的是(D)
A. 若兩個平面有一個公共點，則它們有無數個公共點
B. 梯形可確定一個平面
C. 若點A 既在平面α內，又在平面β內，則α與β相交于b, 且點A 在b上
D. 任意兩條直線不能確定一個平面
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3.不重合的三條直線，若相交于一點，最多能確定 3 個平面.
4.四點可以確定 個平面.
1或4或無數
P
A
B
C
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基本 事實 基 本 事 實 1 基 本 事 實 2
基 本 事 實 3
文字 語言 過不在一條直線上的 三點，有且只有一個 平面 如果一條直線上的兩個 點在一個平面內，那么 這條直線在這個平面內
如果兩個不重合的平面有一個
公共點，那么它們有且只有一 條過該點的公共直線
圖形 語言
●B a A° C 符號 語言 CfAB→有且只有一 個平面α,A∈α, B∈α,C∈α A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α→lcα
P∈α,且P∈ β→ α∩β=l, 且P∈l
作用 ①確定一個平面的依據 ①判斷直線是否在面內
①判定兩平面相交
②判定點線共面 ②判定點是否在面內
②判斷點是否在直線上
平面的基本性質
α
證 明 ： 因 為I Nl =A, 所 以l 和 l 確定 一 個平面α . (推論1)
因 為L Nl =B, 所 以B∈l .
又 因 為l Ca, 所 以B∈a. (點在線上，線在面內，則點在面內)
同 理 可 證C∈a
又 因 為B∈l ,C∈l , 所 以l Ca. (基本事實2)
所 以 直 線l 、l 、l 在 同 一 平 面 內 .
已 知 ： 如 圖 所 示 ，l Nl =A,L Nl =B,l Nl =C.
求 證 ： 直 線l 、l 、l 在同 一 平面內 .
【練習】證明兩兩相交且不共點的三條直線在同 一 平面內 .
l Ali
l
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基本事實1 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
基本事實2用符號表示為 A∈l,B∈l, 且A∈a,B∈a→lca.
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的
公共直線.
基本事實3用符號表示為 P∈α, 且P∈β→a∩β=l, 且P∈1.
基本事實1和2的三個推論：
推論一 經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面.
推論二 經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論三 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
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1.用符號表示下列語句，并畫出相應的圖形：
( 1 ) 點A在平面α內，點B在平面α外；
(2)直線a經過平面α外的一點M;
(3)直線a既在平面α內，又在平面β內.
2.已知直線b//c, 且直線a與b,c 都相交，求證：直線a,b,c 共面.
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