資源簡介

(共19張PPT)
6.2.1排列 6.2.2排列數
第一課時
解決這個問題，需分2個步驟：
第1步，確定參加上午活動的同學，從3人
中任選1人有3種方法；
第2步，確定參加下午活動的同學，只能 從余下的2人中選，有2種方法.
根 據分步計數原理，
共有：3×2=6種不同的方法.
問題探究
問 題 1 從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學參加 上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法
選 甲法
甲
乙
乙
丙
丙
乙 丙 甲 丙 甲 乙
乙 丙 甲 丙 甲 乙
甲 丙
上午
下午
問題探究
問 題 2 從a、b、c、d 這四個字母中，取出3個按照順序排成一列，共有多少種不 同的挑法
解決這個問題，需分3個步驟：
第1步，先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，有4種方法；
第2步，確定中間的字母，從余下的3個字母中去取，有3種方法；
第3步，確定右邊的字母，只能從余下的2個字母中去取，有2種方法 .
根據分步計數原理，共有：4×3×2=24種不同的排法 .
4 3 2
問題探究
問 題2 從a、b、c、d 這四個字母中，取出3個按照順序排成一列，共有多少種不 同的挑法
由此可以寫出所有的排列：
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
問題探究，認識新知
思 考 上述兩個問題的共同特點是什么 你能將它們推廣到一般情形嗎
上述問題都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定順序 排成一列的方法數.
排列定義
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n) 個元素， 按照一定的順序排成一
列，叫做從n個不同元素中取出m 個元素的一個排 列.
排列的定義中包含兩個基本內容：
一是“取出元素”;二是“按照一定順序排列”. “ 一定順序”就是與
位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志.
根據排列的定義， 兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素完全相同， 而且元素的排列順序也完全相同.
知識理解
例1、根據定義，判斷下列問題是不是屬于排列問題
(1)從5位同學中選3位去參加一項活動，有幾種選法 ×
(2 )停車場有8個空車位，現有4輛不同的汽車要停放，有多少種不同 的停法 V
(3)從1,2,3,4四個數字中任選兩個做加法，會有多少種不同的結 果
(4)從1,2,3,4四個數字中任選兩個做除法，會有多少種不同的結 果 V
檢驗排列問題的方法：
1.是否取出元素；2.元素的順序是否影響結果
例2 ( 1)從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送 法
( 2 ) 從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法
解： (1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個 不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是
5×4×3=60
(2)由于有5種不同的書， 送給每個同學的1本書都有5種不同的選 購方法，因此送給3名同學每人各1本書的不同方法種數是
5×5×5=125
知識理解
1、(多選)下列問題是排列問題的是(AC )
A. 某班從50名學生中選出正副班長
B. 選2個小組上交作業
C. 某地共12個車站，為車站之間準備車票
D. 從50張桌子中搬走三張
2、從2,3,5,7,11這五個數字中，任取2個數字組成分數，不同值 的分數共有多少個 5×4=20
3、有5種不同的菜種，任選4種種在不同土質的4塊地里，有
種不同的種法 5×4×3×2=120
針對訓練
●排列數
我們把從n 個不同元素取出m( m≤n )個元素的所有排列的個數，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的排列數，用符號Am 表示.
我們來探究從n 個不同元素中取出m 個元素的排列數Am是多少
不妨先從取兩個元素的特殊情況開始探究：
可以假定有排好順序的兩個空位，每個空位
都從n 個元素中取1個填入，則計算填入方法
時需要分為兩個步驟：
第一步，從n 個元素中取1個填入第一個空位，有n 種方法；
第二步，從剩下的n-1 個元素中取1個填入第一個空位，有n-1種方法；
由分步乘法計數原理，則共有A =n(n-1) 種填法.
新知講解
n種 n-1 種
由此可得，排列數公式為： A,"=n(n-1(n-2)…(n-m+1)
特別地， n 個不同元素全部取出的一個排列，叫作n 個不同元素的一個全排列.這 時在排列數公式中m=n, 即有：
A"=n×(n-1)×(n-2)× … ×3×2×1
n個不同元素全部取出的排列數，等于正整數1到n的連乘積.正整數1到n的連乘 積，叫做n的階乘，用n! 表示，所以n個不同元素的全排列數公式可以寫成
n種 n-1種 n-2種 ●●●
n-m+1
特別地，規定：0!=1
以此法類推，可得出取m 個元素的情況如下：
新 知 講 解
A"=n!
種
例3:計算(1) (2)A; ③ (4)A ×A2
解：由排列數公式可得
(1)A =7×6×5=210; (2)A=7×6×5×4=840;
思考：觀察(1)A 與(3) 的關系，以及(4)A4×A2與A6的關系，從中能發現什么共性么
(3
例題講解
思考：觀察(1) 的關系，以及(4)A4×A2 與A 的關系，從中能發現什么共性么
事實上，A"=n(n-1(n-2)…(n-m+1)
因此排列數公式，也可以寫成：
探 究 深 入
例1、用0~9這十個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數
特殊位置分析法
解法1:由于在沒有重復數字的三位數中，百位上的數字不能是0,
因此可以分兩步完成排列。
第一步，排百位上的數字，可以從1到9這九個數字中任選1個，
有A 種選法
第二步，排十位和個位上的數字，可以從余下的9個數字中任選2個，
有A 種選法
根據分步乘法計數原理，所求三位數為A·A =9×9×8=648 (個)
例題講解
例1、用0~9這十個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數
特殊元素分析法
解法2:符合條件的三位數可以分成3類
每一位數字都不是0的三位數有A,個
個位數字是0的三位數有A3個，
十位數字是0的三位數有A2個
根據分類加法計數原理，所求三位數為A +A +A,=648 (個)
例題講解
例1、用0~9這十個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數
間接法
解法3:
從0到9這10個數字中任取3個數字的排列數為
其中0在百位上的排列數是A9
所求三位數為A -A, =10×9×8-9×8 =648 (個)
例題講解
對于有限制條件的計數問題，通常有兩種基本思路，
(1)直接法：
位置分析法：以位置為主，特殊(受限)的位置優先考慮，
有兩個以上的約束條件時，往往根據其中的一個條件分類
處 理 。
元素分析法：以元素為主，特殊(受限)的元素優先考慮，
有兩個以上的約束條件時，往往根據考慮一個元素的同時，
兼顧其他元素。
(2)間接法： 先不考慮限制條件來計算出所有種數，再從中減去不符合條件
的種數，從而得出符合條件的種數。
方法總結
練習：三個女生，五個男生排成一排，
(1)女生不站兩端； (2)甲乙必須站在兩端.
解 ： (1)先考慮兩端的人選，需先挑兩個男生站在兩端，共有A =20
種排法.
第二步，對剩余的人在中間進行全排列，共有A =720 種排法. 所以總共有A ·A =14400 種排法
(2)先將甲乙二人排在兩端，共有A =2 種排法.
再排剩余的人，共有A =720 種排法.
針對訓練
現實意義：從n 個不同元素取出m(m≤n) 個元素出來排成1列，這個過程可以分解為
以下兩步：
①先從1到n 的n 個元素中取出1個元素放在第一 位，則有n 種取法；
②再從剩下的n-1個元素中取出m-1 個元素排列，則有 種排列方式 .
故
排列數性質
排列公式(性質):1、
。
現實意義：從n+1個不同元素取出m(m≤n) 個元素出來排成1列，這個過程可以分解
為以下兩類：
①從1到n 的n個元素中取出m 個元素排列，則有Am 種排列方式；
②先從1到n 的n個元素中取出m-1 個元素排列，則有Am-1 種排列方式，在將 第n+1 個元素放在排列中，有m 種方法，故結果為mAn
排列數性質
排 列 公 式 ( 性 質 ) :

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